14.(10分)已知关于$x$的方程$x^2 - (m - 3)x + m - 4 = 0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若该方程的两个实数根中有且仅有一个正根,求$m$的取值范围.

14.(1)【证明】$\Delta = [-(m - 3)]^2 - 4×1×(m - 4) = (m - 5)^2≥0,\therefore$ 该方程总有两个实数根.
(2)【解】由(1)知 $\Delta = (m - 5)^2$,
$\therefore x = \frac{m - 3\pm\sqrt{(m - 5)^2}}{2}$.
$\therefore x_1 = m - 4,x_2 = 1$.
$\because$ 该方程的两个实数根中有且仅有一个正根,
$\therefore m - 4≤0$,即 $m≤4$.

15.(12分)新视角规律探究题 阅读下面材料,并解决相关问题:
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点,容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)三角点阵中前8行的点数之和为,前15行的点数之和为,那么,前n行的点数之和为.
(2)三角点阵中前n行的点数之和(填“能”或“不能”)为500.
(3)某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排?

15.【解】(1)36;120;$\frac{n(n+1)}{2}$
(2)不能
(3)由题知,前 $n$ 排盆景的总数可表示为 $n(n+1)$,
令 $n(n+1) = 420$,解得 $n_1 = -21,n_2 = 20$.
$\because n$ 为正整数,$\therefore n = 20$,
即一共能摆放 20 排.

16.(14分) [2026 南京模拟] 如图,直线 $ l $ 的表达式为 $ y=-x+4 $,它与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别相交于 $ A,B $ 两点.平行于直线 $ l $ 的直线 $ m $ 从经过原点 $ O $ 的位置出发,沿 $ x $ 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别相交于 $ M,N $ 两点,设运动时间为 $ t $ 秒($ 0＜t≤4 $).
(1)点 $ A $ 的坐标为 ______,点 $ B $ 的坐标为 ______.
(2)$ △ MON $ 的面积 $ S_1=\_\_\_\_\_\_ $(用含 $ t $ 的代数式表示).
(3)以 $ MN $ 为对角线作矩形 $ OMPN $,记 $ △ MPN $ 和 $ △ OAB $ 重合部分的面积为 $ S_2 $.在直线 $ m $ 的运动过程中,当 $ t $ 为何值时,$ S_2 $ 为 $ △ OAB $ 面积的 $ \frac{5}{16} $?

16.【解】(1)$(4,0)$;$(0,4)$
(2)$\frac{1}{2}t^2$
(3)$S_{△ OAB} = \frac{1}{2}×4×4 = 8$. 当 $0 ＜ t≤2$ 时,易得 $S_2 = S_{△ MNP} = \frac{1}{2}t^2 = 8×\frac{5}{16}$,解得 $t = \pm\sqrt{5}$(舍去);
当 $2 ＜ t≤4$ 时,如图,易得 $S_2 = S_{△ OAB} - S_{△ OMN} - 2S_{△ MAF} = 8 - \frac{1}{2}t^2 - 2×\frac{1}{2}(4 - t)^2 = \frac{5}{16}×8$,解得 $t = \frac{7}{3}$ 或 $t = 3$.

综上,当 $t = \frac{7}{3}$ 或 $t = 3$ 时,$S_2$ 为 $△ OAB$ 面积的 $\frac{5}{16}$.