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8. 已知AB为$\odot O$的直径，P为$\odot O$上的任意一点，则点P关于AB的对称点$P'$与$\odot O$的位置关系是（
A.点$P'$在$\odot O$内
B.点$P'$在$\odot O$外
C.点$P'$在$\odot O$上
D.无法确定
C
）A.点$P'$在$\odot O$内
B.点$P'$在$\odot O$外
C.点$P'$在$\odot O$上
D.无法确定
答案
8. C
解析
【分析】
要判断点$P'$与$\odot O$的位置关系，需先明确点和圆位置关系的判定依据：若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；小于半径在圆内，大于半径在圆外。本题可先利用轴对称的性质，推导点$P'$到圆心$O$的距离与圆半径的大小关系，进而判断位置。首先已知$P$在圆上，故$OP$等于$\odot O$的半径；又因为$P$与$P'$关于$AB$对称，且圆心$O$在对称轴$AB$上，根据轴对称性质可推出$OP'=OP$，即可得到$P'$到$O$的距离等于半径，从而得出结论。
【解析】
解：连接$OP$、$OP'$，设$\odot O$的半径为$r$。
∵ 点$P$在$\odot O$上，
∴ $OP = r$。
∵ 点$P$与点$P'$关于$AB$对称，且$AB$是$\odot O$的直径，即圆心$O$在对称轴$AB$上，
∴ 根据轴对称的性质，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，可得$OP' = OP = r$。
∵ 点$P'$到圆心$O$的距离等于$\odot O$的半径，
∴ 点$P'$在$\odot O$上。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题型，结合轴对称性质和点与圆的位置关系判定知识命题，解题的核心是抓住对称点到圆心的距离等于半径这一关键条件，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
要判断点$P'$与$\odot O$的位置关系，需先明确点和圆位置关系的判定依据：若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；小于半径在圆内，大于半径在圆外。本题可先利用轴对称的性质，推导点$P'$到圆心$O$的距离与圆半径的大小关系，进而判断位置。首先已知$P$在圆上，故$OP$等于$\odot O$的半径；又因为$P$与$P'$关于$AB$对称，且圆心$O$在对称轴$AB$上，根据轴对称性质可推出$OP'=OP$，即可得到$P'$到$O$的距离等于半径，从而得出结论。
【解析】
解：连接$OP$、$OP'$，设$\odot O$的半径为$r$。
∵ 点$P$在$\odot O$上，
∴ $OP = r$。
∵ 点$P$与点$P'$关于$AB$对称，且$AB$是$\odot O$的直径，即圆心$O$在对称轴$AB$上，
∴ 根据轴对称的性质，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，可得$OP' = OP = r$。
∵ 点$P'$到圆心$O$的距离等于$\odot O$的半径，
∴ 点$P'$在$\odot O$上。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题型，结合轴对称性质和点与圆的位置关系判定知识命题，解题的核心是抓住对称点到圆心的距离等于半径这一关键条件，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
9. 如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,若以点D为圆心,12为半径作$\odot D$,则下列各点在$\odot D$外的是 （
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
B
）A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
9. B
解析
【分析】
要判断各点是否在$\odot D$外，需依据点与圆的位置关系判定规则：比较点到圆心$D$的距离$d$与$\odot D$半径$r$的大小，若$d＞r$，则点在圆外。首先结合矩形的性质得到各边长度，再通过勾股定理计算点$B$到圆心$D$的距离，最后分别将各点到$D$的距离与半径12比较即可得出结论。
【解析】
设$\odot D$的半径为$r$，由题可知$r=12$，点到圆心$D$的距离为$d$：
1. 对于点$A$：$AD=12$，即$d=r$，因此点$A$在$\odot D$上；
2. 对于点$C$：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$CD=AB=5$，$d=5＜12$，因此点$C$在$\odot D$内；
3. 对于点$B$：连接$BD$，矩形$ABCD$中$∠ A=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=5$，$AD=12$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，$d=13＞12$，因此点$B$在$\odot D$外；
4. 对于点$D$：点$D$是圆心，$d=0＜12$，因此点$D$在$\odot D$内。
综上，在$\odot D$外的是点$B$。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握点与圆位置关系的判定方法，解题时结合矩形性质和勾股定理求出各点到圆心的距离，再和半径比较即可。
【难度系数】
0.85
要判断各点是否在$\odot D$外，需依据点与圆的位置关系判定规则：比较点到圆心$D$的距离$d$与$\odot D$半径$r$的大小，若$d＞r$，则点在圆外。首先结合矩形的性质得到各边长度，再通过勾股定理计算点$B$到圆心$D$的距离，最后分别将各点到$D$的距离与半径12比较即可得出结论。
【解析】
设$\odot D$的半径为$r$，由题可知$r=12$，点到圆心$D$的距离为$d$：
1. 对于点$A$：$AD=12$，即$d=r$，因此点$A$在$\odot D$上；
