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9.如图7,正方形ABCD的边长为4,MN//BC,分别交AB,CD于点M,N,在MN上任取两点P,Q,那么图中阴影部分的面积是
图7 图8
8
. 图7 图8
答案
9.8
解析
【分析】
解题时不要被“MN上任意取两点P、Q”的条件干扰，首先观察到MN平行于BC，将正方形分为上下两个矩形。每个矩形内的阴影部分都是若干个同底的三角形，这些三角形的高之和刚好等于对应矩形的竖直边长，根据三角形面积公式，同底三角形的面积和等于底乘总高的一半，因此每个矩形内的阴影面积都是对应矩形面积的一半，总的阴影面积就是正方形面积的一半，代入数据计算即可。
【解析】
解：正方形ABCD的边长为4，因此正方形的面积为：
$S_{正方形}=4×4=16$
∵$MN// BC$，
∴MN把正方形分为上下两个矩形，设上方矩形的竖直高度为$h_1$，下方矩形的竖直高度为$h_2$，则$h_1+h_2=4$。
上方矩形内的阴影部分均为底长等于正方形边长4的三角形，高的总和为$h_1$，因此上方阴影总面积：
$S_1=\frac{1}{2}×4× h_1=2h_1$
同理，下方矩形内的阴影总面积：
$S_2=\frac{1}{2}×4× h_2=2h_2$
阴影部分总面为：
$S_{阴}=S_1+S_2=2h_1+2h_2=2(h_1+h_2)=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
正方形面积计算，三角形面积公式，割补法求面积
【点评】
本题是巧算面积的典型题型，核心是将阴影部分拆分转化，利用三角形和矩形的面积关系整体求解，不需要单独计算每个小阴影的面积，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时不要被“MN上任意取两点P、Q”的条件干扰，首先观察到MN平行于BC，将正方形分为上下两个矩形。每个矩形内的阴影部分都是若干个同底的三角形，这些三角形的高之和刚好等于对应矩形的竖直边长，根据三角形面积公式，同底三角形的面积和等于底乘总高的一半，因此每个矩形内的阴影面积都是对应矩形面积的一半，总的阴影面积就是正方形面积的一半，代入数据计算即可。
【解析】
解：正方形ABCD的边长为4，因此正方形的面积为：
$S_{正方形}=4×4=16$
∵$MN// BC$，
∴MN把正方形分为上下两个矩形，设上方矩形的竖直高度为$h_1$，下方矩形的竖直高度为$h_2$，则$h_1+h_2=4$。
上方矩形内的阴影部分均为底长等于正方形边长4的三角形，高的总和为$h_1$，因此上方阴影总面积：
$S_1=\frac{1}{2}×4× h_1=2h_1$
同理，下方矩形内的阴影总面积：
$S_2=\frac{1}{2}×4× h_2=2h_2$
阴影部分总面为：
$S_{阴}=S_1+S_2=2h_1+2h_2=2(h_1+h_2)=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
正方形面积计算，三角形面积公式，割补法求面积
【点评】
本题是巧算面积的典型题型，核心是将阴影部分拆分转化，利用三角形和矩形的面积关系整体求解，不需要单独计算每个小阴影的面积，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
10.如图8所示，P是正方形对角线AC上一点，过点P分别作两组对边的垂线，将正方形分为两个小正方形和两个矩形.如果正方形ABCD的周长为16，那么图中两个小正方形的周长之和是
16
.答案
10.16
解析
【分析】
解题时首先从已知的大正方形周长出发，先求出大正方形的边长；再观察图形特征，结合正方形对角线的性质，可发现两个小正方形的边长之和恰好等于大正方形的边长；最后将两个小正方形的周长和转化为与大正方形边长相关的式子，代入计算即可得到结果，无需单独求出每个小正方形的边长。
【解析】
解：已知正方形ABCD的周长为16，
∴ 正方形ABCD的边长为 $16÷4=4$。
设左上角小正方形的边长为$a$，右下角小正方形的边长为$b$，
由正方形对角线平分直角的性质可知，$a + b = 正方形ABCD的边长 = 4$。
两个小正方形的周长之和为：
$4a + 4b = 4(a + b) = 4×4 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
正方形的性质、周长计算、等量代换
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用正方形的性质找到两个小正方形边长和与大正方形边长的等量关系，运用转化思想简化计算，避免了分别求解两个小正方形边长的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的大正方形周长出发，先求出大正方形的边长；再观察图形特征，结合正方形对角线的性质，可发现两个小正方形的边长之和恰好等于大正方形的边长；最后将两个小正方形的周长和转化为与大正方形边长相关的式子，代入计算即可得到结果，无需单独求出每个小正方形的边长。
【解析】
解：已知正方形ABCD的周长为16，
∴ 正方形ABCD的边长为 $16÷4=4$。
设左上角小正方形的边长为$a$，右下角小正方形的边长为$b$，
由正方形对角线平分直角的性质可知，$a + b = 正方形ABCD的边长 = 4$。
两个小正方形的周长之和为：
$4a + 4b = 4(a + b) = 4×4 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
正方形的性质、周长计算、等量代换
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用正方形的性质找到两个小正方形边长和与大正方形边长的等量关系，运用转化思想简化计算，避免了分别求解两个小正方形边长的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
11.如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为一边向外作等边三角形ACD,E为AB的中点,连接DE.求证:DE//CB.
