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1. 如图，函数 $ y = - 2 x ^ { 2 } $ 的图像是(
A.①
B.②
C.③
D.④
C
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1.C
解析
解：函数$y = -2x^2$，二次项系数$-2 ＜ 0$，抛物线开口向下，排除A、B选项；
当$x = 1$时，$y=-2×1^2=-2$，图像过点$(1,-2)$，对应图③。
答案：C
当$x = 1$时，$y=-2×1^2=-2$，图像过点$(1,-2)$，对应图③。
答案：C
2. 函数 $ y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $，$ y = - 3 x ^ { 2 } $，$ y = - x ^ { 2 } $，$ y = 2 x ^ { 2 } $ 的图像中开口最大的是(
A.$ y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $
B.$ y = - 3 x ^ { 2 } $
C.$ y = - x ^ { 2 } $
D.$ y = 2 x ^ { 2 } $
A
)A.$ y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $
B.$ y = - 3 x ^ { 2 } $
C.$ y = - x ^ { 2 } $
D.$ y = 2 x ^ { 2 } $
答案
2.A
解析
对于二次函数$y = ax^2$（$a ≠ 0$），其图像开口大小由二次项系数$a$的绝对值决定，$|a|$越小，开口越大。
题中四个函数的二次项系数分别为：$\frac{1}{3}$，$-3$，$-1$，$2$。
它们的绝对值依次为：$|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$，$|-3| = 3$，$|-1| = 1$，$|2| = 2$。
比较绝对值大小：$\frac{1}{3} ＜ 1 ＜ 2 ＜ 3$，所以$y = \frac{1}{3}x^2$的开口最大。
A
题中四个函数的二次项系数分别为：$\frac{1}{3}$，$-3$，$-1$，$2$。
它们的绝对值依次为：$|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$，$|-3| = 3$，$|-1| = 1$，$|2| = 2$。
比较绝对值大小：$\frac{1}{3} ＜ 1 ＜ 2 ＜ 3$，所以$y = \frac{1}{3}x^2$的开口最大。
A
3. 如图，$ \odot O $ 的半径为 2，$ C _ { 1 } $ 是函数 $ y = 2 x ^ { 2 } $ 的图像，$ C _ { 2 } $ 是函数 $ y = - 2 x ^ { 2 } $ 的图像，则图中阴影部分的面积为
$ 2 π $
.答案
3. $ 2 π $
解析
解：由题意知，$\odot O$的半径为$2$，其面积为$π r^2 = π × 2^2 = 4π$。
函数$y = 2x^2$与$y = -2x^2$的图像关于$x$轴对称，且均为抛物线。观察图形，阴影部分关于原点对称，通过对称性分析可知，阴影部分的面积为圆面积的一半。
故阴影部分面积为$\frac{1}{2} × 4π = 2π$。
答案：$2π$
函数$y = 2x^2$与$y = -2x^2$的图像关于$x$轴对称，且均为抛物线。观察图形，阴影部分关于原点对称，通过对称性分析可知，阴影部分的面积为圆面积的一半。
故阴影部分面积为$\frac{1}{2} × 4π = 2π$。
答案：$2π$
4. 已知二次函数 $ y = 3 x ^ { 2 } $，$ y = - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $.
（1）在如图的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图像；
（2）试分别写出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.
（1）在如图的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图像；
（2）试分别写出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.
答案
4.解:(1)函数图像如答图所示.
(2)二次函数 $ y = 3 x ^ { 2 } $ 的图像开口向上，顶点坐标为 $ ( 0, 0 ) $，对称轴为 $ y $ 轴.
二次函数 $ y = - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $ 的图像开口向下，顶点坐标为 $ ( 0, 0 ) $，对称轴为 $ y $ 轴.
5. 关于 $ y = 3 x ^ { 2 } $ 和 $ y = - 3 x ^ { 2 } $ 的图像的说法：①它们都是抛物线；②它们都是轴对称图形；③它们的顶点相同，对称轴也相同；④它们都关于 $ x $ 轴对称.其中，正确的有(
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
B
)A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案
5.B
解析
①$y=3x^{2}$和$y=-3x^{2}$都是二次函数，图像都是抛物线，正确；
②二次函数图像都是轴对称图形，正确；
③两函数顶点都是$(0,0)$，对称轴都是$y$轴，正确；
④关于$x$轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，$y=3x^{2}$上点$(x,y)$关于$x$轴对称点为$(x,-y)$，而$y=-3x^{2}$上点为$(x,-3x^{2})$，当$y=3x^{2}$时，$-y=-3x^{2}$，所以它们关于$x$轴对称，正确。
正确的有4个，答案选A。
1
②二次函数图像都是轴对称图形，正确；
③两函数顶点都是$(0,0)$，对称轴都是$y$轴，正确；
④关于$x$轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，$y=3x^{2}$上点$(x,y)$关于$x$轴对称点为$(x,-y)$，而$y=-3x^{2}$上点为$(x,-3x^{2})$，当$y=3x^{2}$时，$-y=-3x^{2}$，所以它们关于$x$轴对称，正确。
正确的有4个，答案选A。
1
6. (2024·宜兴期末)若二次函数 $ y = a x ^ { 2 } $ 的图像经过点 $ P ( - 3,4 ) $，则该图像必经过点(
A.$ ( 3,4 ) $
B.$ ( - 3, - 4 ) $
C.$ ( - 4,3 ) $
D.$ ( 4, - 3 ) $
A
)A.$ ( 3,4 ) $
B.$ ( - 3, - 4 ) $
C.$ ( - 4,3 ) $
D.$ ( 4, - 3 ) $
答案
6.A
解析
解：因为二次函数$y = ax^2$的图像经过点$P(-3,4)$，所以将$x=-3$，$y=4$代入函数可得：$4 = a×(-3)^2$，即$4 = 9a$，解得$a=\frac{4}{9}$，所以函数解析式为$y = \frac{4}{9}x^2$。
当$x = 3$时，$y=\frac{4}{9}×3^2=\frac{4}{9}×9 = 4$，所以该图像必经过点$(3,4)$。
A
当$x = 3$时，$y=\frac{4}{9}×3^2=\frac{4}{9}×9 = 4$，所以该图像必经过点$(3,4)$。
A
