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8.(2024 凉山州中考)已知$a^{2}-b^{2}= 12$,且$a-b= -2$,则$a+b$的值为______.
答案
-6
9.若$k$为任意整数,则$(2k+3)^{2}-4k^{2}$的值总能()
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
答案
B
10.已知$a,b,c是\triangle ABC$的三边,且满足$a^{2}-b^{2}= ac-bc$,则$\triangle ABC$的形状是______.
答案
等腰三角形
11.将边长分别为$(a+b)和(a-b)$的两个正方形摆放成如图所示的位置,则阴影部分的面积化简后的结果是______.
答案
4ab
12.分解因式:
(1)$-4x^{2}y^{2}+16$; (2)$(x-1)^{2}-36$; (3)$9b^{2}-(b-2c)^{2}$;
(4)$(a+b-c)^{2}-(a-b-c)^{2}$; (5)$81(a-b)^{2}-49(a+b)^{2}$.
(1)$-4x^{2}y^{2}+16$; (2)$(x-1)^{2}-36$; (3)$9b^{2}-(b-2c)^{2}$;
(4)$(a+b-c)^{2}-(a-b-c)^{2}$; (5)$81(a-b)^{2}-49(a+b)^{2}$.
答案
解：(1)原式$=-4(x^{2}y^{2} - 4)$
$=-4(xy + 2)(xy - 2)$；
(2)原式$=(x - 1 + 6)(x - 1 - 6)$
$=(x + 5)(x - 7)$；
(3)原式$=(3b + b - 2c)(3b - b + 2c)$
$=(4b - 2c)(2b + 2c)$
$=4(2b - c)(b + c)$；
(4)原式$=(a + b - c + a - b - c)·(a + b - c - a + b + c)$
$=(2a - 2c)·2b$
$=4b(a - c)$；
(5)原式$=[9(a - b) + 7(a + b)]·[9(a - b) - 7(a + b)]$
$=(16a - 2b)(2a - 16b)$
$=2(8a - b)×2(a - 8b)$
$=4(8a - b)(a - 8b)$。
$=-4(xy + 2)(xy - 2)$；
(2)原式$=(x - 1 + 6)(x - 1 - 6)$
$=(x + 5)(x - 7)$；
(3)原式$=(3b + b - 2c)(3b - b + 2c)$
$=(4b - 2c)(2b + 2c)$
$=4(2b - c)(b + c)$；
(4)原式$=(a + b - c + a - b - c)·(a + b - c - a + b + c)$
$=(2a - 2c)·2b$
$=4b(a - c)$；
(5)原式$=[9(a - b) + 7(a + b)]·[9(a - b) - 7(a + b)]$
$=(16a - 2b)(2a - 16b)$
$=2(8a - b)×2(a - 8b)$
$=4(8a - b)(a - 8b)$。
13.(教材变式)利用因式分解计算:
(1)$(55^{2}+49^{2})-(50^{2}+54^{2})$; (2)$(1-\frac {1}{2^{2}})(1-\frac {1}{3^{2}})(1-\frac {1}{4^{2}})$.
(1)$(55^{2}+49^{2})-(50^{2}+54^{2})$; (2)$(1-\frac {1}{2^{2}})(1-\frac {1}{3^{2}})(1-\frac {1}{4^{2}})$.
答案
解：(1)原式$=(55^{2} - 54^{2}) - (50^{2} - 49^{2})$
$=(55 + 54)×(55 - 54) - (50 + 49)×(50 - 49)$
$=(55 + 54) - (50 + 49)$
$=109 - 99 = 10$；
(2)原式$=(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{4})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$
$=\frac{5}{8}$。
$=(55 + 54)×(55 - 54) - (50 + 49)×(50 - 49)$
$=(55 + 54) - (50 + 49)$
$=109 - 99 = 10$；
(2)原式$=(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{4})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$
$=\frac{5}{8}$。
14.先分解因式,再求值:$(4x+5y)^{2}-(3x-5y)^{2}$,其中$x= \frac {1}{7},y= 1$.
答案
解：原式$=(4x + 5y + 3x - 5y)·(4x + 5y - 3x + 5y)$
$=7x(x + 10y)$。
当$x = \frac{1}{7}$，$y = 1$时，
原式$=7×\frac{1}{7}×(\frac{1}{7} + 10×1)$
$=10\frac{1}{7}$。
$=7x(x + 10y)$。
当$x = \frac{1}{7}$，$y = 1$时，
原式$=7×\frac{1}{7}×(\frac{1}{7} + 10×1)$
$=10\frac{1}{7}$。
15.(教材变式)【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
【验证】(1)$17^{2}-15^{2}$的结果是8的多少倍?
【证明】(2)两个连续奇数$2n+1与2n-1$($n$为整数)的平方差是8的整数倍.
【验证】(1)$17^{2}-15^{2}$的结果是8的多少倍?
【证明】(2)两个连续奇数$2n+1与2n-1$($n$为整数)的平方差是8的整数倍.
答案
解：(1)$\because 17^{2} - 15^{2} = (17 + 15)×(17 - 15)$
$=32×2$
$=64$
$=8×8$，
$\therefore 17^{2} - 15^{2}$的结果是8的8倍；
(2)$\because (2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n×2 = 8n$，
$\therefore$两个连续奇数$2n + 1$与$2n - 1$（n为整数）的平方差是8的整数倍。
$=32×2$
$=64$
$=8×8$，
$\therefore 17^{2} - 15^{2}$的结果是8的8倍；
(2)$\because (2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n×2 = 8n$，
$\therefore$两个连续奇数$2n + 1$与$2n - 1$（n为整数）的平方差是8的整数倍。
