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3. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6cm$，$BC = 8cm$，现将矩形折叠，使点 $A$ 与点 $C$ 重合，则折痕 $EF$ 长为
$\frac{15}{2}cm$
。答案
$\frac{15}{2}cm$
4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$BC = 4$，将矩形沿 $AC$ 折叠，使点 $D$ 落在点 $D'$ 处，$CD'$ 交 $AB$ 于点 $F$，则重叠部分 $\triangle AFC$ 的面积为
$10$
。答案
$10$
5. 已知：$A(-2,-1)$，$B(3,1)$，$C(0,1)$ 和点 $D$ 在坐标平面内，且以 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的点 $D$ 有
$3$
个。答案
$3$
6. 在四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是边 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，请你添加一个条件，使四边形 $EFGH$ 为菱形，应添加的条件是
$AC = BD$
。答案
$AC = BD$
1. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $AD$ 上，点 $F$ 在边 $BC$ 的延长线上，连接 $EF$ 与边 $CD$ 相交于点 $G$，连接 $BE$ 与对角线 $AC$ 相交于点 $H$，$AE = CF$，$BE = EG$。
(1) 求证：$EF// AC$。
【证明】已知四边形$ABCD$是正方形，所以$AD// BF$。
因为$AE = CF$，所以四边形$ACFE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质，可得$EF// AC$。
(2) 求 $\angle BEF$ 的度数。
【解】连接$BG$。
因为$EF// AC$，所以$\angle F=\angle ACB$。
又因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle ACB = 45^{\circ}$，则$\angle F = 45^{\circ}$。
因为$\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle DGF=\angle CGF = 45^{\circ}$，那么$CF = CG$。
又因为$AE = CF$，所以$AE = CG$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBG$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BC\\\angle A=\angle BCG = 90^{\circ}\\AE = CG\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle CBG$。
所以$BE = BG$，又因为$BE = EG$，所以$BE = BG = EG$。
根据等边三角形的判定（三条边都相等的三角形是等边三角形），可知$\triangle BEG$是等边三角形。
根据等边三角形的性质，其三个内角都为$60^{\circ}$，所以$\angle BEF =$
(1) 求证：$EF// AC$。
【证明】已知四边形$ABCD$是正方形，所以$AD// BF$。
因为$AE = CF$，所以四边形$ACFE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质，可得$EF// AC$。
(2) 求 $\angle BEF$ 的度数。
【解】连接$BG$。
因为$EF// AC$，所以$\angle F=\angle ACB$。
又因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle ACB = 45^{\circ}$，则$\angle F = 45^{\circ}$。
因为$\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle DGF=\angle CGF = 45^{\circ}$，那么$CF = CG$。
又因为$AE = CF$，所以$AE = CG$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBG$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BC\\\angle A=\angle BCG = 90^{\circ}\\AE = CG\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle CBG$。
所以$BE = BG$，又因为$BE = EG$，所以$BE = BG = EG$。
根据等边三角形的判定（三条边都相等的三角形是等边三角形），可知$\triangle BEG$是等边三角形。
根据等边三角形的性质，其三个内角都为$60^{\circ}$，所以$\angle BEF =$
$60^{\circ}$
。答案
【解析】：
### $(1)$ 证明$EF// AC$
已知四边形$ABCD$是正方形，所以$AD// BF$。
因为$AE = CF$，所以四边形$ACFE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质，可得$EF// AC$。
### $(2)$ 求$\angle BEF$的度数
连接$BG$。
因为$EF// AC$，所以$\angle F=\angle ACB$。
又因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle ACB = 45^{\circ}$，则$\angle F = 45^{\circ}$。
因为$\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle DGF=\angle CGF = 45^{\circ}$，那么$CF = CG$。
又因为$AE = CF$，所以$AE = CG$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBG$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BC\\\angle A=\angle BCG = 90^{\circ}\\AE = CG\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle CBG$。
所以$BE = BG$，又因为$BE = EG$，所以$BE = BG = EG$。
根据等边三角形的判定（三条边都相等的三角形是等边三角形），可知$\triangle BEG$是等边三角形。
根据等边三角形的性质，其三个内角都为$60^{\circ}$，所以$\angle BEF = 60^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{60^{\circ}}$
### $(1)$ 证明$EF// AC$
已知四边形$ABCD$是正方形，所以$AD// BF$。
因为$AE = CF$，所以四边形$ACFE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质，可得$EF// AC$。
### $(2)$ 求$\angle BEF$的度数
连接$BG$。
因为$EF// AC$，所以$\angle F=\angle ACB$。
又因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle ACB = 45^{\circ}$，则$\angle F = 45^{\circ}$。
因为$\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle DGF=\angle CGF = 45^{\circ}$，那么$CF = CG$。
又因为$AE = CF$，所以$AE = CG$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBG$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BC\\\angle A=\angle BCG = 90^{\circ}\\AE = CG\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle CBG$。
所以$BE = BG$，又因为$BE = EG$，所以$BE = BG = EG$。
根据等边三角形的判定（三条边都相等的三角形是等边三角形），可知$\triangle BEG$是等边三角形。
根据等边三角形的性质，其三个内角都为$60^{\circ}$，所以$\angle BEF = 60^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{60^{\circ}}$
2. 请在下列四个条件中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形 $ABCD$ 是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)。
关系：① $AD// BC$；② $AB = CD$；③ $\angle A=\angle C$；④ $\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
已知：在四边形 $ABCD$ 中，
求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
关系：① $AD// BC$；② $AB = CD$；③ $\angle A=\angle C$；④ $\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
已知：在四边形 $ABCD$ 中，
$AD// BC$，$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$
。求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
答案
【解析】：
已知：在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$\angle B + \angle C=180^{\circ}$。
因为$\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
又因为$AD// BC$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】：
已知：在四边形$ABCD$中，$\boldsymbol{AD// BC}$，$\boldsymbol{\angle B + \angle C = 180^{\circ}}$。
（答案不唯一，还可以选择①③等组合，证明过程类似，利用平行四边形的判定定理进行证明）
已知：在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$\angle B + \angle C=180^{\circ}$。
因为$\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
又因为$AD// BC$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】：
已知：在四边形$ABCD$中，$\boldsymbol{AD// BC}$，$\boldsymbol{\angle B + \angle C = 180^{\circ}}$。
（答案不唯一，还可以选择①③等组合，证明过程类似，利用平行四边形的判定定理进行证明）
