登录
1. [2025黑龙江龙东地区中考] 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具. 某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为 (
A.$8000(1+2x)=12000$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
B
)A.$8000(1+2x)=12000$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
答案
1.B
2.［2026南京一中模拟］某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是
20%
.答案
设这两年平均每年绿地面积的增长率为x. 根据题意,得$(1+x)^2 = 1 + 44\%$,解得$x_1 = -2.2$(舍去),$x_2 = 0.2$,所以这两年平均每年绿地面积的增长率为20%.
3. [2026苏州星湾学校月考]某超市购进甲、乙两种商品,2024年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2026年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品2024年至2026年每件进价的年平均下降率;
(2)2026年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品2024年至2026年每件进价的年平均下降率;
(2)2026年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
答案
解:(1)设乙种商品2024年至2026年每件进价的年平均下降率为x.
根据题意,得$125(1-x)^2 = 80$,
解得$x_1 = 0.2$,$x_2 = 1.8$(不合题意,舍去),
答:乙种商品2024年至2026年每件进价的年平均下降率为20%.
(2)设购进y件甲种商品,则购进$(100-y)$件乙种商品,
根据题意,得$(125 - 25×2)y + 80(100 - y) ≤ 7\ 800$,
解得$y ≥ 40$,
∴ y的最小值为40.
答:最少购进40件甲种商品.
根据题意,得$125(1-x)^2 = 80$,
解得$x_1 = 0.2$,$x_2 = 1.8$(不合题意,舍去),
答:乙种商品2024年至2026年每件进价的年平均下降率为20%.
(2)设购进y件甲种商品,则购进$(100-y)$件乙种商品,
根据题意,得$(125 - 25×2)y + 80(100 - y) ≤ 7\ 800$,
解得$y ≥ 40$,
∴ y的最小值为40.
答:最少购进40件甲种商品.
4. 一题多解 教材复习题变式 一个直角三角形的斜边长是$2\sqrt{5}$ cm,两条直角边长的和是6 cm,则这个直角三角形的面积为
4
cm².答案
✅通解 设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为$(6-x)$cm. 由勾股定理,得$x^2 + (6-x)^2 = (2\sqrt{5})^2$,解得$x_1=2$,$x_2=4$. 当$x=2$时,$6-x=4$;当$x=4$时,$6-x=2$,
∴ 这个直角三角形的两条直角边长分别为2 cm,4 cm,
∴ 这个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×2×4=4(\mathrm{cm}^2)$.
✅另解 设两条直角边长分别为a cm,b cm,则$a+b=6$,$a^2 + b^2=(2\sqrt{5})^2=20$,
∴ $2ab=(a+b)^2 - (a^2 + b^2)=6^2 - 20=16$,
∴ $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}×16=4$,即这个直角三角形的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$.
∴ 这个直角三角形的两条直角边长分别为2 cm,4 cm,
∴ 这个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×2×4=4(\mathrm{cm}^2)$.
✅另解 设两条直角边长分别为a cm,b cm,则$a+b=6$,$a^2 + b^2=(2\sqrt{5})^2=20$,
∴ $2ab=(a+b)^2 - (a^2 + b^2)=6^2 - 20=16$,
∴ $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}×16=4$,即这个直角三角形的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$.
5. [2025无锡外国语学校期中]如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为1 cm²,则它移动的距离AA'等于 (
A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
B
)A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
答案
设AC交A'B'于H.
∵ $∠A=45°$,$∠D=90°$,
∴ $△A'HA$是等腰直角三角形. 设$AA' = x$ cm,则阴影部分的底长为x cm,则高$A'D=(2-x)$cm. 根据题意,得$x(2-x)=1$,解得$x_1=x_2=1$,即$AA'=1$ cm.
∵ $∠A=45°$,$∠D=90°$,
∴ $△A'HA$是等腰直角三角形. 设$AA' = x$ cm,则阴影部分的底长为x cm,则高$A'D=(2-x)$cm. 根据题意,得$x(2-x)=1$,解得$x_1=x_2=1$,即$AA'=1$ cm.
6. 教材练习变式 [2026 徐州睢宁月考] 如图,在矩形ABCD中,AB=5 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度运动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度运动,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为t s.
(1)在运动过程中,当t为何值时,PQ的长度等于5 cm?
(2)连接PC,是否存在t的值,使得△PQC的面积等于8 cm²?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(1)在运动过程中,当t为何值时,PQ的长度等于5 cm?
(2)连接PC,是否存在t的值,使得△PQC的面积等于8 cm²?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)由题意,得$BQ=2t$ cm,$AP=t$ cm,
∴ $PB=AB-AP=(5-t)$cm.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ $∠B=90°$.
在$\mathrm{Rt}△PBQ$中,由勾股定理,得$PQ^2=PB^2 + BQ^2$,
∴ $(5-t)^2 + (2t)^2 = 5^2$,
解得$t_1=0$(舍去),$t_2=2$,
∴ 当$t=2$时,PQ的长度等于5 cm.
(2)由题意,得$CQ=BC-BQ=(6-2t)$cm.
∵ $△PQC$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$,
∴ $\frac{1}{2}CQ·PB=8$,
∴ $\frac{1}{2}(6-2t)(5-t)=8$,
∴ $t=1$或$t=7$(舍去),
∴ 当$t=1$时,$△PQC$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$.
∴ $PB=AB-AP=(5-t)$cm.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ $∠B=90°$.
在$\mathrm{Rt}△PBQ$中,由勾股定理,得$PQ^2=PB^2 + BQ^2$,
∴ $(5-t)^2 + (2t)^2 = 5^2$,
解得$t_1=0$(舍去),$t_2=2$,
∴ 当$t=2$时,PQ的长度等于5 cm.
(2)由题意,得$CQ=BC-BQ=(6-2t)$cm.
∵ $△PQC$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$,
∴ $\frac{1}{2}CQ·PB=8$,
∴ $\frac{1}{2}(6-2t)(5-t)=8$,
∴ $t=1$或$t=7$(舍去),
∴ 当$t=1$时,$△PQC$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$.
