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10. 若关于 $x$ 的方程$\frac{2x+a}{x-3}= 1$的解是正数,则 $a$ 的取值范围是(
A.$a ＞ -3$
B.$a ＜ -3$
C.$a ＜ 0$ 且 $a \neq 3$
D.$a ＜ -3$ 且 $a \neq -6$
D
)A.$a ＞ -3$
B.$a ＜ -3$
C.$a ＜ 0$ 且 $a \neq 3$
D.$a ＜ -3$ 且 $a \neq -6$
答案
D
解析
方程 $\frac{2x + a}{x - 3} = 1$，
去分母得：$2x + a = x - 3$，
移项合并得：$x = -a - 3$，
由分式方程解为正数，得到 $-a - 3 ＞ 0$，且 $x - 3 \neq 0$ 即 $-a - 3 - 3 \neq 0$，
解得：$a ＜ -3$ 且 $a \neq -6$。
去分母得：$2x + a = x - 3$，
移项合并得：$x = -a - 3$，
由分式方程解为正数，得到 $-a - 3 ＞ 0$，且 $x - 3 \neq 0$ 即 $-a - 3 - 3 \neq 0$，
解得：$a ＜ -3$ 且 $a \neq -6$。
11. 解下列分式方程：
(1) $\frac{2}{x}= \frac{1}{2x-1}$；
(2) $\frac{1-x}{x-3}-\frac{2}{3-x}= -2$.
(1) $\frac{2}{x}= \frac{1}{2x-1}$；
(2) $\frac{1-x}{x-3}-\frac{2}{3-x}= -2$.
答案
(1)方程两边同乘$x(2x - 1)$，得$2(2x - 1)=x$
去括号，得$4x - 2 = x$
移项，得$4x - x = 2$
合并同类项，得$3x = 2$
系数化为1，得$x=\frac{2}{3}$
检验：当$x = \frac{2}{3}$时，$x(2x - 1)=\frac{2}{3}×(2×\frac{2}{3}-1)=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\neq0$
所以$x = \frac{2}{3}$是原分式方程的解
(2)原方程可化为$\frac{1 - x}{x - 3}+\frac{2}{x - 3}=-2$
方程两边同乘$x - 3$，得$1 - x + 2=-2(x - 3)$
去括号，得$3 - x=-2x + 6$
移项，得$-x + 2x=6 - 3$
合并同类项，得$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 3=0$，所以$x = 3$是增根
原分式方程无解
去括号，得$4x - 2 = x$
移项，得$4x - x = 2$
合并同类项，得$3x = 2$
系数化为1，得$x=\frac{2}{3}$
检验：当$x = \frac{2}{3}$时，$x(2x - 1)=\frac{2}{3}×(2×\frac{2}{3}-1)=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\neq0$
所以$x = \frac{2}{3}$是原分式方程的解
(2)原方程可化为$\frac{1 - x}{x - 3}+\frac{2}{x - 3}=-2$
方程两边同乘$x - 3$，得$1 - x + 2=-2(x - 3)$
去括号，得$3 - x=-2x + 6$
移项，得$-x + 2x=6 - 3$
合并同类项，得$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 3=0$，所以$x = 3$是增根
原分式方程无解
12. 已知关于 $x$ 的分式方程$\frac{m+x-1}{x}-\frac{3m+1}{x+1}= 1$.
(1) 当 $m = -1$ 时,请判断这个方程是否有解并说明理由.
(2) 若这个分式方程有实数解,求 $m$ 的取值范围.
(1) 当 $m = -1$ 时,请判断这个方程是否有解并说明理由.
(2) 若这个分式方程有实数解,求 $m$ 的取值范围.
