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1. 若将关于$x$的一元二次方程$3x^2 + x - 2 = ax(x - 2)$化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为$-2$，则该方程中的一次项系数为（
A.5
B.3
C.$-5$
D.$-3$
A
）A.5
B.3
C.$-5$
D.$-3$
答案
1.A
2. 将方程$2x^2 + 4x - 7 = 0$通过配方转化为$(x + n)^2 = p$的形式，则$p$的值为（
A.7
B.9
C.3.5
D.4.5
D
）A.7
B.9
C.3.5
D.4.5
答案
2.D
3.解方程 $x-\sqrt{2}=(\sqrt{2}-x)^2$，最合适的方法是（
A.配方法
B.因式分解法
C.公式法
D.直接开平方法
B
）A.配方法
B.因式分解法
C.公式法
D.直接开平方法
答案
3.B
4.“立身以立学为先，立学以读书为本.”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次.若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率.设进馆人次的月增长率为$ x $，依题意可列方程为 （
A.$ 200(1+x)^2 = 728 $
B.$ 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728 $
C.$ 200(1+x+x^2) = 728 $
D.$ 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728 $
D
）A.$ 200(1+x)^2 = 728 $
B.$ 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728 $
C.$ 200(1+x+x^2) = 728 $
D.$ 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728 $
答案
4.D
5. [2025 广州] 关于x的一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$的根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
答案
5.C
6. 新考向数学文化 欧几里得的《几何原本》中记载了形如$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0(b＞2c＞0)$的方程根的图形解法:如图,画$Rt△ ABC$,使$∠ ACB=90°,AC=2c,AB=b$,以点B为圆心,BC为半径画圆,交射线AB于点D,E,则该方程较大的根是 (
A.CE的长度
B.AE的长度
C.DE的长度
D.CD的长度
B
)A.CE的长度
B.AE的长度
C.DE的长度
D.CD的长度
答案
6.B 【点拨】$\because x^2 - 2bx + 4c^2 = 0,\therefore x^2 - 2bx = -4c^2$,则$x^2 - 2bx + b^2 = b^2 - 4c^2. \therefore (x - b)^2 = b^2 - 4c^2. \therefore x - b = \pm \sqrt{b^2 - 4c^2}. \therefore x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2},x_2 = b - \sqrt{b^2 - 4c^2}.$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB = 90°,AC = 2c,AB = b,\therefore BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{b^2 - 4c^2}, \therefore$ 方程较大的根为 $AB + BC = AB + BE = AE$ 的长度. 故选 B.
7.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于$x$的一元二次方程$x^2 -14x + m=0$的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{14}$
C
）A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{14}$
答案
7.C 【点拨】设 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 -14x + m=0$ 的两个实数根,则菱形的两条对角线的长分别为 $x_1,x_2,\therefore x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-14}{1} = 14.$ 根据菱形的面积可得 $\frac{1}{2}x_1x_2 = 21,\therefore x_1x_2 = 42. \because$ 菱形的对角线互相垂直平分,$\therefore$ 易得菱形的边长为 $\sqrt{(\frac{x_1}{2})^2 + (\frac{x_2}{2})^2} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2}{4}} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2}{4}} = \sqrt{\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{4}} = \sqrt{\frac{14^2 - 2×42}{4}} = \sqrt{\frac{196 - 84}{4}} = \sqrt{\frac{112}{4}} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.$
8. ★★ [绵阳自主招生] 如果关于$x$的方程$\frac{1}{2-x} - 2 = \frac{1 - ax}{x - 2}$有正数解，且关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 2\sqrt{2}x - 1 = 0$有两个实数根，则符合条件的所有整数$a$的和是（
A.$-1$
B.$0$
C.$3$
D.$-3$
D
）A.$-1$
B.$0$
C.$3$
D.$-3$
答案
8.D 【点拨】$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 - 2\sqrt{2}x - 1 = 0$ 有两个实数根,$\therefore a≠0$ 且 $\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4a·(-1)≥0$,解得 $a≥-2$ 且 $a≠0. \frac{1}{2-x} - 2 = \frac{1 - ax}{x - 2}$ 去分母,得 $-1 - 2(x - 2) = 1 - ax$,整理得 $(a - 2)x = -2. \because$ 关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2-x} - 2 = \frac{1 - ax}{x - 2}$ 有正数解,$\therefore -\frac{2}{a - 2}＞0$ 且 $-\frac{2}{a - 2}≠2$,解得 $a＜2$ 且 $a≠1. \therefore a$ 的取值范围为 $-2≤ a＜2$ 且 $a≠0,a≠1.$ $\therefore$ 符合条件的整数 $a$ 的值是 $-2,-1. \therefore$ 符合条件的所有整数 $a$ 的和为 $(-2)+(-1)=-3.$
9.已知关于$x$的方程$(m-1) · x^{m^2 +1} +2x -3=0$是一元二次方程，则$m$的值为
-1
。答案
9.-1
10. 新考法 数形结合法 一个直角三角形的两条直角边之差是2 cm，面积是24 cm²，则较长的直角边的长是
8 cm
。答案
10.8 cm 【点拨】设较长的直角边的长为 $x$ cm. 由题意可得 $\frac{1}{2}x(x - 2) = 24$,解得 $x_1 = 8,x_2 = -6$(舍去). 故较长的直角边的长是 8 cm.
