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5. (2024·河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，长方形$ABCD$位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该长方形四个顶点中“特征值”最小的是(
A.点$A$
B.点$B$
C.点$C$
D.点$D$
B
)A.点$A$
B.点$B$
C.点$C$
D.点$D$
答案
5.B 解析:不妨采用赋值法求解.设A(1.5，1)，AB=3.5,AD=2,则B(5,1),C(5,3),D(1.5,3),此时点A,B,C,D的“特征值”分别是$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{5}$,$\frac{3}{5}$,2,
∴“特征值”最小的是点B.
∴“特征值”最小的是点B.
6. 如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第四象限内作出点$P(m - 1,2n)$，则$m$与$n$之间的数量关系为
m+2n=1
.答案
6.m+2n=1 解析:由作图，可知点P在第四象限的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，即|m - 1|=|2n|.又
∵点P(m - 1,2n)在第四象限，
∴m - 1=-2n,即m+2n=1.
∴点P到x轴和y轴的距离相等，即|m - 1|=|2n|.又
∵点P(m - 1,2n)在第四象限，
∴m - 1=-2n,即m+2n=1.
7. (2024·河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形$ABCD$的边$AB$在$x$轴上，点$A$的坐标为$(-2,0)$，点$E$在边$CD$上.将$\triangle BCE$沿$BE$折叠，点$C$落在点$F$处.若点$F$的坐标为$(0,6)$，则点$E$的坐标为
(3,10)
.答案
7.(3,10) 解析:如图，设CD交y轴于点G,正方形的边长为m.
∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴AD=AB=CD=CB=m,AD⊥x轴,CD⊥y轴.由折叠,得FB=CB=m,FE=CE.
∵A(-2,0),F(0,6),
∴OA=GD=2,OF=6,
∴OB=m - 2.
∵在Rt△FOB 中,OB²+OF²=BF²,
∴(m - 2)²+6²=m²,解得m=10,
∴AD=OG=CD=10,
∴FG=10 - 6=4,FE=CE=10 - 2 - GE=8 - GE.
∵在Rt△FGE中,GE²+FG²=FE²,
∴GE²+4²=(8 - GE)²,解得GE=3,
∴点E的坐标为(3,10).
8. (新考法·新定义题)对于平面直角坐标系中的点$P(a,b)$，若$P'(a + kb,ka + b)$(其中$k$为常数，且$k\neq0$)，则称点$P'$为点$P$的“$k$属派生点”.例如：$P(1,4)$的“$2$属派生点”为$P'(1 + 2×4,2×1 + 4)$，即$P'(9,6)$.
(1)点$P(-2,3)$的“$3$属派生点”$P'$的坐标为
(2)若点$P$的“$5$属派生点”$P'$的坐标为$(3,-9)$，求点$P$的坐标；
(3)若点$P(a,b)$在$x$轴的正半轴上，点$P$的“$k$属派生点”为点$P'$，且线段$PP'$的长度为线段$OP$长度的$2$倍，求$k$的值.
(1)点$P(-2,3)$的“$3$属派生点”$P'$的坐标为
(7,-3)
；(2)若点$P$的“$5$属派生点”$P'$的坐标为$(3,-9)$，求点$P$的坐标；
(3)若点$P(a,b)$在$x$轴的正半轴上，点$P$的“$k$属派生点”为点$P'$，且线段$PP'$的长度为线段$OP$长度的$2$倍，求$k$的值.
答案
8.
(1)(7,-3)
(2)设P(x,y).根据题意，得
$\begin{cases}x + 5y = 3\\5x + y = -9\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases}$，
∴点P的坐标为(-2,1)
(3)
∵点P(a,b)在x轴的正半轴上,
∴b=0,a＞0,
∴点P 的坐标为(a,0),此时点P'的坐标为(a,ka),
∴PP'=|ka|,OP=a.根据题意,得|PP'|=2|OP|,即|ka|=2a.
∵a＞0,
∴|k|=2,
∴k的值为±2
(1)(7,-3)
(2)设P(x,y).根据题意，得
$\begin{cases}x + 5y = 3\\5x + y = -9\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases}$，
∴点P的坐标为(-2,1)
(3)
∵点P(a,b)在x轴的正半轴上,
∴b=0,a＞0,
∴点P 的坐标为(a,0),此时点P'的坐标为(a,ka),
∴PP'=|ka|,OP=a.根据题意,得|PP'|=2|OP|,即|ka|=2a.
∵a＞0,
∴|k|=2,
∴k的值为±2
9. (分类讨论思想)如图，在平面直角坐标系中，$O$是原点，点$A$的坐标为$(4,3)$，$P$是坐标轴上的一点.若以$O$，$A$，$P$为顶点的三角形为等腰三角形，则满足条件的点$P$共有
8
个，请直接写出所有满足条件的点$P$的坐标.答案
9.8 满足条件的点P的坐标为(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,$\frac{25}{6}$),($\frac{25}{8}$,0)
解析
解：点$A(4,3)$，则$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
情况一：$OA=OP$
当$P$在$x$轴上时，$P(\pm5,0)$；
当$P$在$y$轴上时，$P(0,\pm5)$。
情况二：$OA=AP$
当$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，则$\sqrt{(x-4)^2+3^2}=5$，解得$x=8$或$x=0$（舍去），即$P(8,0)$；
当$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，则$\sqrt{4^2+(y-3)^2}=5$，解得$y=6$或$y=0$（舍去），即$P(0,6)$。
情况三：$OP=AP$
当$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，则$x^2=(x-4)^2+3^2$，解得$x=\frac{25}{8}$，即$P\left(\frac{25}{8},0\right)$；
当$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，则$y^2=4^2+(y-3)^2$，解得$y=\frac{25}{6}$，即$P\left(0,\frac{25}{6}\right)$。
满足条件的点$P$的坐标为：$(5,0)$，$(-5,0)$，$(0,5)$，$(0,-5)$，$(8,0)$，$(0,6)$，$\left(\frac{25}{8},0\right)$，$\left(0,\frac{25}{6}\right)$。
情况一：$OA=OP$
当$P$在$x$轴上时，$P(\pm5,0)$；
当$P$在$y$轴上时，$P(0,\pm5)$。
情况二：$OA=AP$
当$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，则$\sqrt{(x-4)^2+3^2}=5$，解得$x=8$或$x=0$（舍去），即$P(8,0)$；
当$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，则$\sqrt{4^2+(y-3)^2}=5$，解得$y=6$或$y=0$（舍去），即$P(0,6)$。
情况三：$OP=AP$
当$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，则$x^2=(x-4)^2+3^2$，解得$x=\frac{25}{8}$，即$P\left(\frac{25}{8},0\right)$；
当$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，则$y^2=4^2+(y-3)^2$，解得$y=\frac{25}{6}$，即$P\left(0,\frac{25}{6}\right)$。
满足条件的点$P$的坐标为：$(5,0)$，$(-5,0)$，$(0,5)$，$(0,-5)$，$(8,0)$，$(0,6)$，$\left(\frac{25}{8},0\right)$，$\left(0,\frac{25}{6}\right)$。
