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7.在平面直角坐标系中，一个机器人从原点O出发，向正东方向走3米到达$A_1(3,0)$，再向正北方向走6米到达$A_2(3,6)$，再向正西方向走9米到达$A_3$，再向正南方向走12米到达$A_4$，再向正东方向走15米到达$A_5$……按此规律走下去，当机器人走到$A_6$时，$A_6$的坐标是（
A.$(6,9)$
B.$(9,12)$
C.$(12,15)$
D.$(6,15)$
B
）A.$(6,9)$
B.$(9,12)$
C.$(12,15)$
D.$(6,15)$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先明确平面直角坐标系中方向对坐标的影响：向东行走横坐标x增加，向西行走x减少，向北行走纵坐标y增加，向南行走y减少；再观察行走规律：行走方向按“正东、正北、正西、正南”循环，第n次行走的路程为3n米，我们依次计算到第6次行走结束后的坐标即可得到A₆的坐标。
【解析】
我们按行走顺序逐步计算各点坐标：
1. 从原点O(0,0)向正东走3米到A₁：x=0+3=3，y=0，得A₁(3,0)；
2. 从A₁向正北走6米到A₂：x不变为3，y=0+6=6，得A₂(3,6)；
3. 从A₂向正西走9米到A₃：y不变为6，x=3-9=-6，得A₃(-6,6)；
4. 从A₃向正南走12米到A₄：x不变为-6，y=6-12=-6，得A₄(-6,-6)；
5. 从A₄向正东走15米到A₅：y不变为-6，x=-6+15=9，得A₅(9,-6)；
6. 从A₅向正北走18米到A₆：x不变为9，y=-6+18=12，得A₆(9,12)。
【答案】
B
【知识点】
坐标变化规律，规律探究
【点评】
本题结合坐标变化考查规律探索能力，解题核心是明确不同方向对应的坐标增减规则，按行走顺序逐步计算即可，只要计算细心就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确平面直角坐标系中方向对坐标的影响：向东行走横坐标x增加，向西行走x减少，向北行走纵坐标y增加，向南行走y减少；再观察行走规律：行走方向按“正东、正北、正西、正南”循环，第n次行走的路程为3n米，我们依次计算到第6次行走结束后的坐标即可得到A₆的坐标。
【解析】
我们按行走顺序逐步计算各点坐标：
1. 从原点O(0,0)向正东走3米到A₁：x=0+3=3，y=0，得A₁(3,0)；
2. 从A₁向正北走6米到A₂：x不变为3，y=0+6=6，得A₂(3,6)；
3. 从A₂向正西走9米到A₃：y不变为6，x=3-9=-6，得A₃(-6,6)；
4. 从A₃向正南走12米到A₄：x不变为-6，y=6-12=-6，得A₄(-6,-6)；
5. 从A₄向正东走15米到A₅：y不变为-6，x=-6+15=9，得A₅(9,-6)；
6. 从A₅向正北走18米到A₆：x不变为9，y=-6+18=12，得A₆(9,12)。
【答案】
B
【知识点】
坐标变化规律，规律探究
【点评】
本题结合坐标变化考查规律探索能力，解题核心是明确不同方向对应的坐标增减规则，按行走顺序逐步计算即可，只要计算细心就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
8.已知平面直角坐标系内的一点A(-2,5)，
若将坐标系先向左平移3个单位长度，再
向上平移4个单位长度，则点A在新坐标
系中的坐标为
若将坐标系先向左平移3个单位长度，再
向上平移4个单位长度，则点A在新坐标
系中的坐标为
$(1,1)$
.答案
8.$(1,1)$
解析
【分析】
要解决这类坐标系平移的问题，首先要明确规律：坐标系平移的方向与点相对坐标系的平移方向相反。本题中坐标系先向左平移3个单位，等价于点A相对新坐标系向右平移3个单位；坐标系再向上平移4个单位，等价于点A相对新坐标系向下平移4个单位，我们只需要分别对横、纵坐标按照对应规律计算即可得到新坐标。
【解析】
