如图,在矩形ABCD中,AB = 15 cm, AD=5 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到点B停止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动(当点P停止移动时,点Q也停止移动).设移动时间为t s.

(1)当t为何值时,△PBQ的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{3}$?

(1)由题意,得$AP=3t$ cm,$AB=15$ cm,$AD=5$ cm,
∴ $PB=(15-3t)$cm,
∴ $\frac{1}{2}×5×(15-3t)=\frac{1}{3}×15×5$,解得$t=\frac{5}{3}$,
∴ 当$t=\frac{5}{3}$时,$△PBQ$的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{3}$.

(2) 一题多解 当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？

(2)✅通解 当$PQ⊥AB$时,P,Q两点间的距离最小,此时$CQ=PB$,
∴ $2t=15-3t$,解得$t=3$,
∴ 当$t=3$时,PQ最小,即P,Q两点间的距离最小,最小距离是5 cm.
✅另解 由题意,得$PQ=\sqrt{5^2 + (15-3t-2t)^2}$.
∵ $5^2 + (15-5t)^2=25t^2 - 150t + 250=25(t-3)^2 + 25$,
且$25(t-3)^2 + 25 ≥ 25$,
∴ 当$t=3$时,$\sqrt{25(t-3)^2 + 25}$有最小值5,
即当$t=3$时,PQ有最小值,即P,Q两点间的距离最小,最小距离是5 cm.

(3) 教材练习变式 当$t$为何值时，点$P,Q$的距离是点$B,Q$距离的$\sqrt{5}$倍？
(4)在移动过程中，是否存在某一个时刻，使得$∠ PQB=90°$？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由.
(5)当$△ BPQ$为等腰三角形时，求出$t$的值.

(3)由题意,得$PQ=\sqrt{5}BQ$,
∴ $PQ^2=5BQ^2$.
∵ $PQ^2=5^2 + (15-5t)^2=25t^2 - 150t + 250$,
$BQ^2=5^2 + (2t)^2=4t^2 + 25$,
∴ $25t^2 - 150t + 250=5(4t^2 + 25)$,
整理,得$t^2 - 30t + 25=0$,
解得$t_1=15+10\sqrt{2}$(舍去),$t_2=15-10\sqrt{2}$,
∴ 当$t=15-10\sqrt{2}$时,点P,Q的距离是点B,Q距离的$\sqrt{5}$倍.
(4)不存在. 理由如下:
若$∠PQB=90°$,则有$PQ^2 + BQ^2=PB^2$,
即$(15-5t)^2 + 5^2 + (2t)^2=(15-3t)^2$,
化简得$2t^2 - 6t + 5=0$.
∵ $(-6)^2 - 4×2×5=-4 ＜ 0$,
∴ 此方程无实数解,
∴ 不存在某一个时刻,使得$∠PQB=90°$.
(5)如图,过点Q作$QM⊥AB$于点M,则$PM=|15-2t-3t|=|15-5t|$,$PQ^2=(15-5t)^2 + 5^2$.
当$PQ=PB$时,$(15-5t)^2 + 5^2=(15-3t)^2$,
解得$t=\frac{15±5\sqrt{5}}{8}$;
当$BQ=BP$时,$(2t)^2 + 5^2=(15-3t)^2$,
解得$t_1=9-\sqrt{41}$,$t_2=9+\sqrt{41}$(舍去);
当$PQ=BQ$时,点M为PB的中点,即$15-5t=2t$,解得$t=\frac{15}{7}$.
综上所述,当$△BPQ$为等腰三角形时,t的值为$\frac{15±5\sqrt{5}}{8}$,$9-\sqrt{41}$或$\frac{15}{7}$.