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8. 计算$(3x^2y - 6x^3) ÷ (-2x)$，结果正确的是 （
A.$\frac{3}{2}xy -6x^3$
B.$-\frac{3}{2}xy -3x^3$
C.$\frac{3}{2}xy -3x^2$
D.$-\frac{3}{2}xy +3x^2$
D
）A.$\frac{3}{2}xy -6x^3$
B.$-\frac{3}{2}xy -3x^3$
C.$\frac{3}{2}xy -3x^2$
D.$-\frac{3}{2}xy +3x^2$
答案
8. D
解析
【分析】
这是一道多项式除以单项式的基础计算题，解题思路如下：首先回忆多项式除以单项式的运算规则，即先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。计算每一项的商时，要注意系数的符号运算，同时运用同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）计算含字母的幂的部分，最后将结果和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(3x^2y - 6x^3) ÷ (-2x)&=3x^2y÷(-2x) + (-6x^3)÷(-2x)\\&=(3÷(-2))×(x^2÷ x)× y + ((-6)÷(-2))×(x^3÷ x)\\&=-\frac{3}{2}xy + 3x^2\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
多项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的常规基础题，重点考查整式除法的基本运算能力，易错点是计算时忽略符号规则、同底数幂的指数计算错误，熟练掌握运算法则就能准确作答。
【难度系数】
0.8
这是一道多项式除以单项式的基础计算题，解题思路如下：首先回忆多项式除以单项式的运算规则，即先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。计算每一项的商时，要注意系数的符号运算，同时运用同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）计算含字母的幂的部分，最后将结果和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(3x^2y - 6x^3) ÷ (-2x)&=3x^2y÷(-2x) + (-6x^3)÷(-2x)\\&=(3÷(-2))×(x^2÷ x)× y + ((-6)÷(-2))×(x^3÷ x)\\&=-\frac{3}{2}xy + 3x^2\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
多项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的常规基础题，重点考查整式除法的基本运算能力，易错点是计算时忽略符号规则、同底数幂的指数计算错误，熟练掌握运算法则就能准确作答。
【难度系数】
0.8
9. 若$(-25y^3 + 15y^2 - 5y) ÷ M = -5y$，则$M=$
$5y^2-3y+1$
。答案
9. $5y^2-3y+1$
解析
【分析】
这是整式除法的逆运算问题，首先根据除法运算各部分的关系：除数=被除数÷商，可得到M的计算式为$(-25y^3 + 15y^2 - 5y) ÷ (-5y)$，再按照多项式除以单项式的法则计算即可，计算时需将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，注意运算过程中符号的处理。
【解析】
根据除法中“除数=被除数÷商”，可得：
$\begin{aligned}M&=(-25y^3 + 15y^2 - 5y) ÷ (-5y)\\&=(-25y^3)÷(-5y) + 15y^2÷(-5y) + (-5y)÷(-5y)\\&=5y^2 - 3y + 1\end{aligned}$
【答案】
$5y^2-3y+1$
【知识点】
多项式除以单项式，整式除法的逆运算
【点评】
本题属于整式除法的基础应用题，解题关键是利用除法各部分关系将问题转化为多项式除以单项式的常规计算，运算时要注意每一项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
这是整式除法的逆运算问题，首先根据除法运算各部分的关系：除数=被除数÷商，可得到M的计算式为$(-25y^3 + 15y^2 - 5y) ÷ (-5y)$，再按照多项式除以单项式的法则计算即可，计算时需将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，注意运算过程中符号的处理。
【解析】
根据除法中“除数=被除数÷商”，可得：
$\begin{aligned}M&=(-25y^3 + 15y^2 - 5y) ÷ (-5y)\\&=(-25y^3)÷(-5y) + 15y^2÷(-5y) + (-5y)÷(-5y)\\&=5y^2 - 3y + 1\end{aligned}$
【答案】
$5y^2-3y+1$
【知识点】
多项式除以单项式，整式除法的逆运算
【点评】
本题属于整式除法的基础应用题，解题关键是利用除法各部分关系将问题转化为多项式除以单项式的常规计算，运算时要注意每一项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
10. 计算：
(1) $(9a^3b - 6a^2b^2 + 3ab) ÷ (3ab) + 3ab$；
(2) $(12a^4 - 8a^3 + 4a^2) ÷ (2a)^2$；
(3) $(-\dfrac{5}{6}x^2y^3 + \dfrac{4}{5}xy^2 - 5x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{5} · xy)$。
(1) $(9a^3b - 6a^2b^2 + 3ab) ÷ (3ab) + 3ab$；
(2) $(12a^4 - 8a^3 + 4a^2) ÷ (2a)^2$；
(3) $(-\dfrac{5}{6}x^2y^3 + \dfrac{4}{5}xy^2 - 5x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{5} · xy)$。
答案
10. 解 (1) 原式$=3a^2 - 2ab + 1 + 3ab = 3a^2 + ab + 1$.