坐标系平移时，点的坐标变化遵循“坐标系移向与点坐标变化反向”的规律：
1. 横坐标变化：坐标系向左平移3个单位，点的横坐标对应加3，原横坐标为-2，新横坐标为$-2 + 3 = 1$；
2. 纵坐标变化：坐标系向上平移4个单位，点的纵坐标对应减4，原纵坐标为5，新纵坐标为$5 - 4 = 1$。
因此点A在新坐标系中的坐标为$(1,1)$。
【答案】
$(1,1)$
【知识点】
1. 坐标系平移的坐标规律
2. 点的坐标变换
【点评】
本题核心考查坐标系平移和点坐标变化的对应关系，易错点是混淆坐标系平移和点本身平移的方向规律，只要牢记两者方向相反的特点，就能准确计算出结果。
【难度系数】
0.7
要解决这类坐标系平移的问题，首先要明确规律：坐标系平移的方向与点相对坐标系的平移方向相反。本题中坐标系先向左平移3个单位，等价于点A相对新坐标系向右平移3个单位；坐标系再向上平移4个单位，等价于点A相对新坐标系向下平移4个单位，我们只需要分别对横、纵坐标按照对应规律计算即可得到新坐标。
【解析】
坐标系平移时，点的坐标变化遵循“坐标系移向与点坐标变化反向”的规律：
1. 横坐标变化：坐标系向左平移3个单位，点的横坐标对应加3，原横坐标为-2，新横坐标为$-2 + 3 = 1$；
2. 纵坐标变化：坐标系向上平移4个单位，点的纵坐标对应减4，原纵坐标为5，新纵坐标为$5 - 4 = 1$。
因此点A在新坐标系中的坐标为$(1,1)$。
【答案】
$(1,1)$
【知识点】
1. 坐标系平移的坐标规律
2. 点的坐标变换
【点评】
本题核心考查坐标系平移和点坐标变化的对应关系，易错点是混淆坐标系平移和点本身平移的方向规律，只要牢记两者方向相反的特点，就能准确计算出结果。
【难度系数】
0.7
9. 已知$A(0,a),B(3,5)$是平面直角坐标系中的两点,则线段AB长度的最小值为
3
。答案
9.3
解析
【分析】
首先分析点A的坐标特征：点A的横坐标固定为0，说明点A始终在y轴上运动，点B是平面内的定点。要求线段AB的最小长度，可根据“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”，可知点B到y轴的垂线段长度就是AB的最小值，也可以通过分析两点距离的构成，找到使距离最小的条件求解。
【解析】
方法1（几何法）：
∵ 点A的坐标为$(0,a)$，横坐标恒为0，
∴ 点A在y轴上运动。
根据垂线段最短的性质，当线段AB垂直于y轴时，AB的长度最小。
点$B(3,5)$到y轴的距离为横坐标的绝对值，即$|3|=3$，因此AB长度的最小值为3。
方法2（代数法）：
对于两点$A(0,a)$和$B(3,5)$，两点的水平差为$3-0=3$，竖直差为$5-a$。
根据勾股定理，$AB=\sqrt{3^2+(5-a)^2}$。
由于$(5-a)^2≥0$，当$(5-a)^2=0$时，$AB$取得最小值$\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；点的坐标特征；两点间距离
【点评】
本题结合坐标特征与几何性质进行考查，解题关键是先判断出点A的运动轨迹，再结合垂线段最短或者非负数的性质求解，解题思路灵活，既可以用几何方法快速得到结果，也可以用代数计算推导，属于基础类的最值问题。
【难度系数】
0.7
首先分析点A的坐标特征：点A的横坐标固定为0，说明点A始终在y轴上运动，点B是平面内的定点。要求线段AB的最小长度，可根据“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”，可知点B到y轴的垂线段长度就是AB的最小值，也可以通过分析两点距离的构成，找到使距离最小的条件求解。
【解析】
方法1（几何法）：
∵ 点A的坐标为$(0,a)$，横坐标恒为0，
∴ 点A在y轴上运动。
根据垂线段最短的性质，当线段AB垂直于y轴时，AB的长度最小。
点$B(3,5)$到y轴的距离为横坐标的绝对值，即$|3|=3$，因此AB长度的最小值为3。
方法2（代数法）：
对于两点$A(0,a)$和$B(3,5)$，两点的水平差为$3-0=3$，竖直差为$5-a$。
