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1.已知一个正多边形的边数为n.
(1)若n=8,求这个正多边形的内角和；
(2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多12°,求n的值.
(1)若n=8,求这个正多边形的内角和；
(2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多12°,求n的值.
答案
(1)解:
∵ n=8,
∴ 这个正多边形的内角和为(8-2)×180°=1080°.
(2)设这个正多边形的每个外角为x°,则每个内角为(6x+12)°,根据题意得x°+(6x+12)°=180°,解得x=24,
∴ n=360°÷24°=15.
∵ n=8,
∴ 这个正多边形的内角和为(8-2)×180°=1080°.
(2)设这个正多边形的每个外角为x°,则每个内角为(6x+12)°,根据题意得x°+(6x+12)°=180°,解得x=24,
∴ n=360°÷24°=15.
解析
【分析】
（1）求正八边形的内角和，直接套用多边形内角和公式：正n边形内角和为$(n-2) × 180°$，将n=8代入计算即可。（2）首先明确多边形的任意一个内角与相邻外角是邻补角，二者之和为$180°$，我们可以设每个外角的度数为$x°$，根据“内角比相邻外角的6倍还多12°”表示出内角度数，再根据二者和为$180°$列方程求出外角度数，最后结合任意多边形外角和恒为$360°$，用外角和除以单个外角度数即可得到边数n。
【解析】
(1) 当$n=8$时，根据多边形内角和公式：
内角和$=(n-2) × 180°=(8-2) × 180°=6 × 180°=1080°$。
(2) 设这个正多边形的每个外角为$x°$，则每个内角为$(6x+12)°$。
因为多边形的一个内角与相邻外角互补，所以：
$x + (6x+12) = 180$
解这个方程：
$7x +12 =180$
$7x=168$
$x=24$
又因为多边形外角和为$360°$，正多边形每个外角度数相等，所以边数：
$n=360° ÷ 24°=15$。
【答案】
(1) $1080°$；(2) $n=15$
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于多边形的基础计算题，第一问直接考查内角和公式的识记应用，第二问结合内角与外角的数量关系考查方程思想的应用，解题关键是牢记多边形内角和、外角和的固定结论，掌握内角与相邻外角互补的性质。
【难度系数】
0.8
（1）求正八边形的内角和，直接套用多边形内角和公式：正n边形内角和为$(n-2) × 180°$，将n=8代入计算即可。（2）首先明确多边形的任意一个内角与相邻外角是邻补角，二者之和为$180°$，我们可以设每个外角的度数为$x°$，根据“内角比相邻外角的6倍还多12°”表示出内角度数，再根据二者和为$180°$列方程求出外角度数，最后结合任意多边形外角和恒为$360°$，用外角和除以单个外角度数即可得到边数n。
【解析】
(1) 当$n=8$时，根据多边形内角和公式：
内角和$=(n-2) × 180°=(8-2) × 180°=6 × 180°=1080°$。
(2) 设这个正多边形的每个外角为$x°$，则每个内角为$(6x+12)°$。
因为多边形的一个内角与相邻外角互补，所以：
$x + (6x+12) = 180$
解这个方程：
$7x +12 =180$
$7x=168$
$x=24$
又因为多边形外角和为$360°$，正多边形每个外角度数相等，所以边数：
$n=360° ÷ 24°=15$。
【答案】
(1) $1080°$；(2) $n=15$
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于多边形的基础计算题，第一问直接考查内角和公式的识记应用，第二问结合内角与外角的数量关系考查方程思想的应用，解题关键是牢记多边形内角和、外角和的固定结论，掌握内角与相邻外角互补的性质。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4对应的邻补角之和等于220°,求∠BOD的度数. 
答案
解:如图,延长BC交OE于H,七边形ABCDEFG中,
∵ ∠1,∠2,∠3,∠4对应的邻补角之和等于220°,
∴ 与∠ABC,∠BCD,∠CDE相邻的三个外角的和为360°-220°=140°,
∴ ∠7 + ∠6 + ∠5 =140°,又∠8 = ∠5 + ∠6,
∴ ∠7 + ∠8 = 140°,
∴ ∠BOD = 180° - 140° = 40°.
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形外角和为固定的360°，已知∠1、∠2、∠3、∠4的邻补角（即对应外角）之和为220°，可先求出剩余三个外角的和。接下来通过作辅助线延长BC交OE于H，利用三角形外角的性质，将三个外角的和转化为△OBH中两个内角的和，最后结合三角形内角和为180°即可求出∠BOD的度数。
【解析】
1. 作辅助线：延长BC交OE于点H。
2. 计算剩余外角和：任意多边形的外角和均为360°，已知∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角（即这四个角的外角）之和为220°，因此与∠ABC、∠BCD、∠CDE相邻的三个外角的和为$360°-220°=140°$，即$∠7+∠6+∠5=140°$。
3. 利用三角形外角性质转化角：∠8是△HCD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得$∠8=∠6+∠5$，代入上式得$∠7+∠8=140°$。
4. 计算∠BOD：在△OBH中，三角形内角和为180°，因此$∠ BOD=180°-(∠7+∠8)=180°-140°=40°$。
【答案】
解:如图,延长BC交OE于H,七边形ABCDEFG中,
∵ ∠1,∠2,∠3,∠4对应的邻补角之和等于220°,
∴ 与∠ABC,∠BCD,∠CDE相邻的三个外角的和为360°-220°=140°,
∴ ∠7 + ∠6 + ∠5 =140°,又∠8 = ∠5 + ∠6,
∴ ∠7 + ∠8 = 140°,
∴ ∠BOD = 180° - 140° = 40°.
