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7. 据调查，某家小型快递公司今年3月与5月完成投递的快件总数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递快件总数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递快件总数的月平均增长率.
(2)如果该公司平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件0.6万件，那么该公司现有的21名快件投递业务员能否完成今年6月的快件投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名快件投递业务员？
(1)求该快递公司投递快件总数的月平均增长率.
(2)如果该公司平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件0.6万件，那么该公司现有的21名快件投递业务员能否完成今年6月的快件投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名快件投递业务员？
答案
解:(1)设该快递公司投递快件总数的月平均增长率为x.
根据题意,得$10(1+x)^2=14.4$,
解得$x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
答:该快递公司投递快件总数的月平均增长率为20%.
(2)不能.
由题意知今年6月份的快件投递任务是$14.4×(1+20\%)=17.28$(万件).
∵ 平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件0.6万件,
$0.6×21=12.6$(万件),$12.6 ＜ 17.28$,
∴ 该公司现有的21名快件投递业务员不能完成今年6月的快件投递任务.
需要增加的快件投递业务员人数为$(17.28 - 12.6) ÷ 0.6 ≈ 8$.
答:该公司现有的21名快件投递业务员不能完成今年6月的快件投递任务,至少需要增加8名快件投递业务员.
根据题意,得$10(1+x)^2=14.4$,
解得$x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
答:该快递公司投递快件总数的月平均增长率为20%.
(2)不能.
由题意知今年6月份的快件投递任务是$14.4×(1+20\%)=17.28$(万件).
∵ 平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件0.6万件,
$0.6×21=12.6$(万件),$12.6 ＜ 17.28$,
∴ 该公司现有的21名快件投递业务员不能完成今年6月的快件投递任务.
需要增加的快件投递业务员人数为$(17.28 - 12.6) ÷ 0.6 ≈ 8$.
答:该公司现有的21名快件投递业务员不能完成今年6月的快件投递任务,至少需要增加8名快件投递业务员.
8. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y = -\dfrac{4}{3}x + 8$与x轴、y轴分别交于点A,C,点P从A点开始以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动,点Q从O点开始以每秒2个单位长度的速度沿y轴向上移动,如果P,Q两点同时出发,经过几秒钟,能使$△ POQ$的面积为8个平方单位长度?
答案
解:设经过$t(t＞0)$秒后,$△POQ$的面积为8个平方单位长度.
对于$y = -\frac{4}{3}x + 8$,令$y=0$,则$x=6$,即$A(6,0)$;
令$x=0$,则$y=8$,则$C(0,8)$.
当$t＜6$时,$OP=6-t$,$OQ=2t$,
$S_{△POQ}=\frac{1}{2}OP·OQ=\frac{1}{2}(6-t)·2t=8$,
解得$t_1=2$,$t_2=4$,
∴ 当t为2或4时,$△POQ$的面积为8个平方单位长度.
当$t＞6$时,$OP=t-6$,$OQ=2t$,
$S_{△POQ}=\frac{1}{2}OP·OQ=\frac{1}{2}(t-6)·2t=8$,
解得$t=3+\sqrt{17}$或$t=3-\sqrt{17}$(舍去),
∴ 当t为$3+\sqrt{17}$时,$△POQ$的面积为8个平方单位长度.
综上所述,经过2秒或4秒或$(3+\sqrt{17})$秒,$△POQ$的面积为8个平方单位长度.
对于$y = -\frac{4}{3}x + 8$,令$y=0$,则$x=6$,即$A(6,0)$;
令$x=0$,则$y=8$,则$C(0,8)$.
当$t＜6$时,$OP=6-t$,$OQ=2t$,
$S_{△POQ}=\frac{1}{2}OP·OQ=\frac{1}{2}(6-t)·2t=8$,
解得$t_1=2$,$t_2=4$,
∴ 当t为2或4时,$△POQ$的面积为8个平方单位长度.
当$t＞6$时,$OP=t-6$,$OQ=2t$,
$S_{△POQ}=\frac{1}{2}OP·OQ=\frac{1}{2}(t-6)·2t=8$,
解得$t=3+\sqrt{17}$或$t=3-\sqrt{17}$(舍去),
∴ 当t为$3+\sqrt{17}$时,$△POQ$的面积为8个平方单位长度.
综上所述,经过2秒或4秒或$(3+\sqrt{17})$秒,$△POQ$的面积为8个平方单位长度.
9. 几何直观 [2026 镇江丹徒区月考] 如图,在边长为12 cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.若点P,Q分别从点A,B同时出发,其中任意一点到达终点后,两点同时停止运动.
(1)经过6 s后,$BP =$
(2)经过几秒后,$△ BPQ$是直角三角形?
(3)经过几秒后,$△ BPQ$的面积等于$10\sqrt{3}$ cm²?
(1)经过6 s后,$BP =$
6
cm,$BQ =$ 12
cm.(2)经过几秒后,$△ BPQ$是直角三角形?
(3)经过几秒后,$△ BPQ$的面积等于$10\sqrt{3}$ cm²?
答案
(1)6 12
由题意,得$AP=6$ cm,$BQ=12$ cm.
∵ $△ABC$是等边三角形,
∴ $AB=BC=12$ cm,
∴ $BP=12-6=6(\mathrm{cm})$.
(2)设经过x s后,$△BPQ$是直角三角形.
则$AP=x$ cm,$BP=(12-x)$cm,$BQ=2x$ cm.
∵ $△ABC$是等边三角形,
∴ $AB=BC=12$ cm,$∠A=∠B=∠C=60°$.
当$∠PQB=90°$时,$∠BPQ=30°$,
∴ $BP=2BQ$,
∴ $12-x=2×2x$,
∴ $x=\frac{12}{5}$.
当$∠QPB=90°$时,$∠PQB=30°$,
∴ $BQ=2BP$,
∴ $2x=2(12-x)$,解得$x=6$.
答:经过$\frac{12}{5}$ s或6 s后,$△BPQ$是直角三角形.
(3)设经过y s后$△BPQ$的面积等于$10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.
如图,作$QD⊥AB$于点D,
∴ $∠QDB=90°$,
∴ $∠DQB=30°$,
∴ $DB=\frac{1}{2}BQ=y$ cm.
在$\mathrm{Rt}△DBQ$中,由勾股定理,得$DQ=\sqrt{3}y$ cm,
∴ $\frac{\sqrt{3}y(12-y)}{2}=10\sqrt{3}$,
解得$y_1=10$,$y_2=2$.
∵ $y=10$时,$2y＞12$,舍去,
∴ $y=2$.
答:经过2 s后,$△BPQ$的面积等于$10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.
