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8.角的表示方法有：① 用一个大写英文字母；② 用三个大写英文字母；③ 用一个小写希腊字母；④ 用一个数字. 请你画出四个角的图形，试用不同的方法表示它们.
9.举例说一说实际生活中如何利用角来表示方向.
10.① 角的大小比较方法有哪些？与线段长短的比较方法有什么相同点和不同点？② 用直尺和圆规“作一个角等于已知角”的方法步骤是什么？③ 怎样用符号语言表示角的平分线？
11.“1度的角”的含义是什么？角的度、分、秒的进制是如何规定的？
12.回忆代数中学习的“互为相反数”“互为倒数”的含义，读一读“互为补角”“互为余角”的概念，比较它们之间的区别与联系.
思维延伸
1.在多边形中，三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形.若从多边形的一个顶点出发，分别连结其他各顶点，这样一个n边形可以分割成多少个三角形？
2.两条不同的直线，能不能有两个公共点？为什么？说一说你的理解.
3.结合图形说一说“平角”与“直线”的区别和联系是什么.
9.举例说一说实际生活中如何利用角来表示方向.
10.① 角的大小比较方法有哪些？与线段长短的比较方法有什么相同点和不同点？② 用直尺和圆规“作一个角等于已知角”的方法步骤是什么？③ 怎样用符号语言表示角的平分线？
11.“1度的角”的含义是什么？角的度、分、秒的进制是如何规定的？
12.回忆代数中学习的“互为相反数”“互为倒数”的含义，读一读“互为补角”“互为余角”的概念，比较它们之间的区别与联系.
思维延伸
1.在多边形中，三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形.若从多边形的一个顶点出发，分别连结其他各顶点，这样一个n边形可以分割成多少个三角形？
2.两条不同的直线，能不能有两个公共点？为什么？说一说你的理解.
3.结合图形说一说“平角”与“直线”的区别和联系是什么.
答案
第8题
解：
绘制4个独立的角，分别标注如下：
1. 画顶点为$O$，顶点处仅存在这一个角，直接标注为$∠ O$，对应方法①；
2. 画顶点为$A$，两条边上分别取点$B$、$C$，标注为$∠ BAC$，对应方法②；
3. 画一个角，在角内部靠近顶点的位置标注小写希腊字母$α$，记为$∠ α$，对应方法③；
4. 画一个角，在角内部靠近顶点的位置标注数字1，记为$∠ 1$，对应方法④。
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第9题
解：
实际生活中常用方位角表示方向：以观测点为中心，先确定正北、正南、正东、正西四个基准方向，将目标方向与正北或正南基准线的夹角作为方位角描述方向。例如航海时描述“北偏东30°”，就是指以正北方向为始边，向东偏转30°角的方向；日常所说的东北方向，就是北偏东45°的方向，这类用角的大小限定方向的方式就是角在方向表示中的实际应用。
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第10题
解：
① 角的大小比较方法：度量法、叠合法。
相同点：两种方法都可以通过度量数值比对、或者将两个图形叠合比对的方式得到大小关系，操作逻辑一致。
不同点：角的叠合需要将两个角的顶点、其中一条边分别重合，通过比较另一条边的位置判断角的大小；线段叠合是将两条线段的一个端点重合，通过比较另一个端点的位置判断线段长短，二者比对的核心要素不同。
② 作一个角等于已知角的步骤：
1. 任意画一条射线$O'A'$；
2. 以已知角$∠ AOB$的顶点$O$为圆心，取任意长为半径画弧，分别交$OA$于点$C$，交$OB$于点$D$；
3. 以点$O'$为圆心，和步骤2相同的长度为半径画弧，交$O'A'$于点$C'$；
4. 以点$C'$为圆心，线段$CD$的长度为半径画弧，与步骤3中所画的弧交于点$D'$；
5. 过点$O'$、$D'$画射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'$就是与$∠ AOB$相等的角。
③ 若射线$OC$是$∠ AOB$的平分线，符号语言表示为：
$∠ AOC = ∠ COB = \frac{1}{2}∠ AOB$，或$∠ AOB = 2∠ AOC = 2∠ COB$。
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第11题
解：
1度的角的含义：把一个周角平均分成360等份，每一份对应的角就是1度的角，记作$1°$。
度、分、秒的进制规定：$1°=60'$，$1'=60''$，角的度、分、秒之间采用60进制。
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第12题
解：
联系：四者都是描述两个对象之间的双向特殊数量关系，“互为”表示关系是相互的，若$a$是$b$的相反数/倒数/补角/余角，则$b$同时也是$a$的相反数/倒数/补角/余角。
区别：
1. 互为相反数是针对两个实数的关系，定义为两数之和为0；
2. 互为倒数是针对两个非零实数的关系，定义为两数之积为1；
3. 互为余角是针对两个角的关系，定义为两个角的度数之和为$90°$，和角的位置无关；
4. 互为补角是针对两个角的关系，定义为两个角的度数之和为$180°$，和角的位置无关。
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思维延伸1
解：
从$n$边形的一个顶点出发，无法向自身以及相邻的2个顶点连线，共可引出$(n-3)$条对角线，这些对角线将$n$边形分割成$\boldsymbol{(n-2)}$个三角形。
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思维延伸2
解：
不能。根据直线的基本性质：两点确定一条直线，即经过任意两个不同的点，有且只有一条直线，因此两条不同的直线不可能同时经过两个不同的点，也就不可能存在两个公共点。
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思维延伸3
解：
联系：平角的两条边落在同一条直线上，平角的度数为$180°$。
