13. (2025武汉二中)已知点$(-1,a)$,$(m,a)都在抛物线y = x^{2}-4$上,则$m$的值为______.

1

14. 已知点$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})在抛物线y = -x^{2}+3$上,且$0＜x_{1}＜x_{2}$,则$y_{1}$______$y_{2}$. (填“＜”或“＞”或“=”)

＞

15. 一个二次函数$y = ax^{2}+bx + c图象的顶点在y$轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是______.

y = -x² + 1(答案不唯一)

16. 已知二次函数$y = x^{2}-1$,当$1\leqslant x\leqslant 2$时,函数值$y$的取值范围是()
A. $-1\leqslant y\leqslant 3$
B. $-1\leqslant y\leqslant 0$
C. $0\leqslant y\leqslant 1$
D. $0\leqslant y\leqslant 3$

D

17. 如图,抛物线$y = -x^{2}+4与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,四边形$ABCD$为平行四边形.
(1)直接写出$A$,$B$,$C$三点的坐标；
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点$D$,求平移后抛物线的解析式.

解：(1)A(-2, 0)，B(2, 0)，C(0, 4)；
(2)∵四边形ABCD为平行四边形，AB = 4，C(0, 4)，
∴CD = AB = 4，CD//AB，
∴D(-4, 4)，
设平移后的抛物线为y = -x² + m，
∴4 = -(-4)² + m，解得m = 20，
∴平移后的抛物线为y = -x² + 20。

18. (2024赤峰中考改)如图,正方形$ABCD的顶点A$,$C在抛物线y = -x^{2}+4$上,点$D在y$轴上. 若$A$,$C两点的横坐标分别为m$,$n(m＞n＞0)$,试探究$m$,$n$之间的数量关系.

解：点A坐标为(m, -m² + 4)，点C坐标为(n, -n² + 4)。
分别过点A，C作y轴的垂线，垂足分别为M，N，
则△CDN≌△DAM，
∴DM = CN = n，DN = AM = m，
∴MN = DM + DN = m + n，
又∵MN = m² - n²，
∴m² - n² = m + n，
∵m ＞ n ＞ 0，∴m - n = 1。

19. (2024原创题)如图,抛物线$y = ax^{2}-4与x轴交于A$,$B$两点(点$A在点B$的左边),与$y轴交于点C$,$AB = OC$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若$P$为抛物线上的一点,且$\angle PAC= \angle ACO$,求点$P$的坐标.

解：(1)当x = 0时，y = -4，
∴C(0, -4)，∴AB = OC = 4，
∵抛物线y = ax² - 4关于y轴对称，
∴OA = OB = $\frac{1}{2}$AB = 2，
∴B(2, 0)，代入y = ax² - 4，
得4a - 4 = 0，
∴a = 1，∴y = x² - 4；
(2)设PA交y轴于点D，
则∠DAC = ∠ACD，
∴AD = CD，设OD = t，
则AD = CD = 4 - t，
在Rt△AOD中，
AD² = OD² + AO²，
∴(4 - t)² = 2² + t²，
解得t = $\frac{3}{2}$，∴D(0, -$\frac{3}{2}$)，
∴AD的解析式为y = -$\frac{3}{4}$x - $\frac{3}{2}$。
设点P(m, m² - 4)，
代入得m² - 4 = -$\frac{3}{4}$m - $\frac{3}{2}$，
解得m₁ = -2(舍去)，m₂ = $\frac{5}{4}$，
∴点P的坐标为($\frac{5}{4}$, -$\frac{39}{16}$)。