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9. 如图，$ OA=OB $，$ ∠ AOB=90^{\circ} $，点 $ A $，$ B $ 分别在函数 $ y=\frac{k_{1}}{x}(x＞0) $ 和 $ y=\frac{k_{2}}{x}(x＞0) $ 的图象上，且点 $ A $ 的坐标为 $ (1,4) $。
(1) 求 $ k_{1} $，$ k_{2} $ 的值；
(2) 若点 $ C $，$ D $ 分别在函数 $ y=\frac{k_{1}}{x}(x＞0) $ 和 $ y=\frac{k_{2}}{x}(x＞0) $ 的图象上，且不与点 $ A $，$ B $ 重合，是否存在点 $ C $，$ D $，使得 $ △ COD≌△ AOB $？若存在，请直接写出点 $ C $，$ D $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
(1) 求 $ k_{1} $，$ k_{2} $ 的值；
(2) 若点 $ C $，$ D $ 分别在函数 $ y=\frac{k_{1}}{x}(x＞0) $ 和 $ y=\frac{k_{2}}{x}(x＞0) $ 的图象上，且不与点 $ A $，$ B $ 重合，是否存在点 $ C $，$ D $，使得 $ △ COD≌△ AOB $？若存在，请直接写出点 $ C $，$ D $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
9. (1)$k_1 = 4$，$k_2 = -4$ (2)$C(4,1)$，$D(1,-4)$
解析
(1)解：因为点$A(1,4)$在函数$y = \frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象上，所以$4=\frac{k_1}{1}$，解得$k_1 = 4$。
过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$B$作$BF⊥ x$轴于点$F$，则$∠ AEO=∠ OFB = 90°$，$∠ AOE+∠ OAE=90°$。
因为$∠ AOB = 90°$，所以$∠ AOE+∠ BOF=90°$，故$∠ OAE=∠ BOF$。
又因为$OA = OB$，所以$△ AOE≌△ OBF(AAS)$。
因为$A(1,4)$，所以$OE = 1$，$AE = 4$，则$OF=AE = 4$，$BF=OE = 1$。
因为点$B$在第四象限，所以点$B$的坐标为$(4,-1)$。
因为点$B(4,-1)$在函数$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上，所以$-1=\frac{k_2}{4}$，解得$k_2=-4$。
(2)存在，$C(4,1)$，$D(1,-4)$。
过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$B$作$BF⊥ x$轴于点$F$，则$∠ AEO=∠ OFB = 90°$，$∠ AOE+∠ OAE=90°$。
因为$∠ AOB = 90°$，所以$∠ AOE+∠ BOF=90°$，故$∠ OAE=∠ BOF$。
又因为$OA = OB$，所以$△ AOE≌△ OBF(AAS)$。
因为$A(1,4)$，所以$OE = 1$，$AE = 4$，则$OF=AE = 4$，$BF=OE = 1$。
因为点$B$在第四象限，所以点$B$的坐标为$(4,-1)$。
因为点$B(4,-1)$在函数$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上，所以$-1=\frac{k_2}{4}$，解得$k_2=-4$。
(2)存在，$C(4,1)$，$D(1,-4)$。
10. 小华同学学习函数知识后，通过列表、描点、连线，对函数 $ y=\begin{cases}4x^{2}(-1＜x≤0),\\-\frac{4}{x}(x≤-1 \mathrm{ 或 } x＞0)\end{cases} $ 画出了如图①所示的图象。
请根据图象解答：
(1)【观察发现】①写出函数的两条性质：
②若函数图象上的两点 $ (x_{1},y_{1}) $，$ (x_{2},y_{2}) $ 满足 $ x_{1}+x_{2}=0 $，则 $ y_{1}+y_{2}=0 $ 一定成立吗？
(2)【延伸探究】如图②，将过 $ A(-1,4) $，$ B(4,-1) $ 两点的直线向下平移 $ n $ 个单位长度后，得到直线 $ l $，它与函数 $ y=-\frac{4}{x}(x≤-1 \mathrm{ 或 } x＞0) $ 的图象交于点 $ P $，连接 $ PA $，$ PB $。
①当 $ n=3 $ 时，求直线 $ l $ 的解析式和 $ △ PAB $ 的面积；
②直接用含 $ n $ 的代数式表示 $ △ PAB $ 的面积。
请根据图象解答：
(1)【观察发现】①写出函数的两条性质：
当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大
；在$x ≤ -1$和$x ≥ 1$上，图象关于原点对称。(答案不唯一)
；②若函数图象上的两点 $ (x_{1},y_{1}) $，$ (x_{2},y_{2}) $ 满足 $ x_{1}+x_{2}=0 $，则 $ y_{1}+y_{2}=0 $ 一定成立吗？
不一定
(填“一定”或“不一定”)。(2)【延伸探究】如图②，将过 $ A(-1,4) $，$ B(4,-1) $ 两点的直线向下平移 $ n $ 个单位长度后，得到直线 $ l $，它与函数 $ y=-\frac{4}{x}(x≤-1 \mathrm{ 或 } x＞0) $ 的图象交于点 $ P $，连接 $ PA $，$ PB $。
①当 $ n=3 $ 时，求直线 $ l $ 的解析式和 $ △ PAB $ 的面积；
②直接用含 $ n $ 的代数式表示 $ △ PAB $ 的面积。
答案
10. (1)①当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大；在$x ≤ -1$和$x ≥ 1$上，图象关于原点对称。(答案不唯一) ②不一定 (2)①$y = -x + 3$，$△ PAB$的面积为$\frac{15}{2}$ ②$△ PAB$的面积为$\frac{5n}{2}$
解析
(1)①当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大；在$x ≤ -1$和$x ≥ 1$上，图象关于原点对称。(答案不唯一) ②不一定 (2)①设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,4)$，$B(4,-1)$代入得$\begin{cases}-k+b=4\\4k+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，所以直线$AB$的解析式为$y=-x+3$。当$n=3$时，直线$l$的解析式为$y=-x+3-3=-x$。联立$\begin{cases}y=-x\\y=-\frac{4}{x}(x≤-1 或 x＞0)\end{cases}$，当$x＞0$时，$-x=-\frac{4}{x}$，$x^2=4$，$x=2$（$x=-2$舍去），则$P(2,-2)$。过$P$作$PD⊥ x$轴交$AB$于$D$，$D$点横坐标为$2$，代入$y=-x+3$得$y=1$，所以$PD=1-(-2)=3$。$AB$的长度为$\sqrt{(4-(-1))^2+(-1-4)^2}=5\sqrt{2}$，直线$AB$的解析式为$y=-x+3$，即$x+y-3=0$，点$P$到直线$AB$的距离为$\frac{|2+(-2)-3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$，所以$△PAB$的面积为$\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{15}{2}$。②$\frac{5n}{2}$
