1. 已知$a$的相反数是$2$，则$a$的倒数是____，$a$的绝对值是____。

$-\frac{1}{2}$；$2$

2. 绝对值不大于$3$的所有整数为____。

$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$

3. 在数轴上，与表示$-2$的点$A$相距$3$个单位的点所表示的数是____。

$1$或$-5$

4. 下列说法正确的是( )。
A. $a$是正数
B. $-a$是负数
C. $-a^{2}$一定是负数
D. 若$a + b = 0$，则$a$，$b$互为相反数

D

5. 将$2$，$\frac{1}{5}$，$-3$，$-3.14$，$\frac{22}{7}$，$-1\frac{1}{3}$，$0$，$0.1$分别填入相应的大括号内。
整数$\{\cdots\}$；正有理数$\{\cdots\}$；
负分数$\{\cdots\}$；非负有理数$\{\cdots\}$。

整数$\{2, -3, 0\}$；正有理数$\{2, \frac{1}{5}, \frac{22}{7}, 0.1\}$；负分数$\{-3.14, -1\frac{1}{3}\}$；非负有理数$\{2, \frac{1}{5}, \frac{22}{7}, 0, 0.1\}$

6. 若$\vert a\vert = 6$，$\vert b\vert = 5$，$a + b ＞ 0$，则$a - b$的值是( )。
A. $1$或$11$
B. $11$或$-11$
C. $1$或$-1$
D. $-1$或$11$

A

7. 用“$＜$”符号把下面这些数连接起来：$-5$，$4\frac{1}{2}$，$2$，$0$，$-2.5$。

【解析】：根据有理数大小比较的规则：正数大于$0$，负数小于$0$，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。先分别确定各数的正负性，再比较负数的绝对值大小。$\vert -5\vert = 5$，$\vert -2.5\vert = 2.5$，因为$5＞2.5$，所以$-5 ＜ -2.5$。而正数$4\frac{1}{2}＞2$，所以从小到大的顺序为$-5 ＜ -2.5 ＜ 0 ＜ 2 ＜ 4\frac{1}{2}$。
【答案】：$-5 ＜ -2.5 ＜ 0 ＜ 2 ＜ 4\frac{1}{2}$

8. 数轴上的点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$分别表示数

(1) 观察图并填空：
①点$D$与点$F$的距离为____，点$A$与点$C$的距离为____；
②点$E$与点$G$的距离为____，点$G$与点$B$的距离为____。
(2) 在数轴上，如果点$M$对应的数是$m$，点$N$对应的数是$n$，那么点$M$与点$N$之间的距离可以用含$m$，$n$的代数式表示为$MN =$____。

【解析】：
①数轴上两点距离为两数差的绝对值。点$D$表示$0$，点$F$表示$2$，距离为$\vert 2 - 0\vert = 2$；点$A$表示$-3$，点$C$表示$-1$，距离为$\vert -1 - (-3)\vert = 2$。
②点$E$表示$1$，点$G$表示$3$，距离为$\vert 3 - 1\vert = 2$；点$G$表示$3$，点$B$表示$-2$，距离为$\vert 3 - (-2)\vert = 5$。
对于一般情况，点$M$对应的数是$m$，点$N$对应的数是$n$，那么点$M$与点$N$之间的距离$MN=\vert m - n\vert$。
【答案】：
①$2$，$2$；②$2$，$5$；$\vert m - n\vert$

9. 观察下面的一列数，探求其规律：$-1$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$，$\cdots$
(1) 请问第$7$个，第$8$个，第$9$个数分别是什么数？
(2) 第$2023$个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？
(3) 在这列数中取前若干个数相加，和的符号是什么？请说明理由。

【解析】：
1. 首先分析这列数的规律：
对于这列数$-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},\cdots$，可以发现以下规律：
符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用$(-1)^{n}$来表示符号，其中$n$表示项数。
数值规律：分子都是$1$，分母是从$1$开始的连续正整数，即第$n$个数的分母为$n$。所以这列数的第$n$个数的表达式为$a_{n}=(-1)^{n}\frac{1}{n}$。
2. 然后求解第$7$，$8$，$9$个数：
当$n = 7$时，$a_{7}=(-1)^{7}\frac{1}{7}=-\frac{1}{7}$；
当$n = 8$时，$a_{8}=(-1)^{8}\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$；
当$n = 9$时，$a_{9}=(-1)^{9}\frac{1}{9}=-\frac{1}{9}$。
3. 接着求第$2023$个数：
当$n = 2023$时，$a_{2023}=(-1)^{2023}\frac{1}{2023}=-\frac{1}{2023}$。
当这列数无限排列下去时，$\vert a_{n}\vert=\frac{1}{n}$，随着$n$的增大，$\frac{1}{n}$越来越小，趋近于$0$，所以这列数无限排列下去与$0$越来越近。
4. 最后分析前若干个数相加和的符号：
把相邻的两项相加，$a_{2k - 1}+a_{2k}=(-1)^{2k - 1}\frac{1}{2k - 1}+(-1)^{2k}\frac{1}{2k}=-\frac{1}{2k - 1}+\frac{1}{2k}=\frac{-(2k)+(2k - 1)}{(2k - 1)\times2k}=\frac{-1}{(2k - 1)\times2k}\lt0$（$k$为正整数）。
当取偶数项相加时，设项数为$2m$（$m$为正整数），$S_{2m}=(a_{1}+a_{2})+(a_{3}+a_{4})+\cdots+(a_{2m - 1}+a_{2m})$，因为每一组$a_{2k - 1}+a_{2k}\lt0$，所以$S_{2m}\lt0$。
当取奇数项相加时，设项数为$2m+1$（$m$为非负整数），$S_{2m + 1}=S_{2m}+a_{2m + 1}$，$S_{2m}\lt0$，$a_{2m+1}=(-1)^{2m + 1}\frac{1}{2m + 1}\lt0$，所以$S_{2m + 1}\lt0$。
【答案】：
(1) 第$7$个数是$-\frac{1}{7}$，第$8$个数是$\frac{1}{8}$，第$9$个数是$-\frac{1}{9}$；
(2) 第$2023$个数是$-\frac{1}{2023}$，如果这列数无限排列下去，与$0$越来越近；
(3) 和的符号是负号。理由：当取偶数项相加时，可将相邻两项分组，每组和小于$0$，所以总和小于$0$；当取奇数项相加时，可看作偶数项和加上最后一个负数项，所以总和也小于$0$。