1. 如图,四边形 $ABCD$ 是各边长都大于 $2$ 的四边形,分别以它的顶点为圆心,$1$ 为半径画弧(弧的端点分别在四边形相邻的两边上),则这 $4$ 条弧长的和是( )

A.$6\pi$
B.$5\pi$
C.$2\pi$
D.$8\pi$

C

因为四边形内角和为$(4 - 2)×180°=360°$，以四边形各顶点为圆心，$1$为半径画弧，每条弧所对圆心角为四边形相应内角，所以四条弧所对圆心角之和为$360°$。弧长公式为$l=\frac{n\pi r}{180}$，这里$n=360°$，$r = 1$，则四条弧长之和为$\frac{360\pi×1}{180}=2\pi$。
C

2. 若扇形的圆心角为 $120^{\circ}$,弧长为 $6\pi\mathrm{cm}$,则这个扇形的面积为( )

A.$18\pi\mathrm{cm}^2$
B.$27\pi\mathrm{cm}^2$
C.$36\pi\mathrm{cm}^2$
D.$54\pi\mathrm{cm}^2$

B

设扇形的半径为$r$。
因为圆心角$n = 120°$，弧长$l = 6\pi\ cm$，由弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，得：
$6\pi=\frac{120\pi r}{180}$
解得$r = 9\ cm$。
扇形面积$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×6\pi×9 = 27\pi\ cm^2$。
B

3. 如图,在扇形 $AOB$ 中,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$OD$ 平分 $\angle AOB$ 交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点 $D$,点 $C$ 是半径 $OB$ 上一动点,若 $OA = 1$,则阴影部分周长的最小值为( )

A.$\sqrt{2}+\frac{\pi}{6}$
B.$\sqrt{2}+\frac{\pi}{3}$
C.$2\sqrt{2}+\frac{\pi}{6}$
D.$2\sqrt{2}+\frac{\pi}{3}$

A

解：在扇形$AOB$中，$\angle AOB = 60°$，$OA = 1$，$OD$平分$\angle AOB$，则$\angle AOD=\angle DOB = 30°$，$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{30°}{360°}×2\pi×1=\frac{\pi}{6}$。
作点$A$关于$OB$的对称点$A'$，连接$A'D$交$OB$于点$C$，此时$AC + CD$最小，最小值为$A'D$。
由对称性知$OA' = OA = 1$，$\angle A'OB=\angle AOB = 60°$，则$\angle A'OD=\angle A'OB+\angle BOD=60° + 30°=90°$。
在$Rt\triangle A'OD$中，$A'D=\sqrt{OA'^2 + OD^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
阴影部分周长最小值为$A'D+\overset{\frown}{AD}=\sqrt{2}+\frac{\pi}{6}$。
答案：A

4. 如图,在 $6×6$ 的方格纸中,每个小方格都是边长为 $1$ 的正方形,其中 $A$,$B$,$C$ 为格点. 作 $\triangle ABC$ 的外接圆 $\odot O$,则弧 $AC$ 的长等于( )

A.$\frac{\sqrt{3}}{4}\pi$
B.$\frac{\sqrt{5}}{4}\pi$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}\pi$

D

5. 如图,用一个半径为 $3\mathrm{cm}$ 的定滑轮拉动重物,滑轮上的一点 $A$ 绕着点 $O$ 逆时针旋转了 $60^{\circ}$(绳索与滑轮之间没有滑动),则重物上升的高度为( )

A.$\frac{\pi}{2}\mathrm{cm}$
B.$\pi\mathrm{cm}$
C.$\frac{3\pi}{2}\mathrm{cm}$
D.$3\pi\mathrm{cm}$

B

解：滑轮旋转的弧长即为重物上升的高度。
弧长公式：$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$n = 60°$，$r = 3\mathrm{cm}$。
代入得：$l = \frac{60\pi × 3}{180} = \pi\mathrm{cm}$。
结论：重物上升的高度为$\pi\mathrm{cm}$。
B

6. 如图,点 $O$,$A$,$B$ 的坐标分别为 $(0,0)$,$(3,0)$,$(3,-2)$,将 $\triangle OAB$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\triangle OA'B'$.
(1) 画出旋转后的 $\triangle OA'B'$,并求点 $B'$ 的坐标；
(2) 求在旋转过程中,线段 $OA$ 所扫过的面积.(结果保留 $\pi$)

(1)图略，$B'(2,3)$；
(2)$\frac{9}{4}\pi$