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1.下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的是 （
A.$y=x$
B.$y=-\dfrac{2}{x}+1$
C.$y=x-3$
D.$y=x^2-3$
C
）A.$y=x$
B.$y=-\dfrac{2}{x}+1$
C.$y=x-3$
D.$y=x^2-3$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一次函数和正比例函数的定义：1. 正比例函数是形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，是b=0的特殊一次函数；2. 一次函数是形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，要求自变量x的次数为1，且x不能出现在分母等位置。解题时逐个分析选项，先判断是否为一次函数，再判断是否为正比例函数，最终选出符合要求的选项。
【解析】
首先明确两类函数的定义：
① 正比例函数：形如$\boldsymbol{y=kx}$（k为常数，$k≠ 0$），是b=0的特殊一次函数；
② 一次函数：形如$\boldsymbol{y=kx+b}$（k、b为常数，$k≠ 0$），自变量x的次数为1。
逐一分析选项：
选项A：$y=x$符合$y=kx$（k=1≠0），属于正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求，排除；
选项B：$y=-\dfrac{2}{x}+1$中x在分母位置，自变量次数为-1，不属于一次函数，排除；
选项C：$y=x-3$符合$y=kx+b$（k=1≠0，b=-3≠0），是一次函数且不是正比例函数，符合要求；
选项D：$y=x^2-3$中自变量x的次数为2，属于二次函数，不属于一次函数，排除。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题核心考查一次函数与正比例函数的概念辨析，解题关键是准确掌握两类函数的形式特征，理清二者的包含关系，同时注意甄别自变量次数不符合一次函数要求的干扰项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确一次函数和正比例函数的定义：1. 正比例函数是形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，是b=0的特殊一次函数；2. 一次函数是形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，要求自变量x的次数为1，且x不能出现在分母等位置。解题时逐个分析选项，先判断是否为一次函数，再判断是否为正比例函数，最终选出符合要求的选项。
【解析】
首先明确两类函数的定义：
① 正比例函数：形如$\boldsymbol{y=kx}$（k为常数，$k≠ 0$），是b=0的特殊一次函数；
② 一次函数：形如$\boldsymbol{y=kx+b}$（k、b为常数，$k≠ 0$），自变量x的次数为1。
逐一分析选项：
选项A：$y=x$符合$y=kx$（k=1≠0），属于正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求，排除；
选项B：$y=-\dfrac{2}{x}+1$中x在分母位置，自变量次数为-1，不属于一次函数，排除；
选项C：$y=x-3$符合$y=kx+b$（k=1≠0，b=-3≠0），是一次函数且不是正比例函数，符合要求；
选项D：$y=x^2-3$中自变量x的次数为2，属于二次函数，不属于一次函数，排除。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题核心考查一次函数与正比例函数的概念辨析，解题关键是准确掌握两类函数的形式特征，理清二者的包含关系，同时注意甄别自变量次数不符合一次函数要求的干扰项。
【难度系数】
0.8
2.正比例函数 $ y=-2x $ 的大致图象是（
A
）答案
2.A
解析
【分析】
解题时先回忆正比例函数的图象性质：首先正比例函数的图象是过坐标原点的直线，可先排除不过原点的选项；再根据比例系数k的正负判断图象经过的象限：k＞0时图象过一、三象限，k＜0时图象过二、四象限，结合本题k的取值即可选出正确选项。
【解析】
1. 正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），其图象是经过坐标原点$O$的直线，观察选项可知，C、D的图象与y轴交于正半轴，不经过原点，因此先排除C、D；
2. 本题中函数为$y=-2x$，比例系数$k=-2＜0$，因此该正比例函数的图象经过第二、四象限，B选项图象经过第一、三象限不符合要求，A选项图象经过原点且过二、四象限，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象特征，正比例函数的性质
【点评】
本题是对正比例函数基础性质的考查，熟练掌握正比例函数图象过原点、k的符号对应图象经过的象限这两个核心知识点，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆正比例函数的图象性质：首先正比例函数的图象是过坐标原点的直线，可先排除不过原点的选项；再根据比例系数k的正负判断图象经过的象限：k＞0时图象过一、三象限，k＜0时图象过二、四象限，结合本题k的取值即可选出正确选项。
【解析】
1. 正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），其图象是经过坐标原点$O$的直线，观察选项可知，C、D的图象与y轴交于正半轴，不经过原点，因此先排除C、D；
2. 本题中函数为$y=-2x$，比例系数$k=-2＜0$，因此该正比例函数的图象经过第二、四象限，B选项图象经过第一、三象限不符合要求，A选项图象经过原点且过二、四象限，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象特征，正比例函数的性质
【点评】
本题是对正比例函数基础性质的考查，熟练掌握正比例函数图象过原点、k的符号对应图象经过的象限这两个核心知识点，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3.已知正比例函数$y=-x$，下列结论正确的是 （
A.图象必经过点$(1,1)$
B.图象是一条射线
C.不论$x$取何值，总有$y＜0$
D.$y$随$x$的增大而减小
D
）A.图象必经过点$(1,1)$
B.图象是一条射线
C.不论$x$取何值，总有$y＜0$
D.$y$随$x$的增大而减小
答案
3.D
解析
【分析】
解决本题需要结合正比例函数的图象与性质，逐一判断每个选项的正误：首先回忆正比例函数$y=kx(k≠0)$的基本特征，再分别通过代入点坐标、分析图象形状、举反例、判断$k$的符号分析增减性的方法排查选项即可。
【解析】
已知正比例函数解析式为$y=-x$，其中比例系数$k=-1$，逐个分析选项：
1. 分析选项A：将$x=1$代入解析式，得$y=-1≠1$，因此图象不经过点$(1,1)$，A错误；
