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7. 如图,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 均在 $\odot O$ 上,$BC$ 为直径,$AD// BC$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,四边形 $ABCD$ 的周长为 $15$.
(1) 求此圆的半径；
(2) 求图中阴影部分的面积.
(1) 求此圆的半径；
(2) 求图中阴影部分的面积.
答案
(1)3；
(2)$\frac{3}{2}\pi-\frac{9}{4}\sqrt{3}$
8. 如图,在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,点 $O$ 在斜边 $AB$ 上,半径为 $2$ 的 $\odot O$ 过点 $B$,切 $AC$ 于点 $D$,交 $BC$ 边于点 $E$,求线段 $CD$,$CE$ 及 $\overset{\frown}{DE}$ 围成的阴影部分的面积.
答案
$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}\pi$
解析
解：连接 $OD$，过点 $O$ 作 $OF \perp BC$ 于点 $F$。
因为 $\odot O$ 切 $AC$ 于点 $D$，所以 $OD \perp AC$，又 $\angle C = 90°$，$OF \perp BC$，故四边形 $ODCF$ 为矩形，$CD = OF$，$OD = CF = 2$。
设 $BC = x$，在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle A = 30°$，则 $AB = 2x$，$AC = \sqrt{3}x$。
因为 $OD // BC$，所以 $\triangle AOD \sim \triangle ABC$，$\frac{OD}{BC} = \frac{AO}{AB}$，即 $\frac{2}{x} = \frac{2x - 2}{2x}$，解得 $x = 3$，即 $BC = 3$。
所以 $BF = BC - CF = 3 - 2 = 1$，在 $\mathrm{Rt}\triangle OBF$ 中，$\cos \angle BOF = \frac{BF}{OB} = \frac{1}{2}$，$\angle BOF = 60°$，$OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{3}$，故 $CD = \sqrt{3}$。
因为 $OF \perp BC$，所以 $BE = 2BF = 2$，$CE = BC - BE = 3 - 2 = 1$。
$\angle DOE = 180° - \angle BOF = 120° = \frac{2\pi}{3}$，$S_{扇形 DOE} = \frac{1}{2} × 2^2 × \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$。
$S_{矩形 ODCF} = CD × OD = \sqrt{3} × 2 = 2\sqrt{3}$，$S_{\triangle OEF} = \frac{1}{2} × EF × OF = \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
$S_{阴影} = S_{矩形 ODCF} - S_{\triangle OEF} - S_{扇形 DOE} = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3}$。
$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}\pi$
因为 $\odot O$ 切 $AC$ 于点 $D$，所以 $OD \perp AC$，又 $\angle C = 90°$，$OF \perp BC$，故四边形 $ODCF$ 为矩形，$CD = OF$，$OD = CF = 2$。
设 $BC = x$，在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle A = 30°$，则 $AB = 2x$，$AC = \sqrt{3}x$。
因为 $OD // BC$，所以 $\triangle AOD \sim \triangle ABC$，$\frac{OD}{BC} = \frac{AO}{AB}$，即 $\frac{2}{x} = \frac{2x - 2}{2x}$，解得 $x = 3$，即 $BC = 3$。
所以 $BF = BC - CF = 3 - 2 = 1$，在 $\mathrm{Rt}\triangle OBF$ 中，$\cos \angle BOF = \frac{BF}{OB} = \frac{1}{2}$，$\angle BOF = 60°$，$OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{3}$，故 $CD = \sqrt{3}$。
因为 $OF \perp BC$，所以 $BE = 2BF = 2$，$CE = BC - BE = 3 - 2 = 1$。
$\angle DOE = 180° - \angle BOF = 120° = \frac{2\pi}{3}$，$S_{扇形 DOE} = \frac{1}{2} × 2^2 × \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$。
$S_{矩形 ODCF} = CD × OD = \sqrt{3} × 2 = 2\sqrt{3}$，$S_{\triangle OEF} = \frac{1}{2} × EF × OF = \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
$S_{阴影} = S_{矩形 ODCF} - S_{\triangle OEF} - S_{扇形 DOE} = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3}$。
$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}\pi$
9. 如图,扇形 $ODE$ 的圆心角为 $120^{\circ}$,正三角形 $ABC$ 的中心恰好为扇形 $ODE$ 的圆心,且点 $B$ 在扇形 $ODE$ 内.
