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7 如图,在方格纸中,点 P,Q,M 的坐标分别记为(0,2),(3,0),(1,4).若 MN//PQ,则点 N 的坐标可能是（
A.(2,3)
B.(3,3)
C.(4,2)
D.(5,1)
C
）A.(2,3)
B.(3,3)
C.(4,2)
D.(5,1)
答案
7. C
解析
【分析】
本题考查平移与坐标变化的相关知识，解题思路如下：根据平移的性质，平移后的线段与原线段平行且相等，我们可以先计算点P平移到点M的坐标变化规律，再将点Q按照相同规律平移，就能得到符合MN//PQ要求的点N坐标；也可以先求出PQ的横纵坐标变化比例，再逐一验证选项找到匹配的点。
【解析】
根据平移的性质可知：线段平移后与原线段平行且相等，若PQ平移后得到MN，即点P对应点M，点Q对应点N。
第一步：计算P到M的坐标变化量
已知P(0,2)，M(1,4)：
横坐标变化：$1 - 0 = 1$（即向右平移1个单位）
纵坐标变化：$4 - 2 = 2$（即向上平移2个单位）
第二步：按相同规律平移Q得到N
已知Q(3,0)，按向右平移1个单位、向上平移2个单位的规律计算N的坐标：
横坐标：$3 + 1 = 4$
纵坐标：$0 + 2 = 2$
即点N的坐标为(4,2)，对应选项C。
也可逐一验证其余选项，均不符合MN与PQ坐标变化比例一致的要求。
【答案】
C
【知识点】
平移的坐标变化规律、平行线段的性质、点的坐标计算
【点评】
本题是平移坐标变化的基础应用题，解题核心是理解平移前后对应线段平行的性质，掌握坐标平移“左减右加、上加下减”的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查平移与坐标变化的相关知识，解题思路如下：根据平移的性质，平移后的线段与原线段平行且相等，我们可以先计算点P平移到点M的坐标变化规律，再将点Q按照相同规律平移，就能得到符合MN//PQ要求的点N坐标；也可以先求出PQ的横纵坐标变化比例，再逐一验证选项找到匹配的点。
【解析】
根据平移的性质可知：线段平移后与原线段平行且相等，若PQ平移后得到MN，即点P对应点M，点Q对应点N。
第一步：计算P到M的坐标变化量
已知P(0,2)，M(1,4)：
横坐标变化：$1 - 0 = 1$（即向右平移1个单位）
纵坐标变化：$4 - 2 = 2$（即向上平移2个单位）
第二步：按相同规律平移Q得到N
已知Q(3,0)，按向右平移1个单位、向上平移2个单位的规律计算N的坐标：
横坐标：$3 + 1 = 4$
纵坐标：$0 + 2 = 2$
即点N的坐标为(4,2)，对应选项C。
也可逐一验证其余选项，均不符合MN与PQ坐标变化比例一致的要求。
【答案】
C
【知识点】
平移的坐标变化规律、平行线段的性质、点的坐标计算
【点评】
本题是平移坐标变化的基础应用题，解题核心是理解平移前后对应线段平行的性质，掌握坐标平移“左减右加、上加下减”的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8 如图,点A,B的坐标分别是$(-3,1),(-1,-2)$.若将线段AB平移至$A_1B_1$的位置,点$A_1,B_1$的坐标分别是$(m,4)$和$(3,n)$,则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（
A.18
B.20
C.28
D.36
A
）A.18
B.20
C.28
D.36
答案
8. A
解析
【分析】
首先利用平移的核心性质：图形平移时，所有点的横坐标变化量、纵坐标变化量均完全相等。先通过B点平移前后的横坐标求出横向平移距离Δx，通过A点平移前后的纵坐标求出纵向平移距离Δy，得到A₁、B₁的完整坐标。再明确线段平移扫过的图形是平行四边形ABB₁A₁，用八年级常用的割补法计算该平行四边形的面积即可。
【解析】
1. 求平移的坐标变化量
设平移过程中横坐标变化量为Δx，纵坐标变化量为Δy。
由点B(-1,-2)平移后得到B₁(3,n)，可得Δx=3-(-1)=4，即线段向右平移4个单位；
由点A(-3,1)平移后得到A₁(m,4)，可得Δy=4-1=3，即线段向上平移3个单位。
因此可求得：
m=-3+Δx=-3+4=1，n=-2+Δy=-2+3=1，即A₁(1,4)，B₁(3,1)。
2. 计算扫过的平行四边形面积
采用割补法：作包围A(-3,1)、B(-1,-2)、B₁(3,1)、A₁(1,4)四个点的矩形，矩形x的范围为-3~3，长为6；y的范围为-2~4，宽为6，矩形总面积=6×6=36。
再减去矩形内平行四边形外的4个直角三角形面积：
① 左下角三角形（顶点为A、B、(-3,-2)）：面积=½×2×3=3
② 右下角三角形（顶点为B、B₁、(3,-2)）：面积=½×4×3=6
③ 右上角三角形（顶点为A₁、B₁、(3,4)）：面积=½×2×3=3
④ 左上角三角形（顶点为A、A₁、(-3,4)）：面积=½×4×3=6
