3. 如图,已知△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到点E,使CE=CD.
(1)若AB=10,求BE的长;
(2)求∠E的度数.

(1)
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = 10$，所以$BC=AB = 10$。
因为$BD$是中线，根据等边三角形三线合一的性质，$BC = 2CD$，$CD=\frac{1}{2}AC$，$AC = 10$，所以$CD = 5$。
又因为$CE = CD$，所以$CE = 5$。
则$BE=BC + CE=10 + 5=15$。
(2)
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle ACB=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ACB=\angle E+\angle CDE$。
因为$CD = CE$，所以$\angle E=\angle CDE$。
因为$\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\angle E=\frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$。
综上，(1) $BE$的长为$15$；(2) $\angle E$的度数为$30^{\circ}$。

4. (2025昆明五华区期末)下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是().

A.∠A=∠B=∠C
B.AB=BC,AC=BC
C.AB=BC,∠B=60°
D.AB=BC,∠A=∠C

D

A. 若$\angle A=\angle B=\angle C$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则每个角都是$60^{\circ}$，所以$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，此选项不符合题意。
B. 若$AB = BC$，$AC=BC$（这里应该是$AC = AB$的笔误，但按照原题$AC = BC$分析），则$AB = BC = AC$，根据等边三角形的定义，三边相等的三角形是等边三角形，此选项不符合题意。
C. 若$AB = BC$，$\angle B = 60^{\circ}$，根据有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，可知$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，此选项不符合题意。
D. $AB = BC$，$\angle A=\angle C$，只能说明$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形或等边三角形，当$\angle A=\angle C\neq60^{\circ}$时，它是等腰三角形，当$\angle A = \angle C = 60^{\circ}$时，它是等边三角形，所以不能判定$\bigtriangleup ABC$一定是等边三角形，此选项符合题意。

5. 如图,已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP=时,△AOP为等边三角形.

$a$

要使$\triangle AOP$为等边三角形，已知$\angle AON = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定定理，三个角都为$60^{\circ}$的三角形是等边三角形，在$\triangle AOP$中，$\angle AON = 60^{\circ}$，当$OA = OP$时，$\triangle AOP$是等边三角形。
已知$OA = a$，所以当$OP=a$时，$\triangle AOP$为等边三角形。

6. 如图,在等边三角形ABC的边AB,AC上分别截出AD=AE,△ADE是等边三角形吗?请说明理由.

△ADE是等边三角形。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°。
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形。
∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
∴△ADE是等边三角形。

7. (2025昆明期末)如图,将等边三角形APQ的边PQ向两边延长,使PB=QC=PQ,则∠BAC的度数为().

A.120°
B.110°
C.100°
D.90°

A

∵△APQ是等边三角形，∴AP=PQ=AQ，∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°。
∵PB=PQ=QC，∴AP=PB，AQ=QC。
在△APB中，AP=PB，∠APB=180°-∠APQ=180°-60°=120°，
∴∠BAP=(180°-∠APB)/2=(180°-120°)/2=30°。
同理，在△AQC中，AQ=QC，∠AQC=180°-∠AQP=120°，
∴∠QAC=(180°-∠AQC)/2=30°。
∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°。

8. (2025昆明官渡区期末)如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF的度数是().

A.10°
B.15°
C.20°
D.25°

B

∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠ABC=60°，BD平分∠ABC（三线合一），
∴∠DBC=∠ABC/2=30°。
∵BF=BD，
∴△BDF是等腰三角形，∠BDF=∠BFD=(180°-∠DBC)/2=(180°-30°)/2=75°。
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CDF=∠BDC-∠BDF=90°-75°=15°。

9. 如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形.

证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF，即BD=CE=AF。
在△ADF和△BED中，
AD=BE，∠A=∠B，AF=BD，
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴DF=DE。
同理可证△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF。
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形。

10. 如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,A,C,B三点在同一条直线上,AE,BD分别与CD,CE相交于点M,N.有下列结论:①AM=DN;②EM=BN;③∠CAM=∠CDN;④∠CME=∠CNB.其中正确的是. (填序号)

①②③④

∵△DAC和△EBC均为等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠ECB=∠DAC=∠CBE=60°．
∵A，C，B共线，∴∠DCE=180°-60°-60°=60°．
证△ACE≌△DCB：
∠ACE=∠ACD+∠DCE=60°+60°=120°，
∠DCB=∠DCE+∠ECB=60°+60°=120°，
∴∠ACE=∠DCB．
又AC=DC，EC=BC，∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB（即∠CAM=∠CDN，③正确）．
证△AMC≌△DNC：
∠CAM=∠CDN（已证），AC=DC，∠ACM=∠DCN=60°，
∴△AMC≌△DNC（ASA），∴AM=DN（①正确），CM=CN．
证EM=BN：
∵AE=BD，AM=DN，∴AE-AM=BD-DN，即EM=BN（②正确）．
证∠CME=∠CNB：
∠CME=∠CAM+∠ACM=∠CDN+60°，
∠CNB=∠CDN+∠DCN=∠CDN+60°，
∴∠CME=∠CNB（④正确）．
综上，①②③④均正确．