2,$AB=2,AC=2\sqrt{2}$,则$∠ BAC$的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$.

$15^{\circ}$或$105^{\circ}$

10. (2025·泰州校级月考)如图,在$□ ABCD$中,$AB=3,BC=6,∠ABC=60°$.点$P$沿着折线段$B-C-D-B$运动,若点$P$在运动的过程中,$△ PAB$的外心$O$在$□ ABCD$的边上,则符合条件的点$P$有________个.

4

11. (2025·无锡校级月考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2\sqrt{10},BC=4,\odot O$是$△ ABC$的外接圆.
(1)求$\odot O$的半径;
(2)若在同一平面内的$\odot P$也经过$B、C$两点,且$PA=2$,请直接写出$\odot P$的半径长.

解：​$(1)$​过点​$A$​作​$AD\perp BC，$​垂足为​$D，$​连接​$OB、$​​$OC，$​因为​$AB = AC，$​​$AD\perp BC，$​所以​$AD$​垂直平分​$BC。$​因为​$OB = OC，$​所以点​$O$​在​$BC$​的垂直平分线上，即点​$O$​在​$AD$​上。因为​$BC = 4，$​所以​$BD=\frac {1}{2}BC = 2。$​在​$Rt\triangle ABD$​中，​$∠ADB = 90°，$​​$AB = 2\sqrt {10}，$​所以​$AD=\sqrt {AB^2-BD^2}=\sqrt {(2\sqrt {10})^2-2^2} = 6。$​设​$OA = OB = r，$​则​$OD = 6 - r。$​在​$Rt\triangle OBD$​中，​$∠ODB = 90°，$​所以​$OD^2+BD^2=OB^2，$​即​$(6 - r)^2+2^2=r^2，$​展开得​$36-12r+r^2+4=r^2，$​移项化简得​$12r = 40，$​解得​$r=\frac {10}{3}，$​即​$\odot O$​的半径为​$\frac {10}{3}。$​​$ (2) $​当​$\odot P_{也经过}B、$​​$C$​两点，且​$PA = 2。$​因为​$AD = 6，$​所以​$PD = 6 - 2 = 4$​或​$6 + 2 = 8。$​又因为​$BD = 2，$​根据勾股定理​$PB=\sqrt {4^2+2^2} = 2\sqrt {5}$​或​$PB=\sqrt {8^2+2^2} = 2\sqrt {17}，$​所以​$\odot P $​的半径为​$2\sqrt {5}$​或​$2\sqrt {17}。$​

12. 如图，$△ ABC$为$\odot O$的内接等边三角形，$BC=12$，点$D$为$\overset{\frown}{BC}$上一动点，$BE ⊥ OD$于点$E$，当点$D$由点$B$沿$\overset{\frown}{BC}$运动到点$C$时，线段$AE$的最大值是______．

$2\sqrt{21}+2\sqrt{3}$

13. (2024·扬州江都区月考)定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
(1)如图①,在损矩形ABCD中,∠ABC = ∠ADC = 90°,则该损矩形的直径是线段________.
(2)在图①中的线段AC上确定一点P,使损矩形ABCD的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明理由.(友情提醒:“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹)
(3)如图②,在△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向外作正方形ACEF,D为正方形ACEF的中心,连接BD.若BD平分∠ABC,AB=3,BD=4√2,求BC的长.

$AC$ ; 解：(2)作$AC$的垂直平分线交$AC$于点$P，$
连接$BP$、$DP。$理由如下：因为点$P$为$AC$的中点，所以$PA = PC=\frac{1}{2}AC。$
因为$∠ABC=∠ADC = 90°，$
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以$BP = DP=\frac{1}{2}AC，$
所以$PA = PB = PC = PD，$
所以点$A$、$B$、$C$、$D$在以$P$为圆心，$\frac{1}{2}AC$的长为半径的同一个圆上。
(3) 因为$BD$平分$∠ABC，$$∠ABC = 90°，$$BD = 4\sqrt{2}，$
所以点$D$到$AB$、$BC$的距离$h$为$4。$
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB·h=\frac{1}{2}×3×4 = 6，$
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{3}{2}BC，$
$S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}BC·h = 2BC，$
$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{4}S_{正方形ACEF}=\frac{1}{4}AC^{2}=\frac{1}{4}(BC^{2}+9)。$
因为$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}，$
所以$\frac{3}{2}BC+\frac{1}{4}(BC^{2}+9)=6 + 2BC，$
整理得$BC^{2}-2BC - 15 = 0，$
因式分解得$(BC - 5)(BC + 3)=0，$
解得$BC = 5$或$BC = - 3$（舍去），所以$BC = 5。$