11. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，正比例函数 $ y=\frac{1}{2}x $ 的图象与反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $ 的图象交于 $ A(a,-2) $，$ B $ 两点。
(1) 求反比例函数的解析式和点 $ B $ 的坐标；
(2) $ P $ 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线，交直线 $ AB $ 于点 $ C $，连接 $ PO $，若 $ △ POC $ 的面积为 $ 3 $，求点 $ P $ 的坐标。

11. (1)$y = \frac{8}{x}$，$B(4,2)$ (2)$P(2\sqrt{7},\frac{4\sqrt{7}}{7})$或$P(2,4)$

(1)解：
∵点$A(a,-2)$在正比例函数$y = \frac{1}{2}x$的图象上，
$\therefore -2=\frac{1}{2}a$，解得$a=-4$，
$\therefore A(-4,-2)$。
∵点$A(-4,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore -2=\frac{k}{-4}$，解得$k = 8$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=\frac{8}{x}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 4\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-4\\y=-2\end{cases}$，
$\therefore B(4,2)$。
(2)解：设$P(m,\frac{8}{m})(m＞0)$，
∵过点$P$作$y$轴的平行线交直线$AB$于点$C$，
∴点$C$的横坐标为$m$，
∵点$C$在直线$y=\frac{1}{2}x$上，
$\therefore C(m,\frac{1}{2}m)$。
$\therefore PC=\vert\frac{8}{m}-\frac{1}{2}m\vert$。
∵$△ POC$的面积为$3$，
$\therefore\frac{1}{2}× m×\vert\frac{8}{m}-\frac{1}{2}m\vert=3$，
当$\frac{8}{m}-\frac{1}{2}m＞0$时，$\frac{1}{2}m(\frac{8}{m}-\frac{1}{2}m)=3$，
即$4-\frac{1}{4}m^{2}=3$，$\frac{1}{4}m^{2}=1$，$m^{2}=4$，$m = 2$（$m=-2$舍去），
$\therefore P(2,4)$。
当$\frac{8}{m}-\frac{1}{2}m＜0$时，$\frac{1}{2}m(\frac{1}{2}m-\frac{8}{m})=3$，
即$\frac{1}{4}m^{2}-4=3$，$\frac{1}{4}m^{2}=7$，$m^{2}=28$，$m = 2\sqrt{7}$（$m=-2\sqrt{7}$舍去），
$\therefore P(2\sqrt{7},\frac{4\sqrt{7}}{7})$。
综上，点$P$的坐标为$(2\sqrt{7},\frac{4\sqrt{7}}{7})$或$(2,4)$。

12. 如图，一次函数 $ y=-x+b $ 的图象与反比例函数 $ y=-\frac{k}{x}(x＞0) $ 的图象交于点 $ A(m,4) $，$ B(4,1) $。
(1) 求 $ b $，$ k $，$ m $ 的值；
(2) 根据图象直接写出 $ -x+b＜-\frac{k}{x}(x＞0) $ 的解集；
(3) 点 $ P $ 是线段 $ AB $ 上一点，过点 $ P $ 作 $ PD⊥ x $ 轴于点 $ D $，连接 $ OP $，若 $ △ POD $ 的面积为 $ S $，求 $ S $ 的最大值和最小值。

12. (1)$b = 5$，$k = -4$，$m = 1$ (2)由图可得，$-\frac{k}{x} ＞ -x + b$的解集为$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 4$ (3)$\because$点$P$是线段$AB$上一点，设$P(n,-n + 5)$，$\therefore 1 ≤ n ≤ 4$，$\therefore S_{△ POD} = \frac{1}{2}OD · PD = \frac{1}{2}n(-n + 5) = -\frac{1}{2}(n^2 - 5n) = -\frac{1}{2}(n - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{8}$。$\because -\frac{1}{2} ＜ 0$，且$1 ≤ n ≤ 4$，$\therefore$当$n = \frac{5}{2}$时，$S$有最大值，最大值是$\frac{25}{8}$；当$n = 1$或$n = 4$时，$S$有最小值，最小值是 2

(1)解：将点$B(4,1)$代入$y=-x+b$，得$1=-4+b$，解得$b=5$。
将点$B(4,1)$代入$y=-\frac{k}{x}$，得$1=-\frac{k}{4}$，解得$k=-4$。
将点$A(m,4)$代入$y=-\frac{-4}{x}=\frac{4}{x}$，得$4=\frac{4}{m}$，解得$m=1$。
(2)$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 4$
(3)解：设$P(n,-n + 5)$，其中$1≤ n≤4$。
$S_{△ POD}=\frac{1}{2}OD· PD=\frac{1}{2}n(-n + 5)=-\frac{1}{2}(n^2 - 5n)=-\frac{1}{2}(n - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{8}$
$\because -\frac{1}{2} ＜ 0$，且$1≤ n≤4$
$\therefore$当$n = \frac{5}{2}$时，$S$有最大值$\frac{25}{8}$；当$n = 1$或$n = 4$时，$S$有最小值$2$。