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多项式与多项式相乘
(1)法则:一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的,再把所得的积.
(2)用字母表示:
(a + b)(p + q) = .
(1)法则:一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的,再把所得的积.
(2)用字母表示:
(a + b)(p + q) = .
答案
(1) 每一项；相加；
(2) $ap+aq+bp+bq$。
(2) $ap+aq+bp+bq$。
解析
(1) 法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(2) 用字母表示：根据多项式乘法的分配律，$(a + b)(p + q)$ 可以展开为 $a · p + a · q + b · p + b · q$。
(2) 用字母表示：根据多项式乘法的分配律，$(a + b)(p + q)$ 可以展开为 $a · p + a · q + b · p + b · q$。
【例题】计算:
(1)$$(3m - 1)(m + 5)$$;
(2)$$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$$.
(1)$$(3m - 1)(m + 5)$$;
(2)$$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$$.
答案
(1)
$(3m - 1)(m + 5)$
$=3m× m+3m×5-1× m - 1×5$
$=3m^{2}+15m - m - 5$
$=3m^{2}+14m - 5$
(2)
$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$
$=2x×(3x + 4y - 1)-7y×(3x + 4y - 1)$
$=(6x^{2}+8xy - 2x)-(21xy + 28y^{2}-7y)$
$=6x^{2}+8xy - 2x - 21xy - 28y^{2}+7y$
$=6x^{2}-13xy - 2x - 28y^{2}+7y$
$(3m - 1)(m + 5)$
$=3m× m+3m×5-1× m - 1×5$
$=3m^{2}+15m - m - 5$
$=3m^{2}+14m - 5$
(2)
$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$
$=2x×(3x + 4y - 1)-7y×(3x + 4y - 1)$
$=(6x^{2}+8xy - 2x)-(21xy + 28y^{2}-7y)$
$=6x^{2}+8xy - 2x - 21xy - 28y^{2}+7y$
$=6x^{2}-13xy - 2x - 28y^{2}+7y$
【变式】计算:
(1)$$(2a - 3b)(3a + 2b)$$;
(2)$$(x - y)(x^{2} + xy - y^{2})$$.
(1)$$(2a - 3b)(3a + 2b)$$;
(2)$$(x - y)(x^{2} + xy - y^{2})$$.
答案
(1) $(2a - 3b)(3a + 2b)$
$\begin{aligned}&=2a · 3a + 2a · 2b - 3b · 3a - 3b · 2b\\&=6a^{2} + 4ab - 9ab - 6b^{2}\\&=6a^{2} - 5ab - 6b^{2}\end{aligned}$
(2) $(x - y)(x^{2} + xy - y^{2})$
$\begin{aligned}&=x · x^{2} + x · xy + x · (-y^{2}) - y · x^{2} - y · xy - y · (-y^{2})\\&=x^{3} + x^{2}y - xy^{2} - x^{2}y - xy^{2} + y^{3}\\&=x^{3} - 2xy^{2} + y^{3}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=2a · 3a + 2a · 2b - 3b · 3a - 3b · 2b\\&=6a^{2} + 4ab - 9ab - 6b^{2}\\&=6a^{2} - 5ab - 6b^{2}\end{aligned}$
(2) $(x - y)(x^{2} + xy - y^{2})$
$\begin{aligned}&=x · x^{2} + x · xy + x · (-y^{2}) - y · x^{2} - y · xy - y · (-y^{2})\\&=x^{3} + x^{2}y - xy^{2} - x^{2}y - xy^{2} + y^{3}\\&=x^{3} - 2xy^{2} + y^{3}\end{aligned}$
1. 计算$$(a - 2)(-a + 1)$$,结果是().
$A.a^{2} - a - 2$
$B.-a^{2} - a - 2$
$C.-a^{2} + 3a - 2$
$D.a^{2} + 3a - 2$
$A.a^{2} - a - 2$
$B.-a^{2} - a - 2$
$C.-a^{2} + 3a - 2$
$D.a^{2} + 3a - 2$
答案
C
解析
根据多项式乘多项式法则，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
$(a - 2)(-a + 1)=a×(-a)+a×1-2×(-a)-2×1=-a^{2}+a + 2a-2=-a^{2}+3a - 2$。
$(a - 2)(-a + 1)=a×(-a)+a×1-2×(-a)-2×1=-a^{2}+a + 2a-2=-a^{2}+3a - 2$。
2. 若$$(x - 3)(2x + 1) = 2x^{2} + ax - 3$$,则$$a$$的值为().