根据勾股定理，$AB=\sqrt{3^2+(5-a)^2}$。
由于$(5-a)^2≥0$，当$(5-a)^2=0$时，$AB$取得最小值$\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；点的坐标特征；两点间距离
【点评】
本题结合坐标特征与几何性质进行考查，解题关键是先判断出点A的运动轨迹，再结合垂线段最短或者非负数的性质求解，解题思路灵活，既可以用几何方法快速得到结果，也可以用代数计算推导，属于基础类的最值问题。
【难度系数】
0.7
10.如果点$P(x,y)$的坐标满足$x+y=xy$，那么称点$P$为“和谐点”.已知某个“和谐点”A到$x$轴的距离为3，则点A的坐标为
$(\dfrac{3}{2},3)$或$(\dfrac{3}{4},-3)$
.答案
10.$(\dfrac{3}{2},3)$或$(\dfrac{3}{4},-3)$
解析
【分析】
首先明确“和谐点”的定义是横纵坐标满足等式$x+y=xy$；其次回忆点到$x$轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此先求出纵坐标$y$的两个可能取值，再分别将$y$的值代入和谐点的等式中求解对应的横坐标$x$，即可得到点$A$的坐标，解题时注意不要遗漏纵坐标为负的情况。
【解析】
∵ 点$A$到$x$轴的距离为3，
∴ 点$A$的纵坐标的绝对值为3，即$|y|=3$，
解得$y=3$或$y=-3$，分两种情况计算：
① 当$y=3$时，将$y=3$代入$x+y=xy$得：
$x+3=3x$
移项得$3x-x=3$
合并同类项得$2x=3$
解得$x=\dfrac{3}{2}$，此时点$A$坐标为$(\dfrac{3}{2},3)$；
② 当$y=-3$时，将$y=-3$代入$x+y=xy$得：
$x-3=-3x$
移项得$x+3x=3$
合并同类项得$4x=3$
解得$x=\dfrac{3}{4}$，此时点$A$坐标为$(\dfrac{3}{4},-3)$。
【答案】
$(\dfrac{3}{2},3)$或$(\dfrac{3}{4},-3)$
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离 2. 解一元一次方程 3. 新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系中点的坐标性质，易错点是容易忽略距离对应绝对值，漏掉纵坐标为负的情况，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.7
首先明确“和谐点”的定义是横纵坐标满足等式$x+y=xy$；其次回忆点到$x$轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此先求出纵坐标$y$的两个可能取值，再分别将$y$的值代入和谐点的等式中求解对应的横坐标$x$，即可得到点$A$的坐标，解题时注意不要遗漏纵坐标为负的情况。
【解析】
∵ 点$A$到$x$轴的距离为3，
∴ 点$A$的纵坐标的绝对值为3，即$|y|=3$，
解得$y=3$或$y=-3$，分两种情况计算：
① 当$y=3$时，将$y=3$代入$x+y=xy$得：
$x+3=3x$
移项得$3x-x=3$
合并同类项得$2x=3$
解得$x=\dfrac{3}{2}$，此时点$A$坐标为$(\dfrac{3}{2},3)$；
② 当$y=-3$时，将$y=-3$代入$x+y=xy$得：
$x-3=-3x$
移项得$x+3x=3$
合并同类项得$4x=3$
解得$x=\dfrac{3}{4}$，此时点$A$坐标为$(\dfrac{3}{4},-3)$。
【答案】
$(\dfrac{3}{2},3)$或$(\dfrac{3}{4},-3)$