2. 分析选项B：正比例函数的图象是经过原点的一条直线，不是射线，B错误；
3. 分析选项C：举反例，当$x=-1$时，$y=1＞0$，因此不是不论$x$取何值都有$y＜0$，C错误；
4. 分析选项D：当$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的$y$随$x$的增大而减小，本题$k=-1＜0$，符合该性质，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，正比例函数增减性
【点评】
本题是正比例函数的基础考查题，解题的核心是熟练掌握正比例函数的图象特点、增减性等核心性质，通过逐一排除错误选项即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合正比例函数的图象与性质，逐一判断每个选项的正误：首先回忆正比例函数$y=kx(k≠0)$的基本特征，再分别通过代入点坐标、分析图象形状、举反例、判断$k$的符号分析增减性的方法排查选项即可。
【解析】
已知正比例函数解析式为$y=-x$，其中比例系数$k=-1$，逐个分析选项：
1. 分析选项A：将$x=1$代入解析式，得$y=-1≠1$，因此图象不经过点$(1,1)$，A错误；
2. 分析选项B：正比例函数的图象是经过原点的一条直线，不是射线，B错误；
3. 分析选项C：举反例，当$x=-1$时，$y=1＞0$，因此不是不论$x$取何值都有$y＜0$，C错误；
4. 分析选项D：当$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的$y$随$x$的增大而减小，本题$k=-1＜0$，符合该性质，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，正比例函数增减性
【点评】
本题是正比例函数的基础考查题，解题的核心是熟练掌握正比例函数的图象特点、增减性等核心性质，通过逐一排除错误选项即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.已知$M(-1,y_1),N(3,y_2)$是直线$y=kx(k＞0)$上的两个点,则$y_1,y_2$的大小关系是
$y_1＜y_2$
.答案
4.$y_1＜y_2$
解析
【分析】
这道题需要利用正比例函数的增减性判断函数值的大小关系。首先明确直线$y=kx(k＞0)$是正比例函数，回忆正比例函数的性质：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；接下来只需比较两个点的横坐标大小，就能对应推出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
解：
∵直线$y=kx$中$k＞0$，
∴该正比例函数的函数值$y$随$x$的增大而增大，
又
∵点$M(-1,y_1)$、$N(3,y_2)$在该直线上，且$-1＜3$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_2$
【知识点】
正比例函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查正比例函数中$k$的正负与函数增减性的对应关系，解题时先明确函数增减性，再比较自变量的大小即可快速得出函数值的大小关系。
【难度系数】
0.9
这道题需要利用正比例函数的增减性判断函数值的大小关系。首先明确直线$y=kx(k＞0)$是正比例函数，回忆正比例函数的性质：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；接下来只需比较两个点的横坐标大小，就能对应推出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
解：
∵直线$y=kx$中$k＞0$，
∴该正比例函数的函数值$y$随$x$的增大而增大，
又
∵点$M(-1,y_1)$、$N(3,y_2)$在该直线上，且$-1＜3$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_2$
【知识点】
正比例函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查正比例函数中$k$的正负与函数增减性的对应关系，解题时先明确函数增减性，再比较自变量的大小即可快速得出函数值的大小关系。
【难度系数】
0.9
5.若$y=(a-5)x+a^2-25$为正比例函数，则$a$的值为
一练一得
不要忽略“自变量前面的系数不为零”这个条件。
$-5$
。一练一得
不要忽略“自变量前面的系数不为零”这个条件。
答案
5.$-5$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，其核心特征有两个：一是不含常数项（即常数项为0），二是自变量$x$的系数不等于0。解题时我们先根据这两个特征列出关于$a$的方程和不等式，再分别求解后取公共解即可得到$a$的值。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得两个条件：
1. 常数项为0：$a^2 - 25 = 0$
2. 自变量系数不为0：$a - 5 ≠ 0$
先解第一个方程：
$a^2 - 25 = 0$
$a^2 = 25$
解得 $a = 5$ 或 $a = -5$
再结合第二个条件$a - 5 ≠ 0$，即$a ≠ 5$，因此排除$a=5$的情况。
综上，$a = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
正比例函数的定义、解一元二次方程、解一元一次不等式
【点评】
本题考查正比例函数定义的应用，属于基础易错题，解题时极易忽略“自变量系数不为0”的隐含条件，误将$a=5$作为答案，因此求解这类定义类问题时一定要把所有限制条件都考虑完整。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，其核心特征有两个：一是不含常数项（即常数项为0），二是自变量$x$的系数不等于0。解题时我们先根据这两个特征列出关于$a$的方程和不等式，再分别求解后取公共解即可得到$a$的值。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得两个条件：
1. 常数项为0：$a^2 - 25 = 0$
2. 自变量系数不为0：$a - 5 ≠ 0$
先解第一个方程：
$a^2 - 25 = 0$
$a^2 = 25$
解得 $a = 5$ 或 $a = -5$
再结合第二个条件$a - 5 ≠ 0$，即$a ≠ 5$，因此排除$a=5$的情况。
综上，$a = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
正比例函数的定义、解一元二次方程、解一元一次不等式
【点评】
本题考查正比例函数定义的应用，属于基础易错题，解题时极易忽略“自变量系数不为0”的隐含条件，误将$a=5$作为答案，因此求解这类定义类问题时一定要把所有限制条件都考虑完整。
【难度系数】
0.7
6.在同一平面直角坐标系中,画出函数$y=\frac{1}{2}x$和$y=-\frac{1}{2}x$的图象.
