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1 [2025 福建龙岩质检，中]规定一种运算：
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=2 × 5 - 3 × 4=-2$，则
$\begin{vmatrix} (-1)^{2023} & 4 \\ 1.25 & -2^3 \end{vmatrix}$的值为（ ）
A.1
B.3
C.-11
D.-13
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=2 × 5 - 3 × 4=-2$，则
$\begin{vmatrix} (-1)^{2023} & 4 \\ 1.25 & -2^3 \end{vmatrix}$的值为（ ）
A.1
B.3
C.-11
D.-13
答案
1.B 【解析】原式 $= (-1)^{2023} × (-2^3) - 4 × 1.25 = -1 × (-8) - 5 = 8 - 5 = 3$, 故选 B.
2 新考向传统文化 [2025江苏宿迁期中,中]根据我国古代《易经》记载,远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图,一人在从右到左依次排列的绳子上打结,满七进一,用来记录采集到的野果的个数.已知他一共采集到的野果数不少于75个,则他在第2根绳子上打结的可能情况有 
(
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
(C
)A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
2.C 【解析】根据题意,得 $\dfrac{75-(1×7^2+3)}{7} = 3······2$, 因此他在第 2 根绳子上打结的个数可以是 4,5,6,共 3 种可能的情况,故选 C.
3[2025浙江宁波期中,中]已知整数$a,b,c,c＜0$,且满足$|a|+10b^2 - 100c^3 = 2024$,则$a+b+c$的最小值为
-1925
.答案
3.-1925 【解析】因为 a,b,c 为整数,c＜0,且满足 $|a|+10b^2-100c^3=2024$,$a+b+c$ 取最小值,所以 c=-1,b=0,所以 $a=-(2024+100c^3-10b^2) = -[2024+100×(-1)^3-10×0] = -1924$, 所以 $a+b+c$ 的最小值为 $-1924+0+(-1) = -1925$. 故答案为 -1925.
4[中]计算：
(1)[2026江苏徐州期中]$-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2]$.
(2)$\frac{2004^3 - 2 × 2004^2 - 2002}{2004^3 + 2004^2 - 2005}$.
(1)[2026江苏徐州期中]$-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2]$.
(2)$\frac{2004^3 - 2 × 2004^2 - 2002}{2004^3 + 2004^2 - 2005}$.
答案
4.【解】(1) 原式 $= -1 - \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{3} × (2-9) = -1 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{1}{6}$.
(2) 原式 $= \dfrac{2004^2 × (2004-2) - 2002}{2004^2 × (2004+1) - 2005} = \dfrac{2002 × (2004^2 - 1)}{2005 × (2004^2 - 1)} = \dfrac{2002}{2005}$.
(2) 原式 $= \dfrac{2004^2 × (2004-2) - 2002}{2004^2 × (2004+1) - 2005} = \dfrac{2002 × (2004^2 - 1)}{2005 × (2004^2 - 1)} = \dfrac{2002}{2005}$.
5[2025安徽宣城期中,中]如图,将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分,部分①面积是正方形纸片面积的一半,部分②面积是部分①面积的一半,部分③面积是部分②面积的一半,…,依次类推,请回答下列问题.
(1)阴影部分的面积是
(2)以下是甲、乙两位同学求$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}$的方法.
甲:利用已给正方形的面积和阴影部分的面积得$S=1-S_{阴影}$；
乙:$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}$,① $2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$,② ②-①,得$S=1-\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$,所以S的值为$\frac{63}{64}$.请借助甲或乙同学的方法,求出$2+2^2+2^3+2^4+…+2^{99}$的值.
刷素养 走向重高
(1)阴影部分的面积是
$\dfrac{1}{64}$
.(2)以下是甲、乙两位同学求$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}$的方法.
甲:利用已给正方形的面积和阴影部分的面积得$S=1-S_{阴影}$；
乙:$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}$,① $2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$,② ②-①,得$S=1-\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$,所以S的值为$\frac{63}{64}$.请借助甲或乙同学的方法,求出$2+2^2+2^3+2^4+…+2^{99}$的值.
刷素养 走向重高
答案
5.【解】(1) 由题知,阴影部分的面积是 $1 × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{64}$. 故答案为 $\dfrac{1}{64}$.
(2) 借助乙同学的方法: 令 $T = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{99}$,① 则 $2T = 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{99} + 2^{100}$,② ②-①,得 $T = 2^{100} - 2$, 所以 $2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{99} = 2^{100} - 2$.(也可借助甲同学的方法解答)
(2) 借助乙同学的方法: 令 $T = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{99}$,① 则 $2T = 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{99} + 2^{100}$,② ②-①,得 $T = 2^{100} - 2$, 所以 $2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{99} = 2^{100} - 2$.(也可借助甲同学的方法解答)
6 核心素养运算能力 [2025湖北孝感期中,中]仔细观察下列式子的规律：
$2^2 - 2 = 2×(2 - 1) = 2$；
$2^3 - 2^2 = 2^2×(2 - 1) = 2^2$；
$2^4 - 2^3 = 2^3×(2 - 1) = 2^3$；
……
根据上述规律，完成以下题目（结果可以保留含指数的形式）：
(1)计算：$2^{100} - 2^{99} = $
(2)计算：$2 - 2^2 - 2^3 - 2^4 - … - 2^{2023} + 2^{2024}$。
$2^2 - 2 = 2×(2 - 1) = 2$；
$2^3 - 2^2 = 2^2×(2 - 1) = 2^2$；
$2^4 - 2^3 = 2^3×(2 - 1) = 2^3$；
……
根据上述规律，完成以下题目（结果可以保留含指数的形式）：
(1)计算：$2^{100} - 2^{99} = $
$2^{99}$
；(2)计算：$2 - 2^2 - 2^3 - 2^4 - … - 2^{2023} + 2^{2024}$。
答案
6.【解】(1)$2^{100} - 2^{99} = 2^{99} × (2-1) = 2^{99}$. 故答案为 $2^{99}$.
(2)$2 - 2^2 - 2^3 - 2^4 - … - 2^{2023} + 2^{2024} = 2^{2024} - 2^{2023} - 2^{2022} - … - 2^2 + 2 = 2^{2023} - 2^{2022} - … - 2^2 + 2 = 2^{2022} - 2^{2021} - … - 2^3 - 2^2 + 2 = 2^2 + 2 = 6$.
(2)$2 - 2^2 - 2^3 - 2^4 - … - 2^{2023} + 2^{2024} = 2^{2024} - 2^{2023} - 2^{2022} - … - 2^2 + 2 = 2^{2023} - 2^{2022} - … - 2^2 + 2 = 2^{2022} - 2^{2021} - … - 2^3 - 2^2 + 2 = 2^2 + 2 = 6$.