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离 2. 解一元一次方程 3. 新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系中点的坐标性质，易错点是容易忽略距离对应绝对值，漏掉纵坐标为负的情况，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.7
11.如图6,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长均为1,点$P_1,P_2,P_3,···$均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列.各点坐标如下:$P_1(0,0),P_2(0,1),P_3(1,1),P_4(1,-1),P_5(-1,-1),P_6(-1,2)···$根据这个规律,点$P_{2025}$的坐标为
$(-506,-506)$
.答案
11.$(-506,-506)$
解析
【分析】
解决这类点坐标规律题，首先观察点的排列顺序，找周期规律：我们先对比脚标除以4余数相同的点的坐标特征，发现脚标为4k+1（k为非负整数）的点，横纵坐标相等。先计算2025除以4的余数，确定它所属的规律组，再推导对应坐标即可。
【解析】
首先观察已知点中脚模4余1的点的坐标规律：
当k=0时，脚标为$4×0+1=1$，对应$P_1(0,0)=(-0,-0)$
当k=1时，脚标为$4×1+1=5$，对应$P_5(-1,-1)$
当k=2时，脚标为$4×2+1=9$，可推得对应$P_9(-2,-2)$
……
由此总结规律：若点的脚标为$4k+1$（k为非负整数），则该点的坐标为$(-k,-k)$。
接下来计算2025除以4的结果：$2025÷4=506······1$，即$2025=4×506+1$，对应$k=506$，因此$P_{2025}$的坐标为$(-506,-506)$。
【答案】
$(-506,-506)$
【知识点】
平面直角坐标系点坐标、数字变化规律、周期问题
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是通过观察归纳出同余类点的坐标规律，解题时先确定目标点的周期位置，再代入对应规律即可得到结果，能有效提升观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
解决这类点坐标规律题，首先观察点的排列顺序，找周期规律：我们先对比脚标除以4余数相同的点的坐标特征，发现脚标为4k+1（k为非负整数）的点，横纵坐标相等。先计算2025除以4的余数，确定它所属的规律组，再推导对应坐标即可。
【解析】
首先观察已知点中脚模4余1的点的坐标规律：
当k=0时，脚标为$4×0+1=1$，对应$P_1(0,0)=(-0,-0)$
当k=1时，脚标为$4×1+1=5$，对应$P_5(-1,-1)$
当k=2时，脚标为$4×2+1=9$，可推得对应$P_9(-2,-2)$
……
由此总结规律：若点的脚标为$4k+1$（k为非负整数），则该点的坐标为$(-k,-k)$。
接下来计算2025除以4的结果：$2025÷4=506······1$，即$2025=4×506+1$，对应$k=506$，因此$P_{2025}$的坐标为$(-506,-506)$。
【答案】
$(-506,-506)$
【知识点】
平面直角坐标系点坐标、数字变化规律、周期问题
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是通过观察归纳出同余类点的坐标规律，解题时先确定目标点的周期位置，再代入对应规律即可得到结果，能有效提升观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
12.在平面直角坐标系中,已知点$M(2-m,1+2m)$.
(1)若点$M$在$y$轴上,求点$M$的坐标;
(2)若点$M$在第二、第四象限的角平分线上,求点$M$的坐标.
(1)若点$M$在$y$轴上,求点$M$的坐标;
(2)若点$M$在第二、第四象限的角平分线上,求点$M$的坐标.
