3. 如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AC$，$BD$ 交于点 $O$，$\angle 1=\angle 2$。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是矩形。
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
又因为$\angle1=\angle2$，所以$OB = OC$。
那么$OA = OB = OC = OD$，所以$AC = BD$。
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以四边形$ABCD$是矩形。
(2) 若 $\angle BOC = 120^{\circ}$，$AB = 4cm$，求四边形 $ABCD$ 的面积。
解：因为$\angle BOC = 120^{\circ}$，$OB = OC$，所以$\angle1=\angle2 = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle1 = 30^{\circ}$，$AB = 4cm$，则$AC = 2AB = 8cm$。
根据勾股定理$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}} = 4\sqrt{3}cm$。
所以四边形$ABCD$的面积$S = AB× BC = 4×4\sqrt{3}=$。

【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
又因为$\angle1=\angle2$，所以$OB = OC$。
那么$OA = OB = OC = OD$，所以$AC = BD$。
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以四边形$ABCD$是矩形。
(2) 因为$\angle BOC = 120^{\circ}$，$OB = OC$，所以$\angle1=\angle2 = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle1 = 30^{\circ}$，$AB = 4cm$，则$AC = 2AB = 8cm$。
根据勾股定理$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}} = 4\sqrt{3}cm$。
所以四边形$ABCD$的面积$S = AB× BC = 4×4\sqrt{3}=16\sqrt{3}cm^{2}$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析。
(2)$16\sqrt{3}cm^{2}$

4. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $O$ 是 $AC$ 边上(端点除外)的一个动点，过点 $O$ 作直线 $MN// BC$。设 $MN$ 交 $\angle BCA$ 的角平分线于点 $E$，交 $\angle BCA$ 外角的角平分线于点 $F$，连接 $AE$，$AF$。
(1) 当点 $O$ 运动到时，四边形 $AECF$ 是矩形。并说明理由。
(2) 在(1)的前提下，当 $\triangle ABC$ 满足条件时，四边形 $AECF$ 是正方形。

【解析】：
(1) 当点$O$运动到$AC$中点时，四边形$AECF$是矩形。
理由：因为$CE$平分$\angle BCA$，所以$\angle BCE = \angle ACE$，又$MN// BC$，所以$\angle OEC=\angle BCE$，则$\angle OEC=\angle ACE$，所以$OE = OC$。同理，因为$CF$平分$\angle BCA$外角，可得$\angle OCF=\angle FCD$，又$MN// BC$，所以$\angle OFC=\angle FCD$，则$\angle OFC=\angle OCF$，所以$OF = OC$。当$O$为$AC$中点时，$OA = OC$，所以$OA = OC = OE = OF$，根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”，可得四边形$AECF$是矩形。
(2) 当$\triangle ABC$满足$\angle ACB = 90^{\circ}$时，四边形$AECF$是正方形。
理由：由(1)知四边形$AECF$是矩形，因为$MN// BC$，当$\angle ACB = 90^{\circ}$时，$\angle AOE=\angle ACB = 90^{\circ}$，即$AC\perp EF$，根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，所以四边形$AECF$是正方形。
【答案】：
(1) 当点$O$运动到$AC$中点时，四边形$AECF$是矩形。
(2) 当$\triangle ABC$满足$\angle ACB = 90^{\circ}$时，四边形$AECF$是正方形。