11.已知$m,n$是$x^2 - 3x -2=0$的两个根，则$2m^3 + n^2 + \frac{36}{n} +n +1$的值为
27
。答案
11.27 【点拨】$\because m,n$ 是方程 $x^2 - 3x - 2 = 0$ 的两根,$\therefore m^2 - 3m - 2 = 0,n^2 - 3n - 2 = 0,mn = -2,m + n = 3. \therefore m^2 = 3m + 2,n^2 = 3n + 2. \therefore 2m^3 + n^2 + \frac{36}{n} + n + 1 = 2m(2 + 3m) + 2 + 3n + \frac{36}{n} + n + 1 = 4m + 6m^2 + 2 + 3n + \frac{36}{n} + n + 1 = 4m + 6(3m + 2) + 2 + 3n + \frac{36}{n} + n + 1 = 22m + 15 + 4n + \frac{36}{n} = 4(m + n) + 15 + 18m + \frac{36}{n} = 12 + 15 + \frac{18mn + 36}{n} = 27.$
12.若关于$x$的方程$(k^2 - 1)x^2 + (k + 1)x + \frac{1}{4} = 0$无实根，则$k$的取值范围是
$k＜-1$
.答案
12.$k＜-1$ 【点拨】当 $k^2 - 1 = 0$ 且 $k + 1≠0$,即 $k = 1$ 时,原方程为 $2x + \frac{1}{4} = 0$,这是一元一次方程,有实数根;当 $k^2 - 1 = 0$ 且 $k + 1 = 0$,即 $k = -1$ 时,原式不是关于 $x$ 的方程;当 $k^2 - 1≠0$,即 $k≠\pm1$ 时,原方程 $(k^2 - 1)x^2 + (k + 1)x + \frac{1}{4} = 0$ 是一元二次方程. $\because$ 方程无实根,$\therefore \Delta = (k + 1)^2 - 4×(k^2 - 1)×\frac{1}{4} ＜ 0$,即 $\Delta = 2k + 2 ＜ 0$,解得 $k ＜ -1. \therefore k$ 的取值范围是 $k ＜ -1.$
三、解答题(共48分)
13.(12分)用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 + 2x - 5 = 0$；
(2)$(x - 2)^2 + x(x - 2) = 0$；
(3)$\frac{1 - x^2}{2} + \frac{2 - x}{3} = \frac{2}{3}$。
13.(12分)用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 + 2x - 5 = 0$；
(2)$(x - 2)^2 + x(x - 2) = 0$；
(3)$\frac{1 - x^2}{2} + \frac{2 - x}{3} = \frac{2}{3}$。
答案
13.【解】(1)$x^2 + 2x - 5 = 0$.
移项,得 $x^2 + 2x = 5$.
配方,得 $x^2 + 2x + 1 = 5 + 1$,
即 $(x + 1)^2 = 6$.
$\therefore x + 1 = \pm\sqrt{6}$,
解得 $x_1 = -1 + \sqrt{6},x_2 = -1 - \sqrt{6}$.
(2)$(x - 2)^2 + x(x - 2) = 0$.
因式分解,得 $(x - 2)(x - 2 + x) = 0$,
即 $(x - 2)(2x - 2) = 0$.
$\therefore x - 2 = 0$ 或 $2x - 2 = 0$,解得 $x_1 = 2,x_2 = 1$.
(3)原方程可化为 $3x^2 + 2x - 3 = 0$.
$\because a = 3,b = 2,c = -3$,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×3×(-3) = 40 ＞ 0$.
$\therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2\pm\sqrt{40}}{2×3} = \frac{-1\pm\sqrt{10}}{3}$,
$\therefore x_1 = \frac{-1 + \sqrt{10}}{3},x_2 = \frac{-1 - \sqrt{10}}{3}$.
移项,得 $x^2 + 2x = 5$.
配方,得 $x^2 + 2x + 1 = 5 + 1$,
即 $(x + 1)^2 = 6$.
$\therefore x + 1 = \pm\sqrt{6}$,
解得 $x_1 = -1 + \sqrt{6},x_2 = -1 - \sqrt{6}$.
(2)$(x - 2)^2 + x(x - 2) = 0$.
因式分解,得 $(x - 2)(x - 2 + x) = 0$,
即 $(x - 2)(2x - 2) = 0$.
$\therefore x - 2 = 0$ 或 $2x - 2 = 0$,解得 $x_1 = 2,x_2 = 1$.
(3)原方程可化为 $3x^2 + 2x - 3 = 0$.
$\because a = 3,b = 2,c = -3$,
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×3×(-3) = 40 ＞ 0$.
$\therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2\pm\sqrt{40}}{2×3} = \frac{-1\pm\sqrt{10}}{3}$,
$\therefore x_1 = \frac{-1 + \sqrt{10}}{3},x_2 = \frac{-1 - \sqrt{10}}{3}$.