列表：
描点、连线：
数学
列表：
描点、连线：
数学
答案
6.解:列表：
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x & 0 & 2 \\\hline y=\dfrac{1}{2}x & 0 & 1 \\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|c|c|}\hline x & 0 & -2 \\\hline y=-\dfrac{1}{2}x & 0 & 1 \\\hline\end{array}$
描点、连线:如图所示.
解析
【分析】
要画正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的图象特征：正比例函数的图象是经过原点的直线，根据“两点确定一条直线”，仅需要找出函数上2个坐标为整数、计算简便的点，就可以画出对应图象。一般优先选取原点$(0,0)$，再选一个x为非0整数的点计算对应y值，之后按描点、连线的步骤完成作图即可。
【解析】
1. 列表：
对于函数$y=\frac{1}{2}x$，选取$x=0$和$x=2$代入解析式计算：
当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}×0=0$；当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2=1$。
对于函数$y=-\frac{1}{2}x$，选取$x=0$和$x=-2$代入解析式计算：
当$x=0$时，$y=-\frac{1}{2}×0=0$；当$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}×(-2)=1$。
2. 描点：在平面直角坐标系中，分别描出点$(0,0)$、$(2,1)$，以及点$(0,0)$、$(-2,1)$。
3. 连线：过$(0,0)$和$(2,1)$画直线，得到$y=\frac{1}{2}x$的图象；过$(0,0)$和$(-2,1)$画直线，得到$y=-\frac{1}{2}x$的图象。
【答案】
解:列表：
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x & 0 & 2 \\\hline y=\dfrac{1}{2}x & 0 & 1 \\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|c|c|}\hline x & 0 & -2 \\\hline y=-\dfrac{1}{2}x & 0 & 1 \\\hline\end{array}$
描点、连线:如图所示.
【知识点】
正比例函数的图象，描点法画函数图象
【点评】
本题是函数作图类基础题，核心考查正比例函数的图象特征和两点作图法，掌握“正比例函数图象是过原点的直线”这一性质，选取计算简便的整数点即可快速完成作图，是后续学习一次函数图象的重要基础。
【难度系数】
0.9
要画正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的图象特征：正比例函数的图象是经过原点的直线，根据“两点确定一条直线”，仅需要找出函数上2个坐标为整数、计算简便的点，就可以画出对应图象。一般优先选取原点$(0,0)$，再选一个x为非0整数的点计算对应y值，之后按描点、连线的步骤完成作图即可。
【解析】
1. 列表：
对于函数$y=\frac{1}{2}x$，选取$x=0$和$x=2$代入解析式计算：
当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}×0=0$；当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2=1$。
对于函数$y=-\frac{1}{2}x$，选取$x=0$和$x=-2$代入解析式计算：
当$x=0$时，$y=-\frac{1}{2}×0=0$；当$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}×(-2)=1$。
2. 描点：在平面直角坐标系中，分别描出点$(0,0)$、$(2,1)$，以及点$(0,0)$、$(-2,1)$。
3. 连线：过$(0,0)$和$(2,1)$画直线，得到$y=\frac{1}{2}x$的图象；过$(0,0)$和$(-2,1)$画直线，得到$y=-\frac{1}{2}x$的图象。
【答案】
解:列表：
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x & 0 & 2 \\\hline y=\dfrac{1}{2}x & 0 & 1 \\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|c|c|}\hline x & 0 & -2 \\\hline y=-\dfrac{1}{2}x & 0 & 1 \\\hline\end{array}$
描点、连线:如图所示.
【知识点】
正比例函数的图象，描点法画函数图象
【点评】
本题是函数作图类基础题，核心考查正比例函数的图象特征和两点作图法，掌握“正比例函数图象是过原点的直线”这一性质，选取计算简便的整数点即可快速完成作图，是后续学习一次函数图象的重要基础。
【难度系数】
0.9