答案
11.提示:连接CE,证△ADE≌△CDE.
解析
【分析】
要证明DE//CB，已知∠ACB=90°即CB⊥AC，因此只需证明DE⊥AC，即可根据“同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”得到结论。首先结合直角三角形斜边中点的性质，连接CE可得CE=AE；再结合等边△ACD的边AD=CD，借助公共边DE即可证明△ADE≌△CDE，得到DE平分∠ADC，最后利用等边三角形三线合一的性质推出DE⊥AC，即可完成证明。
【解析】
证明：连接CE。
1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CE = AE = \frac{1}{2}AB$
2.
∵△ACD是等边三角形，
∴$AD = CD$
3. 在△ADE和△CDE中：
$\begin{cases}AD = CD\\AE = CE\\DE = DE\end{cases}$
∴△ADE ≌ △CDE（SSS）
4.
∴∠ADE = ∠CDE，即DE平分∠ADC
∵△ACD为等边三角形，根据等腰（等边）三角形三线合一的性质，可得$DE⊥AC$
5. 又
∵∠ACB=90°，即$CB⊥AC$
∴DE与CB都垂直于AC，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$DE// CB$。
【答案】
$DE// CB$，得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，全等三角形判定，平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过连接CE构造全等三角形，将等边三角形、直角三角形的性质与全等三角形、平行线的判定结合考查，能够锻炼学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明DE//CB，已知∠ACB=90°即CB⊥AC，因此只需证明DE⊥AC，即可根据“同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”得到结论。首先结合直角三角形斜边中点的性质，连接CE可得CE=AE；再结合等边△ACD的边AD=CD，借助公共边DE即可证明△ADE≌△CDE，得到DE平分∠ADC，最后利用等边三角形三线合一的性质推出DE⊥AC，即可完成证明。
【解析】
证明：连接CE。
1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CE = AE = \frac{1}{2}AB$
2.
∵△ACD是等边三角形，
∴$AD = CD$
3. 在△ADE和△CDE中：
$\begin{cases}AD = CD\\AE = CE\\DE = DE\end{cases}$
∴△ADE ≌ △CDE（SSS）
4.
∴∠ADE = ∠CDE，即DE平分∠ADC
∵△ACD为等边三角形，根据等腰（等边）三角形三线合一的性质，可得$DE⊥AC$
5. 又
∵∠ACB=90°，即$CB⊥AC$
∴DE与CB都垂直于AC，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$DE// CB$。
【答案】
$DE// CB$，得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，全等三角形判定，平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过连接CE构造全等三角形，将等边三角形、直角三角形的性质与全等三角形、平行线的判定结合考查，能够锻炼学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图10，在$△ ABC$中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作$AF // BC$，AF与CE的延长线交于点F，连接BF.
(1)求证：四边形AFBD是平行四边形.
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由.
(1)求证：四边形AFBD是平行四边形.
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由.
答案
12.(1)略 (2)∠BAC=90°,理由略.