四个三角形总面积=3+6+3+6=18，因此平行四边形面积=36-18=18，即线段AB扫过的图形面积为18。
【答案】
A
【知识点】
平移的坐标规律，割补法求面积，平行四边形面积计算
【点评】
本题是平移相关的典型考题，解题核心是先根据平移前后点的坐标确定平移规律，再灵活选择割补法计算不规则图形的面积，要求熟练掌握平移的基本性质。
【难度系数】
0.7
首先利用平移的核心性质：图形平移时，所有点的横坐标变化量、纵坐标变化量均完全相等。先通过B点平移前后的横坐标求出横向平移距离Δx，通过A点平移前后的纵坐标求出纵向平移距离Δy，得到A₁、B₁的完整坐标。再明确线段平移扫过的图形是平行四边形ABB₁A₁，用八年级常用的割补法计算该平行四边形的面积即可。
【解析】
1. 求平移的坐标变化量
设平移过程中横坐标变化量为Δx，纵坐标变化量为Δy。
由点B(-1,-2)平移后得到B₁(3,n)，可得Δx=3-(-1)=4，即线段向右平移4个单位；
由点A(-3,1)平移后得到A₁(m,4)，可得Δy=4-1=3，即线段向上平移3个单位。
因此可求得：
m=-3+Δx=-3+4=1，n=-2+Δy=-2+3=1，即A₁(1,4)，B₁(3,1)。
2. 计算扫过的平行四边形面积
采用割补法：作包围A(-3,1)、B(-1,-2)、B₁(3,1)、A₁(1,4)四个点的矩形，矩形x的范围为-3~3，长为6；y的范围为-2~4，宽为6，矩形总面积=6×6=36。
再减去矩形内平行四边形外的4个直角三角形面积：
① 左下角三角形（顶点为A、B、(-3,-2)）：面积=½×2×3=3
② 右下角三角形（顶点为B、B₁、(3,-2)）：面积=½×4×3=6
③ 右上角三角形（顶点为A₁、B₁、(3,4)）：面积=½×2×3=3
④ 左上角三角形（顶点为A、A₁、(-3,4)）：面积=½×4×3=6
四个三角形总面积=3+6+3+6=18，因此平行四边形面积=36-18=18，即线段AB扫过的图形面积为18。
【答案】
A
【知识点】
平移的坐标规律，割补法求面积，平行四边形面积计算
【点评】
本题是平移相关的典型考题，解题核心是先根据平移前后点的坐标确定平移规律，再灵活选择割补法计算不规则图形的面积，要求熟练掌握平移的基本性质。
【难度系数】
0.7
9 [2025辽宁]在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到线段CD，点A(3,0)的对应点C的坐标为(3,5)，则点B(2,-2)的对应点D的坐标为
(2,3)
。答案
9. (2,3)
解析
【分析】
本题考查平移过程中的坐标变化规律，解题思路如下：首先根据平移的性质，平移前后对应点的平移方向和距离完全相同，所以先通过已知对应点A、C的坐标计算出平移的坐标变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出对应点D的坐标。
【解析】
∵线段AB平移得到线段CD，平移过程中所有点的坐标变化规律一致
∴先计算平移的坐标变化量：
横坐标变化量：$ \Delta x = x_C - x_A = 3 - 3 = 0 $
纵坐标变化量：$ \Delta y = y_C - y_A = 5 - 0 = 5 $
即平移规律为：横坐标不变，纵坐标加5
∴点B(2,-2)的对应点D的坐标为：
横坐标：$ 2 + 0 = 2 $
纵坐标：$ -2 + 5 = 3 $
即D的坐标为(2,3)
【答案】
(2,3)
【知识点】
平移的坐标性质
【点评】
本题是平移坐标变化的基础题型，解题核心是抓住平移前后对应点的坐标变化量完全相同的特点，只要掌握平移的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查平移过程中的坐标变化规律，解题思路如下：首先根据平移的性质，平移前后对应点的平移方向和距离完全相同，所以先通过已知对应点A、C的坐标计算出平移的坐标变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出对应点D的坐标。
【解析】
∵线段AB平移得到线段CD，平移过程中所有点的坐标变化规律一致
∴先计算平移的坐标变化量：
横坐标变化量：$ \Delta x = x_C - x_A = 3 - 3 = 0 $
纵坐标变化量：$ \Delta y = y_C - y_A = 5 - 0 = 5 $
即平移规律为：横坐标不变，纵坐标加5
∴点B(2,-2)的对应点D的坐标为：
横坐标：$ 2 + 0 = 2 $
纵坐标：$ -2 + 5 = 3 $
即D的坐标为(2,3)
【答案】
(2,3)
【知识点】
平移的坐标性质
【点评】
本题是平移坐标变化的基础题型，解题核心是抓住平移前后对应点的坐标变化量完全相同的特点，只要掌握平移的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10 如图，△ABC中任意一点P(m,n)经平移后对应点为Q(m+4,n+2)，△ABC经过同样的平移得到△DEF，点A,B,C的对应点分别是D,E,F.