(2) 原式$=(12a^4 - 8a^3 + 4a^2) ÷ (4a^2) = 3a^2 - 2a + 1$.
(3) 原式$=-\dfrac{5}{6}x^2y^3 ÷ (-\dfrac{1}{5}xy) + \dfrac{4}{5}xy^2 ÷ (-\dfrac{1}{5}xy) - 5x^2y ÷ (-\dfrac{1}{5}xy) = \dfrac{25}{6}xy^2 - 4y + 25x$.
(2) 原式$=(12a^4 - 8a^3 + 4a^2) ÷ (4a^2) = 3a^2 - 2a + 1$.
(3) 原式$=-\dfrac{5}{6}x^2y^3 ÷ (-\dfrac{1}{5}xy) + \dfrac{4}{5}xy^2 ÷ (-\dfrac{1}{5}xy) - 5x^2y ÷ (-\dfrac{1}{5}xy) = \dfrac{25}{6}xy^2 - 4y + 25x$.
解析
【分析】
这三道题均属于整式的混合运算题，解题遵循整式运算顺序：先算乘方，再算除法，最后合并同类项。核心用到多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。运算时注意：①系数的符号不要出错；②同底数幂相除遵循“底数不变，指数相减”的规则；③不要漏除多项式的常数项；④除法运算完成后合并同类项得到最简结果。具体到各小题：(1)先计算多项式除以3ab，再和后面的3ab合并同类项；(2)先计算除数(2a)²的结果，再计算多项式除以所得的单项式；(3)直接将多项式的三项分别除以除数$-\dfrac{1}{5}xy$，再把商相加即可。
【解析】
(1) 按照多项式除以单项式法则展开运算：
原式$=9a^3b÷3ab - 6a^2b^2÷3ab + 3ab÷3ab + 3ab$
计算每一项的商：$=3a^2 - 2ab + 1 + 3ab$
合并同类项得：$=3a^2 + ab + 1$
(2) 先计算乘方运算：$(2a)^2=4a^2$，再计算除法：
原式$=(12a^4 - 8a^3 + 4a^2)÷4a^2$
展开除法运算：$=12a^4÷4a^2 - 8a^3÷4a^2 + 4a^2÷4a^2$
计算每一项的商得：$=3a^2 - 2a + 1$
(3) 按照多项式除以单项式法则展开运算，注意符号处理：
原式$=(-\dfrac{5}{6}x^2y^3)÷(-\dfrac{1}{5}xy) + \dfrac{4}{5}xy^2÷(-\dfrac{1}{5}xy) - 5x^2y÷(-\dfrac{1}{5}xy)$
分别计算每一项的商：
$=\dfrac{25}{6}xy^2 - 4y + 25x$
【答案】
(1) $3a^2 + ab + 1$
(2) $3a^2 - 2a + 1$
(3) $\dfrac{25}{6}xy^2 - 4y + 25x$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；整式混合运算
【点评】
本题是整式除法的基础练习题，重点考查对多项式除以单项式运算法则的掌握程度，运算时要注意运算顺序、符号处理，不要漏除多项式的项，熟练掌握法则后可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于整式的混合运算题，解题遵循整式运算顺序：先算乘方，再算除法，最后合并同类项。核心用到多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。运算时注意：①系数的符号不要出错；②同底数幂相除遵循“底数不变，指数相减”的规则；③不要漏除多项式的常数项；④除法运算完成后合并同类项得到最简结果。具体到各小题：(1)先计算多项式除以3ab，再和后面的3ab合并同类项；(2)先计算除数(2a)²的结果，再计算多项式除以所得的单项式；(3)直接将多项式的三项分别除以除数$-\dfrac{1}{5}xy$，再把商相加即可。
【解析】
(1) 按照多项式除以单项式法则展开运算：
原式$=9a^3b÷3ab - 6a^2b^2÷3ab + 3ab÷3ab + 3ab$
计算每一项的商：$=3a^2 - 2ab + 1 + 3ab$
合并同类项得：$=3a^2 + ab + 1$
(2) 先计算乘方运算：$(2a)^2=4a^2$，再计算除法：
原式$=(12a^4 - 8a^3 + 4a^2)÷4a^2$
展开除法运算：$=12a^4÷4a^2 - 8a^3÷4a^2 + 4a^2÷4a^2$
计算每一项的商得：$=3a^2 - 2a + 1$
(3) 按照多项式除以单项式法则展开运算，注意符号处理：
原式$=(-\dfrac{5}{6}x^2y^3)÷(-\dfrac{1}{5}xy) + \dfrac{4}{5}xy^2÷(-\dfrac{1}{5}xy) - 5x^2y÷(-\dfrac{1}{5}xy)$
分别计算每一项的商：
$=\dfrac{25}{6}xy^2 - 4y + 25x$
【答案】
(1) $3a^2 + ab + 1$
(2) $3a^2 - 2a + 1$
(3) $\dfrac{25}{6}xy^2 - 4y + 25x$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；整式混合运算
【点评】
本题是整式除法的基础练习题，重点考查对多项式除以单项式运算法则的掌握程度，运算时要注意运算顺序、符号处理，不要漏除多项式的项，熟练掌握法则后可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
11. 小雅同学计算一道整式除法：$(ax^3y^2 + bx^2y^3)÷(2xy)$，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为$12x^4y^3 -8x^3y^4$。
(1) $a=$
(2) 求这道除法计算的正确结果。
(1) $a=$
6
，$b=$-4
；(2) 求这道除法计算的正确结果。
答案
11. 解 (1) 6 -4
(2) 由题意，得 $(6x^3y^2 - 4x^2y^3) ÷ (2xy) = 3x^2y - 2xy^2$.