答案
12.(1)$M(0,5)$
(2)$M(5,-5)$
(2)$M(5,-5)$
解析
【分析】
(1) 解题时先回忆y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，因此先令点M的横坐标等于0列方程求出m的值，再将m代入纵坐标表达式计算，就能得到点M的坐标。
(2) 先回忆第二、第四象限角平分线上点的坐标特征：该线上的点横、纵坐标互为相反数，也就是横坐标与纵坐标的和为0，据此列出关于m的方程，求解得到m后，分别代入横、纵坐标的表达式，即可求出点M的坐标。
【解析】
(1)
∵ 点$M$在$y$轴上，$y$轴上点的横坐标为0
∴ $2 - m = 0$
解得：$m = 2$
将$m=2$代入纵坐标$1+2m$，得$1 + 2×2 = 5$
∴ 点$M$的坐标为$(0, 5)$
(2)
∵ 点$M$在第二、第四象限的角平分线上，该线上的点横、纵坐标互为相反数
∴ $(2 - m) + (1 + 2m) = 0$
整理得：$3 + m = 0$
解得：$m = -3$
将$m=-3$代入横坐标：$2 - (-3) = 5$
代入纵坐标：$1 + 2×(-3) = -5$
∴ 点$M$的坐标为$(5, -5)$
【答案】
(1)$M(0,5)$
(2)$M(5,-5)$
【知识点】
y轴上点的坐标特征；二四象限角平分线上点的坐标特征；一元一次方程的解法
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律应用，解题核心是牢记不同特殊位置下点的横、纵坐标的关系，通过列方程求解未知参数即可得到坐标，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.85
(1) 解题时先回忆y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，因此先令点M的横坐标等于0列方程求出m的值，再将m代入纵坐标表达式计算，就能得到点M的坐标。
(2) 先回忆第二、第四象限角平分线上点的坐标特征：该线上的点横、纵坐标互为相反数，也就是横坐标与纵坐标的和为0，据此列出关于m的方程，求解得到m后，分别代入横、纵坐标的表达式，即可求出点M的坐标。
【解析】
(1)
∵ 点$M$在$y$轴上，$y$轴上点的横坐标为0
∴ $2 - m = 0$
解得：$m = 2$
将$m=2$代入纵坐标$1+2m$，得$1 + 2×2 = 5$
∴ 点$M$的坐标为$(0, 5)$
(2)
∵ 点$M$在第二、第四象限的角平分线上，该线上的点横、纵坐标互为相反数
∴ $(2 - m) + (1 + 2m) = 0$
整理得：$3 + m = 0$
解得：$m = -3$
将$m=-3$代入横坐标：$2 - (-3) = 5$
代入纵坐标：$1 + 2×(-3) = -5$
∴ 点$M$的坐标为$(5, -5)$
【答案】
(1)$M(0,5)$
(2)$M(5,-5)$
【知识点】
y轴上点的坐标特征；二四象限角平分线上点的坐标特征；一元一次方程的解法
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律应用，解题核心是牢记不同特殊位置下点的横、纵坐标的关系，通过列方程求解未知参数即可得到坐标，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.85
13. 图7为某校分布图的一部分，方格纸中每个小方格的边长均为1个单位长度.已知教学楼的坐标为A(1,2)，图书馆的坐标为B(-2,-1).
(1)在图中找到坐标系的原点，并画出平面直角坐标系；
(2)若体育馆的坐标为C(1,-3)，食堂的坐标为D(2,0)，请在图中标出体育馆和食堂的位置；
(3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积.
(1)在图中找到坐标系的原点，并画出平面直角坐标系；
(2)若体育馆的坐标为C(1,-3)，食堂的坐标为D(2,0)，请在图中标出体育馆和食堂的位置；
(3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积.
