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当 $a = $
$-3$
时,方程$\frac{ax}{a+1}-\frac{2}{x-1}= 1的解与方程\frac{x+4}{x}= 3$的解相同.答案
$-3$
解析
首先解方程$\frac{x + 4}{x}=3$，
方程两边同乘$x$得：$x + 4 = 3x$，
移项可得：$3x-x=4$，
即$2x = 4$，
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入方程$\frac{ax}{a + 1}-\frac{2}{x - 1}=1$中，
得到$\frac{2a}{a + 1}-\frac{2}{2 - 1}=1$，
即$\frac{2a}{a + 1}-2 = 1$，
方程两边同乘$a + 1$得：$2a-2(a + 1)=a + 1$，
去括号得：$2a-2a-2=a + 1$，
移项可得：$2a-2a-a=1 + 2$，
即$-a=3$，
解得$a=-3$。
检验：当$a = - 3$时，$a + 1=-3 + 1=-2\neq0$，所以$a=-3$是符合条件的。
方程两边同乘$x$得：$x + 4 = 3x$，
移项可得：$3x-x=4$，
即$2x = 4$，
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入方程$\frac{ax}{a + 1}-\frac{2}{x - 1}=1$中，
得到$\frac{2a}{a + 1}-\frac{2}{2 - 1}=1$，
即$\frac{2a}{a + 1}-2 = 1$，
方程两边同乘$a + 1$得：$2a-2(a + 1)=a + 1$，
去括号得：$2a-2a-2=a + 1$，
移项可得：$2a-2a-a=1 + 2$，
即$-a=3$，
解得$a=-3$。
检验：当$a = - 3$时，$a + 1=-3 + 1=-2\neq0$，所以$a=-3$是符合条件的。
1. (1) 如果$\frac{1}{m-1}= 1$,那么 $m$ 的值为
(2) 分式方程$\frac{2}{x-3}= \frac{3}{x}$的解为
2
；(2) 分式方程$\frac{2}{x-3}= \frac{3}{x}$的解为
9
.答案
(1) $m = 2$；
(2) $x = 9$。
(2) $x = 9$。
解析
(1) 由 $\frac{1}{m-1} = 1$，得 $m - 1 = 1$，因此 $m = 2$。
(2) 首先找到公共分母 $(x-3)x$，将方程 $\frac{2}{x-3} = \frac{3}{x}$ 两边同时乘以 $(x-3)x$，得到：
$2x = 3(x - 3)$，
展开并整理得：
$2x = 3x - 9$，
进一步整理，得：
$x = 9$。
经检验，$x = 9$ 是原方程的解。
(2) 首先找到公共分母 $(x-3)x$，将方程 $\frac{2}{x-3} = \frac{3}{x}$ 两边同时乘以 $(x-3)x$，得到：
$2x = 3(x - 3)$，
展开并整理得：
$2x = 3x - 9$，
进一步整理，得：
$x = 9$。
经检验，$x = 9$ 是原方程的解。
2. 如图,$A$,$B$,$C$ 三点在数轴上,对应的数分别是$\frac{1}{x+2}$,$1$,$\frac{3x}{2x+4}$,且点 $B$ 到 $A$,$C$ 的距离相等,则 $x = $
-6
.答案
-6
解析
因为点B到A，C的距离相等，所以$1 - \frac{1}{x + 2} = \frac{3x}{2x + 4} - 1$。方程两边同乘$2(x + 2)$得：$2(x + 2) - 2 = 3x - 2(x + 2)$，化简得$2x + 4 - 2 = 3x - 2x - 4$，即$2x + 2 = x - 4$，解得$x = -6$。经检验，$x = -6$是原方程的解。
3. 若关于 $x$ 的分式方程 $2-\frac{1-kx}{x-2}= \frac{1}{2-x}$无解,则 $k$ 的值为
-2或0
.答案
-2或0
解析
原方程可化为$2 - \frac{1 - kx}{x - 2} = -\frac{1}{x - 2}$，两边乘$x - 2$（$x \neq 2$）得：$2(x - 2) - (1 - kx) = -1$，化简得$(2 + k)x = 4$。
