1. (新考法·新定义题)(2024·河北)在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移),每次平移1个单位长度.若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点$Q_{16}(-1,9)$,则点Q的坐标为 ()

A.$(6,1)$或$(7,1)$
B.$(15,-7)$或$(8,0)$
C.$(6,0)$或$(8,0)$
D.$(5,1)$或$(7,1)$

1. D

2. 如图,在平面直角坐标系中,将$\triangle ABO$沿x轴向右滚动到$\triangle AB_{1}C_{1}$的位置,再到$\triangle A_{1}B_{1}C_{2}$的位置……依次进行下去.已知点$A(4,0),B(0,3)$,则点$C_{100}$的坐标为.

2. (600,0) 解析:根据题意,可知每滚动3次为一个周期，点$C_1,C_3,C_5\cdots$在第一象限,点$C_2,C_4,C_6\cdots$在x轴上.$\because A(4,0),B(0,3)$,$\therefore OA=4,OB=3$,$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$,$\therefore$点$C_2$的横坐标为$4+5+3=12=2×6$.同理,可得点$C_4$的横坐标为$4×6$,点$C_6$的横坐标为$6×6$,$\cdots$,$\therefore$点$C_{2n}$的横坐标为$2n×6$(n为正整数),$\therefore$点$C_{100}$的横坐标为$100×6=600$,$\therefore$点$C_{100}$的坐标为(600,0).

解：已知点$A(4,0)$，$B(0,3)$，则$OA=4$，$OB=3$。
在$\triangle ABO$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
观察滚动过程，每滚动3次为一个周期，且点$C_2,C_4,C_6\cdots$在$x$轴上。
点$C_2$的横坐标为$OA + AB + OB=4 + 5 + 3=12=2×6$；
点$C_4$的横坐标为$4×6$；
点$C_6$的横坐标为$6×6$；
……
由此可得，点$C_{2n}$的横坐标为$2n×6$（$n$为正整数）。
当$2n = 100$时，$n = 50$，则点$C_{100}$的横坐标为$100×6 = 600$，纵坐标为$0$。
故点$C_{100}$的坐标为$(600,0)$。

3. 如图,在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始向上平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到点$A_{1}(1,1)$;把点$A_{1}$向上平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点$A_{2}(-1,3)$;把点$A_{2}$向下平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到点$A_{3}(-4,0)$;把点$A_{3}$向下平移4个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到点$A_{4}(0,-4)$……依次进行下去,则点$A_{10}$的坐标为.

3. (-1,11)

解：
点$A_1(1,1)$，
$A_2(-1,3)$，
$A_3(-4,0)$，
$A_4(0,-4)$，
$A_5(5,1)$，
$A_6(-1,7)$，
$A_7(-8,0)$，
$A_8(0,-8)$，
$A_9(9,1)$，
$A_{10}(-1,11)$。
$(-1,11)$

4. 如果将点P绕定点M旋转$180^{\circ}$后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫作对称中心,此时,M是线段PQ的中点.如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABO$的顶点A,B,O的坐标分别为$(1,0),(0,1),(0,0)$.点列$P_{1},P_{2},P_{3}$…中的相邻两点都关于$\triangle ABO$的一个顶点对称:点$P_{1}$与点$P_{2}$关于点A对称,点$P_{2}$与点$P_{3}$关于点B对称,点$P_{3}$与点$P_{4}$关于点O对称,点$P_{4}$与点$P_{5}$关于点A对称,点$P_{5}$与点$P_{6}$关于点B对称,点$P_{6}$与点$P_{7}$关于点O对称……对称中心分别是点A,B,O,A,B,O…,且这些对称中心依次循环.已知点$P_{1}$的坐标是$(1,1)$,试求点$P_{2},P_{7},P_{100}$的坐标.

4. 根据所给的坐标,可知O为坐标原点.由于点$P_1$与点$P_2$关于点A对称,且点$P_1$的坐标是(1,1),$\therefore$点$P_2$的坐标是(1,-1).$\because$点$P_2$与点$P_3$关于点B对称,$\therefore$点$P_3$的坐标是(-1,3).$\because$点$P_3$与点$P_4$关于点O对称,$\therefore$点$P_4$的坐标是(1,-3).$\because$点$P_4$与点$P_5$关于点A对称,$\therefore$点$P_5$的坐标是(1,3).$\because$点$P_5$与点$P_6$关于点B对称,$\therefore$点$P_6$的坐标是(-1,-1).$\because$点$P_6$与点$P_7$关于点O对称,$\therefore$点$P_7$的坐标是(1,1).此时点$P_7$与点$P_1$重合.依次类推,反复循环,即点$P_8$与点$P_2$重合,点$P_9$与点$P_3$重合,点$P_{10}$与点$P_4$重合,点$P_{11}$与点$P_5$重合,点$P_{12}$与点$P_6$重合,点$P_{13}$与点$P_7$重合(即与点$P_1$重合),由此推断,点$P_n$的位置变换是以每6次对称为一个周期进行循环的.$\because100=16×6+4$,$\therefore$点$P_{100}$的坐标与点$P_4$的坐标一致,即点$P_{100}$的坐标为(1,-3)

解：
$\because$ 点$P_1(1,1)$与点$P_2$关于点$A(1,0)$对称，
$\therefore$ 点$P_2$的坐标为$(1,-1)$。
$\because$ 点$P_2(1,-1)$与点$P_3$关于点$B(0,1)$对称，
$\therefore$ 点$P_3$的坐标为$(-1,3)$。
$\because$ 点$P_3(-1,3)$与点$P_4$关于点$O(0,0)$对称，
$\therefore$ 点$P_4$的坐标为$(1,-3)$。
$\because$ 点$P_4(1,-3)$与点$P_5$关于点$A(1,0)$对称，
$\therefore$ 点$P_5$的坐标为$(1,3)$。
$\because$ 点$P_5(1,3)$与点$P_6$关于点$B(0,1)$对称，
$\therefore$ 点$P_6$的坐标为$(-1,-1)$。
$\because$ 点$P_6(-1,-1)$与点$P_7$关于点$O(0,0)$对称，
$\therefore$ 点$P_7$的坐标为$(1,1)$。
由上述计算可知，点列$P_1,P_2,P_3,\cdots$以6为周期循环，即$P_{n+6}=P_n$。
$\because 100=6×16+4$，
$\therefore P_{100}=P_4=(1,-3)$。
综上，$P_2(1,-1)$，$P_7(1,1)$，$P_{100}(1,-3)$。