解析
【分析】
(1) 要证四边形AFBD是平行四边形，已知AF//BC，只需证明AF=BD即可。首先利用E是AD中点、AF//BC的条件证明△AEF和△DEC全等，得到AF=DC，再结合D是BC中点推出BD=DC，等量代换得AF=BD，结合AF//BD即可完成证明。
(2) 平行四边形变为菱形需要邻边相等，即AD=BD。结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知当△ABC为直角三角形且∠BAC=90°时，AD=BD，即可推出平行四边形AFBD是菱形。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AF // BC$，
∴ $∠ AFE = ∠ DCE$（两直线平行，内错角相等），
∵ E是AD的中点，
∴ $AE = DE$，
在$△ AEF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ AFE = ∠ DCE \\∠ AEF = ∠ DEC \mathrm{（对顶角相等）} \\AE = DE\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ DEC$（AAS），
∴ $AF = DC$，
∵ D是BC的中点，
∴ $BD = DC$，
∴ $AF = BD$，
又
∵ $AF // BD$，
∴ 四边形AFBD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 当$△ ABC$满足$∠ BAC=90°$时，四边形AFBD是菱形，理由如下：
∵ $∠ BAC=90°$，D是BC的中点，
∴ $AD = BD = \frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
由(1)已证四边形AFBD是平行四边形，
∴ 平行四边形AFBD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1) 四边形AFBD是平行四边形，证明见上述过程；
(2) 当$∠ BAC=90°$时，四边形AFBD是菱形，理由见上述过程。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考察了全等三角形、特殊四边形的判定，以及直角三角形的性质，解题时需要紧扣各类图形的判定定理，从已知条件出发逐步推导，是对基础几何逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形AFBD是平行四边形，已知AF//BC，只需证明AF=BD即可。首先利用E是AD中点、AF//BC的条件证明△AEF和△DEC全等，得到AF=DC，再结合D是BC中点推出BD=DC，等量代换得AF=BD，结合AF//BD即可完成证明。
(2) 平行四边形变为菱形需要邻边相等，即AD=BD。结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知当△ABC为直角三角形且∠BAC=90°时，AD=BD，即可推出平行四边形AFBD是菱形。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AF // BC$，
∴ $∠ AFE = ∠ DCE$（两直线平行，内错角相等），
∵ E是AD的中点，
∴ $AE = DE$，
在$△ AEF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ AFE = ∠ DCE \\∠ AEF = ∠ DEC \mathrm{（对顶角相等）} \\AE = DE\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ DEC$（AAS），
∴ $AF = DC$，
∵ D是BC的中点，
∴ $BD = DC$，
∴ $AF = BD$，
又
∵ $AF // BD$，
∴ 四边形AFBD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 当$△ ABC$满足$∠ BAC=90°$时，四边形AFBD是菱形，理由如下：
∵ $∠ BAC=90°$，D是BC的中点，
∴ $AD = BD = \frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
由(1)已证四边形AFBD是平行四边形，
∴ 平行四边形AFBD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1) 四边形AFBD是平行四边形，证明见上述过程；
(2) 当$∠ BAC=90°$时，四边形AFBD是菱形，理由见上述过程。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考察了全等三角形、特殊四边形的判定，以及直角三角形的性质，解题时需要紧扣各类图形的判定定理，从已知条件出发逐步推导，是对基础几何逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.7
13.如图11,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q运动的速度都是1 cm/s,连接PQ,AQ,CP,设点P,Q运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形?
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形?
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.
答案
13.(1)t=4
(2)t=3
(3)周长:20 cm;面积:20 cm².
(2)t=3
(3)周长:20 cm;面积:20 cm².