2. 对于点$C$：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$CD=AB=5$，$d=5＜12$，因此点$C$在$\odot D$内；
3. 对于点$B$：连接$BD$，矩形$ABCD$中$∠ A=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=5$，$AD=12$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，$d=13＞12$，因此点$B$在$\odot D$外；
4. 对于点$D$：点$D$是圆心，$d=0＜12$，因此点$D$在$\odot D$内。
综上，在$\odot D$外的是点$B$。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握点与圆位置关系的判定方法，解题时结合矩形性质和勾股定理求出各点到圆心的距离，再和半径比较即可。
【难度系数】
0.85
10. 在平面直角坐标系中，点$A(0,3)$，点$B(4,0)$，则点$O(0,0)$在以$AB$为直径的圆
上
（填“内”“上”或“外”）。答案
10. 上
解析
【分析】
要判断点O与以AB为直径的圆的位置关系，有两种清晰的解题思路：思路1：根据点与圆位置关系的判定规则，先求出AB的中点（即圆心）坐标、AB长度的一半（即半径），再计算点O到圆心的距离，和半径比较大小即可判断位置；思路2：利用圆周角定理的推论，若点O对AB的张角为直角，那么点O就在以AB为直径的圆上，可通过勾股定理逆定理验证∠AOB是否为直角快速求解。
【解析】
我们用第一种方法解答：
1. 求圆心和半径：
AB为直径，因此圆心是AB的中点，坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{3+0}{2})=(2,\frac{3}{2})$。
由勾股定理计算AB的长度：$AB=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$，因此圆的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$。
2. 计算点O到圆心的距离：
点O到圆心的距离$d=\sqrt{(2-0)^2+(\frac{3}{2}-0)^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
3. 比较判断：
因为$d=r$，所以点O在以AB为直径的圆上。
（也可通过第二种方法验证：$OA=3,OB=4,AB=5$，满足$OA^2+OB^2=AB^2$，即∠AOB=90°，根据直径所对的圆周角为直角，可得O在以AB为直径的圆上。）
【答案】
上
【知识点】
点与圆的位置关系判定、勾股定理逆定理、圆周角定理推论
【点评】
本题是点与圆位置关系判定的基础题型，两种解题思路都属于常规考点，熟练掌握相关定理和坐标运算方法就能快速解答，选择圆周角定理推论的方法可以简化计算过程。
【难度系数】
0.8
要判断点O与以AB为直径的圆的位置关系，有两种清晰的解题思路：思路1：根据点与圆位置关系的判定规则，先求出AB的中点（即圆心）坐标、AB长度的一半（即半径），再计算点O到圆心的距离，和半径比较大小即可判断位置；思路2：利用圆周角定理的推论，若点O对AB的张角为直角，那么点O就在以AB为直径的圆上，可通过勾股定理逆定理验证∠AOB是否为直角快速求解。
【解析】
我们用第一种方法解答：
1. 求圆心和半径：
AB为直径，因此圆心是AB的中点，坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{3+0}{2})=(2,\frac{3}{2})$。
由勾股定理计算AB的长度：$AB=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$，因此圆的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$。
2. 计算点O到圆心的距离：
点O到圆心的距离$d=\sqrt{(2-0)^2+(\frac{3}{2}-0)^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
3. 比较判断：
因为$d=r$，所以点O在以AB为直径的圆上。
（也可通过第二种方法验证：$OA=3,OB=4,AB=5$，满足$OA^2+OB^2=AB^2$，即∠AOB=90°，根据直径所对的圆周角为直角，可得O在以AB为直径的圆上。）
【答案】
上
【知识点】
点与圆的位置关系判定、勾股定理逆定理、圆周角定理推论
【点评】
本题是点与圆位置关系判定的基础题型，两种解题思路都属于常规考点，熟练掌握相关定理和坐标运算方法就能快速解答，选择圆周角定理推论的方法可以简化计算过程。
【难度系数】
0.8
11. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$AB=10$,$CD$是斜边$AB$上的中线,以$AC$为直径作$\odot O$,设线段$CD$的中点为$P$,则点$P$与$\odot O$的位置关系是
点P在$\odot O$内
.答案
11. 点P在$\odot O$内
解析
【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是比较点P到圆心O的距离$OP$与$\odot O$半径$r$的大小：若$OP＜r$则点在圆内，$OP=r$则点在圆上，$OP＞r$则点在圆外。首先由$AC$是$\odot O$的直径可直接求出半径；再结合直角三角形斜边中线的性质得到$D$是$AB$中点，结合$O$是$AC$中点、$P$是$CD$中点，可知$OP$是$△ ACD$的中位线，利用中位线性质求出$OP$的长度，最后和半径比较即可得到结论。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$CD$是斜边$AB$上的中线，
$\therefore D$是$AB$的中点，$CD=\frac{1}{2}AB=5$，$AD=\frac{1}{2}AB=5$。
$\because \odot O$以$AC$为直径，$AC=6$，
$\therefore \odot O$的半径$r=\frac{1}{2}AC=3$，且$O$是$AC$的中点。
又$\because P$是$CD$的中点，
