【变式2】如图,在△ABC中,D为边AB上一点,DF⊥BC于点F,延长FD,CA交于点E.若∠E=30°,AD=AE.求证:△ABC为等边三角形.

证明：
1. ∵AD=AE，∠E=∠AED=30°，
∴∠ADE=∠AED=30°（等边对等角）。
2. 在△ADE中，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-30°-30°=120°（三角形内角和定理）。
3. ∵∠DAE+∠CAB=180°（邻补角定义），
∴∠CAB=180°-∠DAE=180°-120°=60°。
4. ∵∠ADE=∠BDF（对顶角相等），
∴∠BDF=30°。
5. ∵DF⊥BC，∴∠DFB=90°（垂直定义）。
6. 在Rt△DFB中，∠B=90°-∠BDF=90°-30°=60°（直角三角形两锐角互余）。
7. 在△ABC中，∠C=180°-∠CAB-∠B=180°-60°-60°=60°（三角形内角和定理）。
8. ∵∠CAB=∠B=∠C=60°，
∴△ABC为等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。

1. 如图,等边三角形ABC的两条高AD和BE相交于点O,则∠DOE的度数为().

A.60°
B.90°
C.120°
D.150°

A（原题目为单选且选项中120°对应选项A有误，根据解析及图示，正确选项应为C，因此）
C

由于△ABC是等边三角形，所以其内角均为60°。
高AD与BE相交于点O，且等边三角形的高也是角平线，因此∠ODE = 1/2 ∠ABC = 30°。
在四边形ODCE中，∠ODE = 30°，∠ADC = 90°。
所以∠DOE = 180° - ∠ODE - ∠OED（直角）= 180° - 30° - 30° = 120°。

2. 在△ABC中,∠A=60°,添加下列一个条件后,仍不能判定△ABC为等边三角形的是().

A.AB=AC
B.∠A=∠B
C.AD⊥BC
D.∠B=∠C

C

选项A：若$AB = AC$，因为$\angle A = 60^{\circ}$，根据有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，能判定$\triangle ABC$为等边三角形。
选项B：若$\angle A=\angle B$，因为$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle C=180^{\circ}-\angle A - \angle B=60^{\circ}$，三个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形，能判定$\triangle ABC$为等边三角形。
选项C：$AD\perp BC$，仅由$\angle A = 60^{\circ}$和$AD\perp BC$，无法得出三角形三边相等或三个角都是$60^{\circ}$，不能判定$\triangle ABC$为等边三角形。
选项D：若$\angle B=\angle C$，因为$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle B=\angle C = 60^{\circ}$，三个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形，能判定$\triangle ABC$为等边三角形。

3. 在△ABC中,AB=AC=1cm,当BC=cm时,△ABC是等边三角形.

1

根据等边三角形的定义，三边相等的三角形是等边三角形。
已知$AB = AC = 1 cm$，当$BC = 1 cm$时，$AB=AC=BC$。
所以$\triangle ABC$是等边三角形。

4. 等边三角形ABC的边长如图所示,那么y=.

3

因为△ABC是等边三角形，所以各边相等，即AB=AC=BC。AB=2x+3，BC=6-x，AC=2y-1。由AB=BC得2x+3=6-x，解得x=1。则AB=2×1+3=5，所以AC=5，即2y-1=5，解得y=3。

5. 如图,点P为等边三角形ABC的边BC上一点,且∠APD=80°,点D在边AC上,AD=AP,求∠DPC的度数.

∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC。
∵AD=AP，
∴△APD为等腰三角形，∠APD=∠ADP。
∵∠APD=80°，
∴∠ADP=80°。
在△APD中，∠PAD=180°-∠APD-∠ADP=180°-80°-80°=20°。
∵∠BAC=60°，∠BAC=∠BAP+∠PAD，
∴∠BAP=∠BAC-∠PAD=60°-20°=40°。
在△ABP中，∠B=60°，∠BAP=40°，
∴∠APB=180°-∠B-∠BAP=180°-60°-40°=80°。
∵点P在BC上，
∴∠APB+∠APC=180°，
∴∠APC=180°-∠APB=180°-80°=100°。
∵∠APC=∠APD+∠DPC，∠APD=80°，
∴∠DPC=∠APC-∠APD=100°-80°=20°。
答案：20°

1. 关于等边三角形,下列说法中错误的是().

A.等边三角形的各边都相等
B.等腰三角形是特殊的等边三角形
C.两个角都等于60°的三角形是等边三角形
D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形

B

A选项：等边三角形的定义即三边相等，该说法正确。
B选项：等边三角形是特殊的等腰三角形（三边相等，满足等腰三角形至少两边相等的定义），而等腰三角形不一定是等边三角形，所以该说法错误。
C选项：因为三角形内角和为180°，两个角都等于60°，则第三个角也为60°，三边相等的三角形为等边三角形，该说法正确。
D选项：有一个角为60°的等腰三角形，当这个角是顶角时，底角为(180 - 60)÷2 = 60°；当这个角是底角时，顶角为180 - 60×2 = 60°，所以三个角都是60°，该三角形是等边三角形，该说法正确。

2. (2025昆明五华区期中)如图,△ABC是等边三角形,点D在边AC上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为().

A.25°
B.60°
C.85°
D.95°

D

因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC = 60°。
已知∠DBC = 35°，则∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 60° - 35° = 25°。
在△ABD中，∠A = 60°，根据三角形内角和为180°，可得∠ADB = 180° - ∠A - ∠ABD = 180° - 60° - 25° = 95°。