A.-7
B.-5
C.5
D.7
A.-7
B.-5
C.5
D.7
答案
B
解析
$\begin{aligned}(x - 3)(2x + 1)&=x·2x + x·1 - 3·2x - 3·1\\&=2x^{2} + x - 6x - 3\\&=2x^{2} - 5x - 3\end{aligned}$
因为$(x - 3)(2x + 1)=2x^{2} + ax - 3$，所以$a=-5$。
因为$(x - 3)(2x + 1)=2x^{2} + ax - 3$，所以$a=-5$。
3. 计算:$$(a - 10)(a - 7) = $$.
答案
$a^{2}-17a + 70$
解析
根据多项式乘多项式法则，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
$(a - 10)(a - 7)=a× a-7× a - 10× a+(-10)×(-7)=a^{2}-7a - 10a + 70=a^{2}-17a + 70$。
$(a - 10)(a - 7)=a× a-7× a - 10× a+(-10)×(-7)=a^{2}-7a - 10a + 70=a^{2}-17a + 70$。
4. 若$$(x + 4)(x + 9) = x^{2} + mx + 36$$,则$$m$$的值是.
答案
13
解析
先将左边的式子展开：$(x + 4)(x + 9)$。
根据多项式乘法规则，可得：
$(x + 4)(x + 9) = x · x + x · 9 + 4 · x + 4 · 9 = x^2 + 9x + 4x + 36 = x^2 + 13x + 36$。
将其与右边的式子$x^2 + mx + 36$对比，可得：$m = 13$。
根据多项式乘法规则，可得：
$(x + 4)(x + 9) = x · x + x · 9 + 4 · x + 4 · 9 = x^2 + 9x + 4x + 36 = x^2 + 13x + 36$。
将其与右边的式子$x^2 + mx + 36$对比，可得：$m = 13$。
5. 计算:
(1)$$(x - 2)(x + 3)$$;
(2)$$(x + 3y)(2x + 3y)$$;
(3)$$(3a - 2b)\left(\frac{1}{3}a + b\right)$$.
(1)$$(x - 2)(x + 3)$$;
(2)$$(x + 3y)(2x + 3y)$$;
(3)$$(3a - 2b)\left(\frac{1}{3}a + b\right)$$.
答案
(1)
$\begin{aligned}(x - 2)(x + 3) &=x· x+x·3-2· x - 2×3\\&=x^{2}+3x - 2x-6\\&=x^{2}+x - 6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x + 3y)(2x + 3y)&=x·2x+x·3y+3y·2x + 3y·3y\\&=2x^{2}+3xy + 6xy+9y^{2}\\&=2x^{2}+9xy + 9y^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(3a - 2b)\left(\frac{1}{3}a + b\right)&=3a×\frac{1}{3}a+3a× b-2b×\frac{1}{3}a-2b× b\\&=a^{2}+3ab-\frac{2}{3}ab - 2b^{2}\\&=a^{2}+\frac{7}{3}ab - 2b^{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}(x - 2)(x + 3) &=x· x+x·3-2· x - 2×3\\&=x^{2}+3x - 2x-6\\&=x^{2}+x - 6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x + 3y)(2x + 3y)&=x·2x+x·3y+3y·2x + 3y·3y\\&=2x^{2}+3xy + 6xy+9y^{2}\\&=2x^{2}+9xy + 9y^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(3a - 2b)\left(\frac{1}{3}a + b\right)&=3a×\frac{1}{3}a+3a× b-2b×\frac{1}{3}a-2b× b\\&=a^{2}+3ab-\frac{2}{3}ab - 2b^{2}\\&=a^{2}+\frac{7}{3}ab - 2b^{2}\end{aligned}$