(1) 请连接 $OA$,$OB$,并证明 $\triangle AOF\cong\triangle BOG$；
(2) 求证：$\triangle ABC$ 与扇形 $ODE$ 重叠部分的面积等于 $\triangle ABC$ 面积的 $\frac{1}{3}$.
(1) 请连接 $OA$,$OB$,并证明 $\triangle AOF\cong\triangle BOG$；
(2) 求证：$\triangle ABC$ 与扇形 $ODE$ 重叠部分的面积等于 $\triangle ABC$ 面积的 $\frac{1}{3}$.
答案
(1) 连接OA、OB。
∵O是正△ABC的中心，∴OA=OB，∠AOB=360°/3=120°。
∵扇形ODE的圆心角∠DOE=120°，∴∠AOB=∠DOE。
∴∠AOB-∠BOF=∠DOE-∠BOF，即∠AOF=∠BOG。
∵O是正△ABC中心，OA、OB平分∠BAC、∠ABC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠OAF=∠BAC/2=30°，∠OBG=∠ABC/2=30°，即∠OAF=∠OBG。
在△AOF和△BOG中，
∠OAF=∠OBG，OA=OB，∠AOF=∠BOG，
∴△AOF≌△BOG（ASA）。
(2) 设重叠部分面积为S。由(1)知△AOF≌△BOG，∴S△AOF=S△BOG。
∵∠AOB=120°，∠DOE=120°，
∴重叠部分面积S=S四边形OFBG=S△OFB+S△BOG=S△OFB+S△AOF=S△AOB。
∵O是正△ABC中心，∴S△AOB=S△BOC=S△COA，且S△AOB+S△BOC+S△COA=S△ABC，
∴S△AOB=1/3S△ABC，故S=1/3S△ABC。
即△ABC与扇形ODE重叠部分的面积等于△ABC面积的1/3。
∵O是正△ABC的中心，∴OA=OB，∠AOB=360°/3=120°。
∵扇形ODE的圆心角∠DOE=120°，∴∠AOB=∠DOE。
∴∠AOB-∠BOF=∠DOE-∠BOF，即∠AOF=∠BOG。
∵O是正△ABC中心，OA、OB平分∠BAC、∠ABC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠OAF=∠BAC/2=30°，∠OBG=∠ABC/2=30°，即∠OAF=∠OBG。
在△AOF和△BOG中，
∠OAF=∠OBG，OA=OB，∠AOF=∠BOG，
∴△AOF≌△BOG（ASA）。
(2) 设重叠部分面积为S。由(1)知△AOF≌△BOG，∴S△AOF=S△BOG。
∵∠AOB=120°，∠DOE=120°，
∴重叠部分面积S=S四边形OFBG=S△OFB+S△BOG=S△OFB+S△AOF=S△AOB。
∵O是正△ABC中心，∴S△AOB=S△BOC=S△COA，且S△AOB+S△BOC+S△COA=S△ABC，
∴S△AOB=1/3S△ABC，故S=1/3S△ABC。
即△ABC与扇形ODE重叠部分的面积等于△ABC面积的1/3。
10. 如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为 $1$,点 $A$,$B$,$D$ 均在小正方形的顶点上,且点 $B$,$C$ 在 $\overset{\frown}{AD}$ 上,$\angle BAC = 22.5^{\circ}$.
(1) 请在图中标出圆心 $O$ 的位置；
(2) 求 $\overset{\frown}{BC}$ 的长.
(1) 请在图中标出圆心 $O$ 的位置；
(2) 求 $\overset{\frown}{BC}$ 的长.
答案
(1)圆心O在点B正下方，且$OB=5$，图略；
(2)$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{5\pi}{4}$