$\therefore OP$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore OP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×5=2.5$。
$\because 2.5＜3$，即$OP＜r$，
$\therefore$点$P$在$\odot O$内。
【答案】
点P在$\odot O$内
【知识点】
点与圆的位置关系；直角三角形斜边中线的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是掌握点和圆位置关系的判定方法，结合直角三角形性质和中位线定理求出点到圆心的距离，再与半径作比较即可。
【难度系数】
0.7
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是比较点P到圆心O的距离$OP$与$\odot O$半径$r$的大小：若$OP＜r$则点在圆内，$OP=r$则点在圆上，$OP＞r$则点在圆外。首先由$AC$是$\odot O$的直径可直接求出半径；再结合直角三角形斜边中线的性质得到$D$是$AB$中点，结合$O$是$AC$中点、$P$是$CD$中点，可知$OP$是$△ ACD$的中位线，利用中位线性质求出$OP$的长度，最后和半径比较即可得到结论。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$CD$是斜边$AB$上的中线，
$\therefore D$是$AB$的中点，$CD=\frac{1}{2}AB=5$，$AD=\frac{1}{2}AB=5$。
$\because \odot O$以$AC$为直径，$AC=6$，
$\therefore \odot O$的半径$r=\frac{1}{2}AC=3$，且$O$是$AC$的中点。
又$\because P$是$CD$的中点，
$\therefore OP$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore OP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×5=2.5$。
$\because 2.5＜3$，即$OP＜r$，
$\therefore$点$P$在$\odot O$内。
【答案】
点P在$\odot O$内
【知识点】
点与圆的位置关系；直角三角形斜边中线的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是掌握点和圆位置关系的判定方法，结合直角三角形性质和中位线定理求出点到圆心的距离，再与半径作比较即可。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=4$，$D$是线段$BC$的中点，以$AB$为直径作$\odot O$，试判断点$D$与$\odot O$的位置关系。
答案
12. 解:点 D 在$\odot O$上. 理由:连接 OD.
∵ 易知 BD=DC,BO=OA,
∴ OD 是△BAC 的中位线.
∴ $OD = \frac{1}{2} AC$.
∵ AB=AC=4,
∴ $OD=\frac{1}{2} AB=2$.
∴ 点 D 在$\odot O$上.
∵ 易知 BD=DC,BO=OA,
∴ OD 是△BAC 的中位线.
∴ $OD = \frac{1}{2} AC$.
∵ AB=AC=4,
∴ $OD=\frac{1}{2} AB=2$.
∴ 点 D 在$\odot O$上.
解析
【分析】
要判断点D与$\odot O$的位置关系，核心方法是比较点D到圆心O的距离与$\odot O$半径的大小：若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径则在圆内，大于半径则在圆外。本题中$\odot O$以AB为直径，因此圆心O是AB的中点，半径为$\frac{1}{2}AB=2$，只需算出OD的长度再和半径比较即可。已知D是BC中点、O是AB中点，符合三角形中位线的构造条件，因此连接OD后可借助中位线定理求OD的长度，最终完成判断。
【解析】
连接OD，
∵ D是BC的中点，O是AB的中点，
∴ OD是$△ BAC$的中位线，
∴ $OD = \frac{1}{2} AC$，
∵ $AB=AC=4$，
∴ $OD=\frac{1}{2} × 4=2$，
又
∵ $\odot O$的半径为$\frac{1}{2}AB=2$，
∴ OD的长度等于$\odot O$的半径，
∴ 点D在$\odot O$上。
【答案】
点D在$\odot O$上
【知识点】
点与圆的位置关系判定，三角形中位线定理
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判定逻辑，结合中点条件构造中位线求出点到圆心的距离，和半径作比较即可得到结论。
【难度系数】
0.8
要判断点D与$\odot O$的位置关系，核心方法是比较点D到圆心O的距离与$\odot O$半径的大小：若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径则在圆内，大于半径则在圆外。本题中$\odot O$以AB为直径，因此圆心O是AB的中点，半径为$\frac{1}{2}AB=2$，只需算出OD的长度再和半径比较即可。已知D是BC中点、O是AB中点，符合三角形中位线的构造条件，因此连接OD后可借助中位线定理求OD的长度，最终完成判断。
【解析】
连接OD，
∵ D是BC的中点，O是AB的中点，
∴ OD是$△ BAC$的中位线，
∴ $OD = \frac{1}{2} AC$，
∵ $AB=AC=4$，
∴ $OD=\frac{1}{2} × 4=2$，
又
∵ $\odot O$的半径为$\frac{1}{2}AB=2$，
∴ OD的长度等于$\odot O$的半径，
∴ 点D在$\odot O$上。
【答案】
点D在$\odot O$上
【知识点】
点与圆的位置关系判定，三角形中位线定理
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判定逻辑，结合中点条件构造中位线求出点到圆心的距离，和半径作比较即可得到结论。
【难度系数】
0.8
13. 如图，矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm.
