1. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

B

2. 在平面直角坐标系中,已知点$A(4,2)$,若将$Rt△OAB$(B为直角顶点)绕点O逆时针旋转$90^{\circ }$,得到$△OA'B'$,则点$A'$的坐标为( )
A.$(2,4)$
B.$(4,2)$
C.$(-4,-2)$
D.$(-2,4)$

D

3. 如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,将$△ADE$绕点A顺时针旋转$90^{\circ }$,得到$△ABF$.若四边形AECF的面积为20,$DE=2$,则AE的长为( )


A. 4
B.$2\sqrt {5}$
C. 6
D.$2\sqrt {6}$

D

4. 在平面直角坐标系中,若将点$A(1,-2)$向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点$A'$,则点$A'$的坐标是____.

$(-1,1)$

5. 在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,4)$,点B的坐标为$(2,0)$.若将$△OAB$沿x轴向右平移3个单位长度后,得到$△O'A'B'$,则$A'B$的长为____.

$2\sqrt{5}$

6. 如图,在$△ABC$中,$∠CAB=30^{\circ },∠CBA=45^{\circ }$.将$△ABC$绕点A顺时针旋转,得到$△ADE$.若点D在AC的延长线上,则$∠BDE=$____$^{\circ }$.

$30$

7. 如图,将$△ABC$绕点A顺时针旋转$90^{\circ }$,得到$△ADE$,点B,C的对应点分别为D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上.若$CD=3,BC=1$,求AD的长.

【解析】：
- 由旋转的性质可知$AD = AB$，$DE = BC = 1$，$\angle CAE = 90^{\circ}$，$AC = AE$。
- 所以$\angle ACE=\angle AEC = 45^{\circ}$。
- 因为点$D$在$CE$上，所以$\angle ADE=\angle B = 90^{\circ}$，则$\angle ADE=\angle CAE = 90^{\circ}$。
- 又因为$\angle AED=\angle CEA$，所以$\triangle ADE\sim\triangle CAE$。
- 则$\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{AE}$，即$AE^{2}=CE\times DE$。
- 设$AD = x$，则$AB = x$。
- 在$Rt\triangle ABC$中，$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=x^{2}+1$。
- 因为$CE = CD + DE = 3 + 1 = 4$，$AE = AC$，所以$x^{2}+1 = 4\times1$，解得$x=\sqrt{3}$（负根舍去）。
【答案】：$\sqrt{3}$