答案
13.(1)略
(2)略
(3)10
(2)略
(3)10
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知教学楼A的坐标为(1,2)，说明原点在点A向左平移1个单位、向下平移2个单位的交点处，找到原点后，分别作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，即可建立平面直角坐标系。
2. 第(2)问：根据点的坐标定义，横坐标对应x轴的数值，纵坐标对应y轴的数值，分别找到横坐标为1、纵坐标为-3的点标注为体育馆C，横坐标为2、纵坐标为0的点标注为食堂D即可。
3. 第(3)问：四边形ABCD是不规则四边形，适合用割补法求面积：先作包含该四边形的最小矩形，计算矩形的面积，再减去矩形内四边形外的几个直角三角形的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) 原点在点A(1,2)向左1格、向下2格的位置，过原点画出水平向右的x轴和竖直向上的y轴，完成平面直角坐标系的绘制。
(2) 根据坐标C(1,-3)、D(2,0)，在坐标系中找到对应位置，分别标注C、D即可。
(3) 采用割补法计算面积：
第一步：作包含四边形ABCD的最小矩形，该矩形横向从x=-2到x=2，长度为4，纵向从y=-3到y=2，宽度为5，矩形面积 = 4×5 = 20。
第二步：计算矩形内四边形外的4个直角三角形的面积：
① 左上角直角三角形：两条直角边长分别为3、3，面积 = $\frac{1}{2}×3×3=4.5$
② 右上角直角三角形：两条直角边长分别为1、2，面积 = $\frac{1}{2}×1×2=1$
③ 右下角直角三角形：两条直角边长分别为1、3，面积 = $\frac{1}{2}×1×3=1.5$
④ 左下角直角三角形：两条直角边长分别为3、2，面积 = $\frac{1}{2}×3×2=3$
第三步：四边形ABCD的面积 = 矩形面积 - 四个直角三角形面积和 = $20 - (4.5+1+1.5+3) = 10$
【答案】
(1) 略
(2) 略
(3) 10
【知识点】
平面直角坐标系建立，坐标确定位置，割补法求面积
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用和不规则图形的面积计算，解题的核心是先根据已知点的坐标准确定位原点建立坐标系，再通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差求解，是平面直角坐标系应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：已知教学楼A的坐标为(1,2)，说明原点在点A向左平移1个单位、向下平移2个单位的交点处，找到原点后，分别作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，即可建立平面直角坐标系。
2. 第(2)问：根据点的坐标定义，横坐标对应x轴的数值，纵坐标对应y轴的数值，分别找到横坐标为1、纵坐标为-3的点标注为体育馆C，横坐标为2、纵坐标为0的点标注为食堂D即可。
3. 第(3)问：四边形ABCD是不规则四边形，适合用割补法求面积：先作包含该四边形的最小矩形，计算矩形的面积，再减去矩形内四边形外的几个直角三角形的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) 原点在点A(1,2)向左1格、向下2格的位置，过原点画出水平向右的x轴和竖直向上的y轴，完成平面直角坐标系的绘制。
(2) 根据坐标C(1,-3)、D(2,0)，在坐标系中找到对应位置，分别标注C、D即可。
(3) 采用割补法计算面积：
第一步：作包含四边形ABCD的最小矩形，该矩形横向从x=-2到x=2，长度为4，纵向从y=-3到y=2，宽度为5，矩形面积 = 4×5 = 20。
第二步：计算矩形内四边形外的4个直角三角形的面积：
① 左上角直角三角形：两条直角边长分别为3、3，面积 = $\frac{1}{2}×3×3=4.5$
② 右上角直角三角形：两条直角边长分别为1、2，面积 = $\frac{1}{2}×1×2=1$
③ 右下角直角三角形：两条直角边长分别为1、3，面积 = $\frac{1}{2}×1×3=1.5$
④ 左下角直角三角形：两条直角边长分别为3、2，面积 = $\frac{1}{2}×3×2=3$
第三步：四边形ABCD的面积 = 矩形面积 - 四个直角三角形面积和 = $20 - (4.5+1+1.5+3) = 10$
【答案】
(1) 略
(2) 略
(3) 10
【知识点】
平面直角坐标系建立，坐标确定位置，割补法求面积
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用和不规则图形的面积计算，解题的核心是先根据已知点的坐标准确定位原点建立坐标系，再通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差求解，是平面直角坐标系应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