（1）以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
（1）以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
答案
13. 解:(1) 连接 AC,
∵ AB=3 cm,AD=4 cm,
∴ AC=5 cm.
∴ 点 B 在⊙A 内,点 D 在⊙A 上,点 C 在⊙A 外； (2)
∵ 以点 A 为圆心作⊙A,使 B,C,D 三点中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,
∴ ⊙A 的半径 r 的取值范围是 3 cm＜r＜5 cm.
∵ AB=3 cm,AD=4 cm,
∴ AC=5 cm.
∴ 点 B 在⊙A 内,点 D 在⊙A 上,点 C 在⊙A 外； (2)
∵ 以点 A 为圆心作⊙A,使 B,C,D 三点中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,
∴ ⊙A 的半径 r 的取值范围是 3 cm＜r＜5 cm.
解析
【分析】
判断点与圆的位置关系的核心是比较点到圆心的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d＜r$时点在圆内，$d=r$时点在圆上，$d＞r$时点在圆外。
对于（1），圆心为点$A$，先求出点$B、C、D$到点$A$的距离：$AB、AD$是矩形边长已知，$AC$是矩形对角线，用勾股定理计算即可，再分别和半径$4cm$比较就能判断位置。
对于（2），先找到$B、C、D$三点到点$A$的距离的最小值和最大值，要满足至少一个点在圆内，说明半径要大于最小距离；至少一个点在圆外，说明半径要小于最大距离，由此即可确定$r$的取值范围。
【解析】
(1) 连接$AC$，
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ ABC=90°$，$BC=AD=4cm$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$。
已知$\odot A$的半径$r=4cm$：
∵ $AB=3cm＜4cm$，
∴ 点$B$在$\odot A$内；
∵ $AD=4cm=4cm$，
∴ 点$D$在$\odot A$上；
∵ $AC=5cm＞4cm$，
∴ 点$C$在$\odot A$外。
(2) 点$B$到圆心$A$的距离最小为$3cm$，点$C$到圆心$A$的距离最大为$5cm$。
要使$B、C、D$三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，
则半径$r$需要大于最小距离$3cm$，小于最大距离$5cm$，即$3cm＜r＜5cm$。
【答案】
(1) 点$B$在$\odot A$内，点$D$在$\odot A$上，点$C$在$\odot A$外；
(2) $3\mathrm{cm}＜r＜5\mathrm{cm}$
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是牢记点到圆心的距离与半径的大小关系和点的位置的对应规律，解决第二问时需先确定各点到圆心距离的最值，再结合题意推导半径范围，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
判断点与圆的位置关系的核心是比较点到圆心的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d＜r$时点在圆内，$d=r$时点在圆上，$d＞r$时点在圆外。
对于（1），圆心为点$A$，先求出点$B、C、D$到点$A$的距离：$AB、AD$是矩形边长已知，$AC$是矩形对角线，用勾股定理计算即可，再分别和半径$4cm$比较就能判断位置。
对于（2），先找到$B、C、D$三点到点$A$的距离的最小值和最大值，要满足至少一个点在圆内，说明半径要大于最小距离；至少一个点在圆外，说明半径要小于最大距离，由此即可确定$r$的取值范围。
【解析】
(1) 连接$AC$，
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ ABC=90°$，$BC=AD=4cm$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$。
已知$\odot A$的半径$r=4cm$：
∵ $AB=3cm＜4cm$，
∴ 点$B$在$\odot A$内；
∵ $AD=4cm=4cm$，
∴ 点$D$在$\odot A$上；
∵ $AC=5cm＞4cm$，
∴ 点$C$在$\odot A$外。
(2) 点$B$到圆心$A$的距离最小为$3cm$，点$C$到圆心$A$的距离最大为$5cm$。
要使$B、C、D$三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，
则半径$r$需要大于最小距离$3cm$，小于最大距离$5cm$，即$3cm＜r＜5cm$。
【答案】
(1) 点$B$在$\odot A$内，点$D$在$\odot A$上，点$C$在$\odot A$外；
(2) $3\mathrm{cm}＜r＜5\mathrm{cm}$
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是牢记点到圆心的距离与半径的大小关系和点的位置的对应规律，解决第二问时需先确定各点到圆心距离的最值，再结合题意推导半径范围，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
