登录
14. (2024·吉安期中)如图,某工厂师傅要在一块面积为$15\ \mathrm{m}^2$的矩形钢板上裁剪下两块相邻的正方形钢板当工作台的桌面,且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m,则裁剪后剩下的阴影部分的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}^2$.
答案
2
15. 设方程 $ ax^2 + bx + c = 0 \ (a ≠ 0) $ 有两个根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，且 $ 1 ＜ x_1 ＜ 2 ＜ x_2 ＜ 4 $，那么方程 $ cx^2 + bx + a = 0 $ 的较小根 $ x_3 $ 的范围是 ______．
答案
$\frac{1}{4}＜x_{3}＜\frac{1}{2}$
16. (2024·宣城模拟)如图，$M(-a, b)$是反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$上的一点，其中$b＞a＞0$，过点$M$作$MN ⊥ x$轴于点$N$，连接$OM$.
(1)若$△ MON$的面积是$3$，则$k$的值为______.
(2)将$△ MON$绕点$M$按顺时针方向旋转$90°$得到$△ MQP$，且点$O$的对应点$Q$恰好落在该反比例函数的图像上，则$\dfrac{b}{a}=\_\_\_\_\_\_$.
(1)若$△ MON$的面积是$3$，则$k$的值为______.
(2)将$△ MON$绕点$M$按顺时针方向旋转$90°$得到$△ MQP$，且点$O$的对应点$Q$恰好落在该反比例函数的图像上，则$\dfrac{b}{a}=\_\_\_\_\_\_$.
答案
-6
; $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
; $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
三、解答题(共60分)
17. (8分)解下列方程.
(1)$3(2x-1)^2=27$；
(2)$x^2 - 2\sqrt{6}x + 6 = 0$；
(3)$(x-4)^2 = 4x(4-x)$；
(4)$(x-2)^2 = -3(x-2) - 2$.
17. (8分)解下列方程.
(1)$3(2x-1)^2=27$；
(2)$x^2 - 2\sqrt{6}x + 6 = 0$；
(3)$(x-4)^2 = 4x(4-x)$；
(4)$(x-2)^2 = -3(x-2) - 2$.
答案
解： $\begin{aligned}3(2x - 1)^{2}&=27\\(2x - 1)^{2}&=9\\2x - 1&=\pm3\end{aligned}$ 当$2x - 1 = 3$时，$2x = 4，$解得$x_{1}=2；$ 当$2x - 1 = - 3$时，$2x = - 2，$解得$x_{2}=-1。$ ; 解： $\begin{aligned}x^{2}-2\sqrt{6}x + 6&=0\\(x-\sqrt{6})^{2}&=0\end{aligned}$ 解得$x_{1}=x_{2}=\sqrt{6}。$ ; 解：$(x-4)²+4x(x-4)=0$$(x-4)(x-4+4x)=0$$(x-4)(5x-4)=0$$5x-4=0$或$x-4=0$∴$x_{1}=\frac {4}{5}，x_{2}=4$ ; 解： $\begin{aligned}(x - 2)^{2}&=-3(x - 2)-2\\(x - 2)^{2}+3(x - 2)+2&=0\\令t=x - 2，则t^{2}+3t + 2&=0\\(t + 1)(t + 2)&=0\end{aligned}$ 即$t + 1 = 0$或$t + 2 = 0，$
解得$t_{1}=-1，$$t_{2}=-2。$ 当$t=-1$时，$x - 2=-1，$$x_{1}=1；$ 当$t=-2$时，$x - 2=-2，$$x_{2}=0。$
解得$t_{1}=-1，$$t_{2}=-2。$ 当$t=-1$时，$x - 2=-1，$$x_{1}=1；$ 当$t=-2$时，$x - 2=-2，$$x_{2}=0。$
18. (5分)(2024·西藏中考)列方程(组)解应用题.
某商场响应国家消费品以旧换新的号召,开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元,六月份投入资金24.2万元,现假定每月投入资金的增长率相同.
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率,预计该商场七月份投入资金将达到多少万元?
某商场响应国家消费品以旧换新的号召,开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元,六月份投入资金24.2万元,现假定每月投入资金的增长率相同.
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率,预计该商场七月份投入资金将达到多少万元?
答案
解: (1)设该商场投入资金的月平均增长率为$x，$
由题意得$20×(1 + x)^{2}=24.2，$ $\begin{aligned}(1 + x)^{2}&=1.21\\1 + x&=\pm1.1\end{aligned}$ 解得$x_{1}=0.1 = 10\%，$$x_{2}=-2.1$（不符合题意，舍去）， 所以该商场投入资金的月平均增长率为$10\%。$ (2)$24.2×(1 + 10\%)=26.62$（万元）， 所以预计该商场七月份投入资金将达到$26.62$万元。
由题意得$20×(1 + x)^{2}=24.2，$ $\begin{aligned}(1 + x)^{2}&=1.21\\1 + x&=\pm1.1\end{aligned}$ 解得$x_{1}=0.1 = 10\%，$$x_{2}=-2.1$（不符合题意，舍去）， 所以该商场投入资金的月平均增长率为$10\%。$ (2)$24.2×(1 + 10\%)=26.62$（万元）， 所以预计该商场七月份投入资金将达到$26.62$万元。
19. (6分)(2024·遂宁中考)已知关于x的一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,求m的值.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,求m的值.
答案
证明$：(1)b^2-4ac=[-(m + 2)]^2-4×1×(m - 1)$$=\mathrm {m^2}+4m + 4-4m + 4=\mathrm {m^2}+8，$$ $因为无论$m_{取何值}，$$\mathrm {m^2}+8＞0$恒成立，所以无论$m_{取何值}，$方程都有两个不相等的实数根。$ (2)$因为$x_{1}，$$x_{2}$是方程$x^2-(m + 2)x + m - 1 = 0$的两个实数根，$ $所以$x_{1}+x_{2}=m + 2，$$x_{1}·x_{2}=m - 1，$$ x_{1}^2+x_{2}^2-x_{1}x_{2}$$=(x_{1}+x_{2})^2-3x_{1}x_{2}$$=(m + 2)^2-3(m - 1)=9，$$ \begin {aligned}\mathrm {m^2}+4m + 4-3m + 3&=9\\m ^2+m - 2&=0\\(m + 2)(m - 1)&=0\end {aligned}$$ $解得$m_{1}=1，$$m_{2}=-2。$