答案
(1) 当 $ m = -1 $ 时，原方程为 $\frac{-1 + x - 1}{x} - \frac{3(-1) + 1}{x + 1} = 1$，化简得 $\frac{x - 2}{x} + \frac{2}{x + 1} = 1$。去分母，两边乘 $ x(x + 1) $ 得 $(x - 2)(x + 1) + 2x = x(x + 1)$，展开后化简为 $-2 = 0$，矛盾，故方程无解。
(2) 原方程去分母，两边乘 $ x(x + 1) $ 得 $(m + x - 1)(x + 1) - (3m + 1)x = x(x + 1)$，化简得 $(2m + 2)x = m - 1$。当 $ 2m + 2 \neq 0 $ 即 $ m \neq -1 $ 时，$ x = \frac{m - 1}{2(m + 1)} $。要使原方程有解，需 $ x \neq 0 $ 且 $ x \neq -1 $。若 $ x = 0 $，则 $ m = 1 $；若 $ x = -1 $，则 $ m = -\frac{1}{3} $。综上，$ m \neq -1 $ 且 $ m \neq 1 $ 且 $ m \neq -\frac{1}{3} $。
(1) 无解，理由：去分母后得矛盾等式 $-2 = 0$。
(2) $ m $ 的取值范围是 $ m \neq -1 $ 且 $ m \neq 1 $ 且 $ m \neq -\frac{1}{3} $。
(2) 原方程去分母，两边乘 $ x(x + 1) $ 得 $(m + x - 1)(x + 1) - (3m + 1)x = x(x + 1)$，化简得 $(2m + 2)x = m - 1$。当 $ 2m + 2 \neq 0 $ 即 $ m \neq -1 $ 时，$ x = \frac{m - 1}{2(m + 1)} $。要使原方程有解，需 $ x \neq 0 $ 且 $ x \neq -1 $。若 $ x = 0 $，则 $ m = 1 $；若 $ x = -1 $，则 $ m = -\frac{1}{3} $。综上，$ m \neq -1 $ 且 $ m \neq 1 $ 且 $ m \neq -\frac{1}{3} $。
(1) 无解，理由：去分母后得矛盾等式 $-2 = 0$。
(2) $ m $ 的取值范围是 $ m \neq -1 $ 且 $ m \neq 1 $ 且 $ m \neq -\frac{1}{3} $。
13. 如果关于 $x$ 的方程 $1+\frac{x}{2-x}= \frac{2m}{x^{2}-4}的解也是不等式组\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2,\\2(x-3)\leqslant x-8\end{cases} $的解,求 $m$ 的取值范围.
答案
$m＞0$
解析
1. 解分式方程：$1+\frac{x}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$
左边化简：$1+\frac{x}{2-x}=\frac{(2-x)+x}{2-x}=\frac{2}{2-x}$，
方程化为：$\frac{2}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$，
因$x^2-4=(x-2)(x+2)=-(2-x)(x+2)$，两边乘$x^2-4$得：$2(x+2)=-2m$，
解得$x=-m-2$，
增根条件：$x^2-4≠0$即$x≠±2$，故$-m-2≠2$且$-m-2≠-2$，得$m≠-4$且$m≠0$。
2. 解不等式组：
$\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2①\\2(x-3)\leq x-8②\end{cases}$
解①：$1-x＞2x-4\Rightarrow 3x＜5\Rightarrow x＜\frac{5}{3}$，
解②：$2x-6\leq x-8\Rightarrow x\leq-2$，
不等式组解集为$x\leq-2$。
3. 方程的解$x=-m-2$需满足$x\leq-2$且$x≠-2$（增根）：
$-m-2\leq-2\Rightarrow m\geq0$，
$-m-2≠-2\Rightarrow m≠0$，
综上，$m＞0$。
左边化简：$1+\frac{x}{2-x}=\frac{(2-x)+x}{2-x}=\frac{2}{2-x}$，
方程化为：$\frac{2}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$，
因$x^2-4=(x-2)(x+2)=-(2-x)(x+2)$，两边乘$x^2-4$得：$2(x+2)=-2m$，
解得$x=-m-2$，
增根条件：$x^2-4≠0$即$x≠±2$，故$-m-2≠2$且$-m-2≠-2$，得$m≠-4$且$m≠0$。
2. 解不等式组：
$\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2①\\2(x-3)\leq x-8②\end{cases}$
解①：$1-x＞2x-4\Rightarrow 3x＜5\Rightarrow x＜\frac{5}{3}$，
解②：$2x-6\leq x-8\Rightarrow x\leq-2$，
不等式组解集为$x\leq-2$。
3. 方程的解$x=-m-2$需满足$x\leq-2$且$x≠-2$（增根）：
$-m-2\leq-2\Rightarrow m\geq0$，
$-m-2≠-2\Rightarrow m≠0$，
综上，$m＞0$。