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程无解：当$2 + k = 0$，即$k = -2$时，$0x = 4$无解，原方程无解；
2. 整式方程的解为增根：增根为$x = 2$，代入$(2 + k)x = 4$得$2(2 + k) = 4$，解得$k = 0$。
综上，$k = -2$或$0$。
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程无解：当$2 + k = 0$，即$k = -2$时，$0x = 4$无解，原方程无解；
2. 整式方程的解为增根：增根为$x = 2$，代入$(2 + k)x = 4$得$2(2 + k) = 4$，解得$k = 0$。
综上，$k = -2$或$0$。
4. 若分式方程$\frac{x}{x-1}-\frac{m}{1-x}= 2$有增根,则这个增根是
1
.答案
1
解析
分式方程$\frac{x}{x-1}-\frac{m}{1-x}=2$，先将方程变形为$\frac{x}{x-1}+\frac{m}{x-1}=2$。最简公分母为$x-1$，增根是使最简公分母为0的根，即$x-1=0$，解得$x=1$。
5. 解分式方程$\frac{1}{x-1}-2= \frac{3}{1-x}$,去分母得(
A.$1 - 2(x - 1) = -3$
B.$1 - 2(x - 1) = 3$
C.$1 - 2x - 2 = -3$
D.$1 - 2x - 2 = 3$
A
)A.$1 - 2(x - 1) = -3$
B.$1 - 2(x - 1) = 3$
C.$1 - 2x - 2 = -3$
D.$1 - 2x - 2 = 3$
答案
A
解析
方程$\frac{1}{x-1}-2= \frac{3}{1-x}$两边同乘以$(x - 1)$去分母，
因为$\frac{3}{1 - x}=-\frac{3}{x - 1}$，
则$\frac{1}{x - 1}×(x - 1)-2×(x - 1)=-\frac{3}{x - 1}×(x - 1)$，
即$1-2(x - 1)=-3$。
因为$\frac{3}{1 - x}=-\frac{3}{x - 1}$，
则$\frac{1}{x - 1}×(x - 1)-2×(x - 1)=-\frac{3}{x - 1}×(x - 1)$，
即$1-2(x - 1)=-3$。
6. 有下列关于 $x$,$y$ 的方程：$\frac{1}{x-1}= \frac{2}{x}$；$\frac{4x-5}{2}= \frac{1-x}{3}$；$\frac{y}{a}-\frac{y-1}{b}= -1$；$\frac{4}{x-1}= \frac{2}{y+3}$. 其中,是分式方程的有(
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
B
)A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案
B
解析
分式方程的定义是分母中含有未知数的方程。
第一个方程 $\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x}$，分母中含有 $x$，是分式方程。
第二个方程 $\frac{4x-5}{2} = \frac{1-x}{3}$，分母中不含有未知数，不是分式方程。
第三个方程 $\frac{y}{a} - \frac{y-1}{b} = -1$，分母中 $a$ 和 $b$ 是常数（题目未说明为未知数），不是分式方程。
第四个方程 $\frac{4}{x-1} = \frac{2}{y+3}$，分母中含有 $x$ 和 $y$，是分式方程。
因此，分式方程有 2 个。
第一个方程 $\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x}$，分母中含有 $x$，是分式方程。
第二个方程 $\frac{4x-5}{2} = \frac{1-x}{3}$，分母中不含有未知数，不是分式方程。
第三个方程 $\frac{y}{a} - \frac{y-1}{b} = -1$，分母中 $a$ 和 $b$ 是常数（题目未说明为未知数），不是分式方程。
第四个方程 $\frac{4}{x-1} = \frac{2}{y+3}$，分母中含有 $x$ 和 $y$，是分式方程。
因此，分式方程有 2 个。