(2) 由题意，得 $(6x^3y^2 - 4x^2y^3) ÷ (2xy) = 3x^2y - 2xy^2$.
解析
【分析】
本题可通过错误运算的逻辑关系反向推导原多项式的系数，再计算正确结果。解题思路：(1) 小雅误将除号写为乘号，说明原被除式乘2xy等于错误结果，因此用错误结果除以2xy即可得到原被除式，对应同类项系数就能求出a、b的值；(2) 将求出的a、b代入原除法算式，按照多项式除以单项式的法则（多项式每一项分别除以单项式，再把商相加）计算，即可得到正确结果。
【解析】
(1) 由题意得，小雅的错误运算为：
$(ax^3y^2 + bx^2y^3) × 2xy = 12x^4y^3 - 8x^3y^4$
将左侧展开计算：
$ax^3y^2 × 2xy + bx^2y^3 × 2xy = 2ax^4y^3 + 2bx^3y^4$
等式左右两边同类项的系数相等，因此：
$2a=12$，解得$a=6$
$2b=-8$，解得$b=-4$
(2) 将$a=6$、$b=-4$代入原整式除法算式：
$(6x^3y^2 - 4x^2y^3) ÷ (2xy)$
根据多项式除以单项式的法则计算：
$= 6x^3y^2 ÷ 2xy + (-4x^2y^3) ÷ 2xy$
$= 3x^2y - 2xy^2$
【答案】
(1) $6$；$-4$
(2) $3x^2y - 2xy^2$
【知识点】
整式乘除运算、多项式除以单项式、同类项系数匹配
【点评】
本题考查整式乘除的基础应用，解题核心是利用错误运算的结果逆向推导原式的未知系数，运算过程中要注意单项式的指数计算和符号问题，熟练掌握多项式与单项式的乘除规则是得分的关键。
【难度系数】
0.8
本题可通过错误运算的逻辑关系反向推导原多项式的系数，再计算正确结果。解题思路：(1) 小雅误将除号写为乘号，说明原被除式乘2xy等于错误结果，因此用错误结果除以2xy即可得到原被除式，对应同类项系数就能求出a、b的值；(2) 将求出的a、b代入原除法算式，按照多项式除以单项式的法则（多项式每一项分别除以单项式，再把商相加）计算，即可得到正确结果。
【解析】
(1) 由题意得，小雅的错误运算为：
$(ax^3y^2 + bx^2y^3) × 2xy = 12x^4y^3 - 8x^3y^4$
将左侧展开计算：
$ax^3y^2 × 2xy + bx^2y^3 × 2xy = 2ax^4y^3 + 2bx^3y^4$
等式左右两边同类项的系数相等，因此：
$2a=12$，解得$a=6$
$2b=-8$，解得$b=-4$
(2) 将$a=6$、$b=-4$代入原整式除法算式：
$(6x^3y^2 - 4x^2y^3) ÷ (2xy)$
根据多项式除以单项式的法则计算：
$= 6x^3y^2 ÷ 2xy + (-4x^2y^3) ÷ 2xy$
$= 3x^2y - 2xy^2$
【答案】
(1) $6$；$-4$
(2) $3x^2y - 2xy^2$
【知识点】
整式乘除运算、多项式除以单项式、同类项系数匹配
【点评】
本题考查整式乘除的基础应用，解题核心是利用错误运算的结果逆向推导原式的未知系数，运算过程中要注意单项式的指数计算和符号问题，熟练掌握多项式与单项式的乘除规则是得分的关键。
【难度系数】
0.8