解析
【分析】
本题是矩形背景下的动点问题，需结合特殊四边形的判定定理，用含t的代数式表示各线段长度，再根据对应图形的判定条件列方程求解。(1)问中四边形ABQP已有一组对边平行且有直角，只需满足对边相等即可判定为矩形；(2)问先判断四边形AQCP恒为平行四边形，只需满足邻边相等即可判定为菱形，结合勾股定理列方程即可求解；(3)问求出菱形边长后，直接用周长和面积公式计算即可。
【解析】
解：由题意得，运动时间为t s时，$PD=BQ=t\ \mathrm{cm}$，$AP=AD-PD=(8-t)\ \mathrm{cm}$，$QC=BC-BQ=(8-t)\ \mathrm{cm}$。
(1) 要使四边形ABQP是矩形：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，$AD// BC$，即$AP// BQ$，
∴当$AP=BQ$时，四边形ABQP是平行四边形，结合$∠ B=90°$，此时平行四边形ABQP为矩形，
列方程：$8-t=t$，
解得$t=4$。
(2) 要使四边形AQCP是菱形：
∵$AP=8-t$，$QC=8-t$，且$AP// QC$，
∴四边形AQCP始终是平行四边形，
当邻边$AQ=CQ$时，平行四边形AQCP为菱形，
在$\mathrm{Rt}△ ABQ$中，由勾股定理得$AQ=\sqrt{AB^2+BQ^2}=\sqrt{4^2+t^2}=\sqrt{16+t^2}$，$CQ=8-t$，
列方程：$\sqrt{16+t^2}=8-t$，
两边平方得：$16+t^2=64-16t+t^2$，
化简得$16t=48$，
解得$t=3$，经检验$t=3$是原方程的解，符合题意。
(3) 当$t=3$时，菱形AQCP的边长$CQ=8-3=5\ \mathrm{cm}$，
周长：$4×5=20\ \mathrm{cm}$，
面积：$\mathrm{底}×\mathrm{高}=CQ× AB=5×4=20\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)$t=4$；
(2)$t=3$；
(3)周长为$20\ \mathrm{cm}$，面积为$20\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
矩形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理的应用
【点评】
本题属于动点与特殊四边形结合的常规题型，解题核心是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，结合特殊四边形的判定条件建立方程求解，计算菱形面积时选择底乘高的方法更简便。
【难度系数】
0.65
本题是矩形背景下的动点问题，需结合特殊四边形的判定定理，用含t的代数式表示各线段长度，再根据对应图形的判定条件列方程求解。(1)问中四边形ABQP已有一组对边平行且有直角，只需满足对边相等即可判定为矩形；(2)问先判断四边形AQCP恒为平行四边形，只需满足邻边相等即可判定为菱形，结合勾股定理列方程即可求解；(3)问求出菱形边长后，直接用周长和面积公式计算即可。
【解析】
解：由题意得，运动时间为t s时，$PD=BQ=t\ \mathrm{cm}$，$AP=AD-PD=(8-t)\ \mathrm{cm}$，$QC=BC-BQ=(8-t)\ \mathrm{cm}$。
(1) 要使四边形ABQP是矩形：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，$AD// BC$，即$AP// BQ$，
∴当$AP=BQ$时，四边形ABQP是平行四边形，结合$∠ B=90°$，此时平行四边形ABQP为矩形，
列方程：$8-t=t$，
解得$t=4$。
(2) 要使四边形AQCP是菱形：
∵$AP=8-t$，$QC=8-t$，且$AP// QC$，
∴四边形AQCP始终是平行四边形，
当邻边$AQ=CQ$时，平行四边形AQCP为菱形，
在$\mathrm{Rt}△ ABQ$中，由勾股定理得$AQ=\sqrt{AB^2+BQ^2}=\sqrt{4^2+t^2}=\sqrt{16+t^2}$，$CQ=8-t$，
列方程：$\sqrt{16+t^2}=8-t$，
两边平方得：$16+t^2=64-16t+t^2$，
化简得$16t=48$，
解得$t=3$，经检验$t=3$是原方程的解，符合题意。
(3) 当$t=3$时，菱形AQCP的边长$CQ=8-3=5\ \mathrm{cm}$，
周长：$4×5=20\ \mathrm{cm}$，
面积：$\mathrm{底}×\mathrm{高}=CQ× AB=5×4=20\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)$t=4$；
(2)$t=3$；
(3)周长为$20\ \mathrm{cm}$，面积为$20\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
矩形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理的应用
【点评】
本题属于动点与特殊四边形结合的常规题型，解题核心是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，结合特殊四边形的判定条件建立方程求解，计算菱形面积时选择底乘高的方法更简便。
【难度系数】
0.65