7. 用换元法解分式方程$\frac{x+1}{x}+\frac{6x}{x+1}= 5$时,如果设$\frac{x+1}{x}= y$,将原方程化为关于 $y$ 的整式方程,那么这个整式方程是(
A.$y+\frac{6}{y}= 5$
B.$y^{2}+5y+6= 0$
C.$y^{2}-5y+6= 0$
D.$y^{2}+6y-5= 0$
C
)A.$y+\frac{6}{y}= 5$
B.$y^{2}+5y+6= 0$
C.$y^{2}-5y+6= 0$
D.$y^{2}+6y-5= 0$
答案
C
解析
设$\frac{x+1}{x}=y$，则$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{y}$，原方程$\frac{x+1}{x}+\frac{6x}{x+1}=5$可化为$y + 6×\frac{1}{y}=5$，两边同乘$y$得$y^2 + 6 = 5y$，移项得$y^2 - 5y + 6 = 0$。
8. 按照如图所示的流程,若输出的 $M = -6$,则输入的 $m$ 为(
A.$-3$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$
A
)A.$-3$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$
答案
A
解析
根据题意，分两种情况讨论：
当$2m-1\geq0$，即$m\geq\frac{1}{2}$时，$M = \frac{6}{m - 1}$，
若$M = -6$，则$\frac{6}{m - 1} = -6$，
两边同时乘以$m - 1$得：$6 = -6(m - 1)$，
去括号得：$6 = -6m + 6$，
移项合并得：$6m = 0$，
解得：$m = 0$，
因为$0\lt\frac{1}{2}$，不满足$m\geq\frac{1}{2}$，舍去。
当$2m - 1\lt0$，即$m\lt\frac{1}{2}$时，$M = m - 3$，
若$M = -6$，则$m - 3 = -6$，
移项可得：$m = -6 + 3$，
解得：$m = -3$，
$-3\lt\frac{1}{2}$，满足条件。
当$2m-1\geq0$，即$m\geq\frac{1}{2}$时，$M = \frac{6}{m - 1}$，
若$M = -6$，则$\frac{6}{m - 1} = -6$，
两边同时乘以$m - 1$得：$6 = -6(m - 1)$，
去括号得：$6 = -6m + 6$，
移项合并得：$6m = 0$，
解得：$m = 0$，
因为$0\lt\frac{1}{2}$，不满足$m\geq\frac{1}{2}$，舍去。
当$2m - 1\lt0$，即$m\lt\frac{1}{2}$时，$M = m - 3$，
若$M = -6$，则$m - 3 = -6$，
移项可得：$m = -6 + 3$，
解得：$m = -3$，
$-3\lt\frac{1}{2}$，满足条件。
9. 对于实数 $a$,$b$,定义一种新运算“$\otimes$”：$a\otimes b= \frac{1}{a-b^{2}}$,这里等式右边是实数运算. 例如：$1\otimes3= \frac{1}{1-3^{2}}= -\frac{1}{8}$. 则方程 $x\otimes(-2)= \frac{2}{x-4}-1$的解是(
A.$x = 4$
B.$x = 5$
C.$x = 6$
D.$x = 7$
B
)A.$x = 4$
B.$x = 5$
C.$x = 6$
D.$x = 7$
答案
B
解析
根据定义，$x \otimes (-2) = \frac{1}{x - (-2)^2} = \frac{1}{x - 4}$。
代入方程得：$\frac{1}{x - 4} = \frac{2}{x - 4} - 1$。
方程两边同乘$(x-4)$以消去分母，得：$1 = 2 - (x - 4)$。
整理方程：$1 = 2 - x + 4$，$x = 5$。
检验：当$x = 5$时，$x - 4 \neq 0$，所以$x = 5$是原方程的解。
代入方程得：$\frac{1}{x - 4} = \frac{2}{x - 4} - 1$。
方程两边同乘$(x-4)$以消去分母，得：$1 = 2 - (x - 4)$。
整理方程：$1 = 2 - x + 4$，$x = 5$。
检验：当$x = 5$时，$x - 4 \neq 0$，所以$x = 5$是原方程的解。