区别：平角是由有公共端点的两条射线组成的图形，它存在确定的顶点，有角的内部区域，属于角的范畴；直线是没有端点、不可度量的线，不存在顶点，也没有角度属性，二者是本质不同的两类图形。
解：
绘制4个独立的角，分别标注如下：
1. 画顶点为$O$，顶点处仅存在这一个角，直接标注为$∠ O$，对应方法①；
2. 画顶点为$A$，两条边上分别取点$B$、$C$，标注为$∠ BAC$，对应方法②；
3. 画一个角，在角内部靠近顶点的位置标注小写希腊字母$α$，记为$∠ α$，对应方法③；
4. 画一个角，在角内部靠近顶点的位置标注数字1，记为$∠ 1$，对应方法④。
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第9题
解：
实际生活中常用方位角表示方向：以观测点为中心，先确定正北、正南、正东、正西四个基准方向，将目标方向与正北或正南基准线的夹角作为方位角描述方向。例如航海时描述“北偏东30°”，就是指以正北方向为始边，向东偏转30°角的方向；日常所说的东北方向，就是北偏东45°的方向，这类用角的大小限定方向的方式就是角在方向表示中的实际应用。
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第10题
解：
① 角的大小比较方法：度量法、叠合法。
相同点：两种方法都可以通过度量数值比对、或者将两个图形叠合比对的方式得到大小关系，操作逻辑一致。
不同点：角的叠合需要将两个角的顶点、其中一条边分别重合，通过比较另一条边的位置判断角的大小；线段叠合是将两条线段的一个端点重合，通过比较另一个端点的位置判断线段长短，二者比对的核心要素不同。
② 作一个角等于已知角的步骤：
1. 任意画一条射线$O'A'$；
2. 以已知角$∠ AOB$的顶点$O$为圆心，取任意长为半径画弧，分别交$OA$于点$C$，交$OB$于点$D$；
3. 以点$O'$为圆心，和步骤2相同的长度为半径画弧，交$O'A'$于点$C'$；
4. 以点$C'$为圆心，线段$CD$的长度为半径画弧，与步骤3中所画的弧交于点$D'$；
5. 过点$O'$、$D'$画射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'$就是与$∠ AOB$相等的角。
③ 若射线$OC$是$∠ AOB$的平分线，符号语言表示为：
$∠ AOC = ∠ COB = \frac{1}{2}∠ AOB$，或$∠ AOB = 2∠ AOC = 2∠ COB$。
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第11题
解：
1度的角的含义：把一个周角平均分成360等份，每一份对应的角就是1度的角，记作$1°$。
度、分、秒的进制规定：$1°=60'$，$1'=60''$，角的度、分、秒之间采用60进制。
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第12题
解：
联系：四者都是描述两个对象之间的双向特殊数量关系，“互为”表示关系是相互的，若$a$是$b$的相反数/倒数/补角/余角，则$b$同时也是$a$的相反数/倒数/补角/余角。
区别：
1. 互为相反数是针对两个实数的关系，定义为两数之和为0；
2. 互为倒数是针对两个非零实数的关系，定义为两数之积为1；
3. 互为余角是针对两个角的关系，定义为两个角的度数之和为$90°$，和角的位置无关；
4. 互为补角是针对两个角的关系，定义为两个角的度数之和为$180°$，和角的位置无关。
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思维延伸1
解：
从$n$边形的一个顶点出发，无法向自身以及相邻的2个顶点连线，共可引出$(n-3)$条对角线，这些对角线将$n$边形分割成$\boldsymbol{(n-2)}$个三角形。
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思维延伸2
解：
不能。根据直线的基本性质：两点确定一条直线，即经过任意两个不同的点，有且只有一条直线，因此两条不同的直线不可能同时经过两个不同的点，也就不可能存在两个公共点。
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思维延伸3
解：
联系：平角的两条边落在同一条直线上，平角的度数为$180°$。
区别：平角是由有公共端点的两条射线组成的图形，它存在确定的顶点，有角的内部区域，属于角的范畴；直线是没有端点、不可度量的线，不存在顶点，也没有角度属性，二者是本质不同的两类图形。
例4 某学生用自己的一副三角板画角，最后得出的结论为：“用一副三角板可以画出11个大于0°且小于180°的角，并且每个角的度数都是15°的整倍数。”他的这个结论对吗？请你试着画一画，再说明原因。
分析：一副三角板中角的度数有$30°$，$45°$，$60°$，$90°$。想一想：用一副三角板画角时，所画角的度数与三角板中角的度数的和、差有什么关系？
分析：一副三角板中角的度数有$30°$，$45°$，$60°$，$90°$。想一想：用一副三角板画角时，所画角的度数与三角板中角的度数的和、差有什么关系？
答案
解：这个结论是对的。
一副三角板含有的角度分别是30°、45°、60°、90°，通过角的和、差运算，可以得到所有度数为15°整数倍，且大于0°小于180°的角：
15°=45°-30°，
30°，
45°，
60°，
75°=45°+30°，
90°，
105°=60°+45°，
120°=90°+30°，
135°=90°+45°，
150°=90°+60°，
165°=90°+45°+30°。
上述角共11个，不存在其他符合要求的角，因此该学生的结论正确。
一副三角板含有的角度分别是30°、45°、60°、90°，通过角的和、差运算，可以得到所有度数为15°整数倍，且大于0°小于180°的角：
15°=45°-30°，
30°，
45°，
60°，
75°=45°+30°，
90°，
105°=60°+45°，
120°=90°+30°，
135°=90°+45°，
150°=90°+60°，
165°=90°+45°+30°。
上述角共11个，不存在其他符合要求的角，因此该学生的结论正确。