【知识点】
多边形外角和定理；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了多边形和三角形的角的相关性质，解题的核心是通过作辅助线将分散的未知角集中到同一个三角形中，利用几何性质完成角度的转化与计算，能够有效锻炼几何逻辑思维和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆多边形外角和为固定的360°，已知∠1、∠2、∠3、∠4的邻补角（即对应外角）之和为220°，可先求出剩余三个外角的和。接下来通过作辅助线延长BC交OE于H，利用三角形外角的性质，将三个外角的和转化为△OBH中两个内角的和，最后结合三角形内角和为180°即可求出∠BOD的度数。
【解析】
1. 作辅助线：延长BC交OE于点H。
2. 计算剩余外角和：任意多边形的外角和均为360°，已知∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角（即这四个角的外角）之和为220°，因此与∠ABC、∠BCD、∠CDE相邻的三个外角的和为$360°-220°=140°$，即$∠7+∠6+∠5=140°$。
3. 利用三角形外角性质转化角：∠8是△HCD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得$∠8=∠6+∠5$，代入上式得$∠7+∠8=140°$。
4. 计算∠BOD：在△OBH中，三角形内角和为180°，因此$∠ BOD=180°-(∠7+∠8)=180°-140°=40°$。
【答案】
解:如图,延长BC交OE于H,七边形ABCDEFG中,
∵ ∠1,∠2,∠3,∠4对应的邻补角之和等于220°,
∴ 与∠ABC,∠BCD,∠CDE相邻的三个外角的和为360°-220°=140°,
∴ ∠7 + ∠6 + ∠5 =140°,又∠8 = ∠5 + ∠6,
∴ ∠7 + ∠8 = 140°,
∴ ∠BOD = 180° - 140° = 40°.
【知识点】
多边形外角和定理；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了多边形和三角形的角的相关性质，解题的核心是通过作辅助线将分散的未知角集中到同一个三角形中，利用几何性质完成角度的转化与计算，能够有效锻炼几何逻辑思维和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在$□ ABCD$中,AE平分$∠ BAD$,交BC于点E,CF平分$∠ BCD$,交AD于点F. 求证:$AE = CF.$
答案
证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠B = ∠D,AB = CD,∠BAD = ∠DCB.
∵ AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴ ∠BAE = ∠DAE = ∠BCF = ∠DCF. 在△BAE 和 △DCF 中,
$\begin{cases}∠B = ∠D,\\AB = CD,\\∠BAE = ∠DCF,\end{cases}$
∴ △BAE ≌ △DCF,
∴ AE = CF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠B = ∠D,AB = CD,∠BAD = ∠DCB.
∵ AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴ ∠BAE = ∠DAE = ∠BCF = ∠DCF. 在△BAE 和 △DCF 中,
$\begin{cases}∠B = ∠D,\\AB = CD,\\∠BAE = ∠DCF,\end{cases}$
∴ △BAE ≌ △DCF,
∴ AE = CF.
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先结合平行四边形的性质，可得到对角相等、对边相等的关系；再结合角平分线的定义，推导得到△BAE和△DCF中对应角、对应边相等的条件，即可判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B = ∠D，AB = CD，∠BAD = ∠DCB。
∵ AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ BCD$，即$∠ BAE=∠ DCF$。
在△BAE 和 △DCF 中，
$\begin{cases}∠B = ∠D,\\AB = CD,\\∠BAE = ∠DCF,\end{cases}$
∴ △BAE ≌ △DCF（ASA），
∴ AE = CF。
【答案】
证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠B = ∠D,AB = CD,∠BAD = ∠DCB.
∵ AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴ ∠BAE = ∠DAE = ∠BCF = ∠DCF. 在△BAE 和 △DCF 中,
$\begin{cases}∠B = ∠D,\\AB = CD,\\∠BAE = ∠DCF,\end{cases}$
∴ △BAE ≌ △DCF,
∴ AE = CF.
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察平行四边形性质与全等三角形判定的结合应用，解题的关键是根据待证相等的线段定位到对应的全等三角形，再结合已知条件推导全等所需的边角关系，熟练掌握相关性质定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先结合平行四边形的性质，可得到对角相等、对边相等的关系；再结合角平分线的定义，推导得到△BAE和△DCF中对应角、对应边相等的条件，即可判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B = ∠D，AB = CD，∠BAD = ∠DCB。
∵ AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ BCD$，即$∠ BAE=∠ DCF$。
在△BAE 和 △DCF 中，
$\begin{cases}∠B = ∠D,\\AB = CD,\\∠BAE = ∠DCF,\end{cases}$
∴ △BAE ≌ △DCF（ASA），
∴ AE = CF。
【答案】
证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠B = ∠D,AB = CD,∠BAD = ∠DCB.
∵ AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴ ∠BAE = ∠DAE = ∠BCF = ∠DCF. 在△BAE 和 △DCF 中,
$\begin{cases}∠B = ∠D,\\AB = CD,\\∠BAE = ∠DCF,\end{cases}$
∴ △BAE ≌ △DCF,
∴ AE = CF.
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察平行四边形性质与全等三角形判定的结合应用，解题的关键是根据待证相等的线段定位到对应的全等三角形，再结合已知条件推导全等所需的边角关系，熟练掌握相关性质定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