（1）求点D,E,F的坐标；
（2）连接OD，请在x轴上找一点G，使得△DOG的面积为4，求满足条件的点G的坐标.
（1）求点D,E,F的坐标；
（2）连接OD，请在x轴上找一点G，使得△DOG的面积为4，求满足条件的点G的坐标.
答案
10. (1) 由题意可知,△ABC 是向上平移 2 个单位长度,向右平移4个单位长度得到的△DEF,
∴ D(1,4),E(5,2),F(-1,0)
(2)
∵ △DOG 的面积为 4,D(1,4),
∴ $\frac{1}{2}OG×4=4$,
∴ OG=2,
∴ 点 G 的坐标为(-2,0)或(2,0)
∴ D(1,4),E(5,2),F(-1,0)
(2)
∵ △DOG 的面积为 4,D(1,4),
∴ $\frac{1}{2}OG×4=4$,
∴ OG=2,
∴ 点 G 的坐标为(-2,0)或(2,0)
解析
【分析】
（1）首先根据点P平移前后的坐标变化，确定平移规则：横坐标加4即向右平移4个单位，纵坐标加2即向上平移2个单位；再将点A、B、C的坐标分别按照该平移规则计算，即可得到对应点D、E、F的坐标。（2）要在x轴上找G使得△DOG面积为4，首先明确x轴上的点G纵坐标为0，因此△DOG的底边为OG的长度，高为点D到x轴的距离（即D点的纵坐标），再结合三角形面积公式列方程求出OG的长度，最后注意G点可以在x轴正半轴或负半轴，得到两个坐标即可。
【解析】
(1) 由点P(m,n)平移后对应点为Q(m+4,n+2)，可知平移规则为：向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度。
将A(-3,2)按规则平移：横坐标$-3+4=1$，纵坐标$2+2=4$，故$D(1,4)$；
将B(1,0)按规则平移：横坐标$1+4=5$，纵坐标$0+2=2$，故$E(5,2)$；
将C(-5,-2)按规则平移：横坐标$-5+4=-1$，纵坐标$-2+2=0$，故$F(-1,0)$。
(2) 点G在x轴上，因此△DOG的底为OG的长度，点D(1,4)到x轴的距离为4，即△DOG的高为4。
根据三角形面积公式，代入已知面积为4可得：
$\frac{1}{2}×OG×4=4$
解得$OG=2$，即G到原点的距离为2，因此点G的坐标为$(-2,0)$或$(2,0)$。
【答案】
(1) $D(1,4),E(5,2),F(-1,0)$；(2) $(-2,0)$或$(2,0)$
【知识点】
点的平移规律，三角形面积计算，坐标轴上点的特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的平移变换和面积计算，解题的关键是准确掌握平移前后坐标的变化规则，计算面积时合理选择底和高，注意x轴上的点到原点的距离要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据点P平移前后的坐标变化，确定平移规则：横坐标加4即向右平移4个单位，纵坐标加2即向上平移2个单位；再将点A、B、C的坐标分别按照该平移规则计算，即可得到对应点D、E、F的坐标。（2）要在x轴上找G使得△DOG面积为4，首先明确x轴上的点G纵坐标为0，因此△DOG的底边为OG的长度，高为点D到x轴的距离（即D点的纵坐标），再结合三角形面积公式列方程求出OG的长度，最后注意G点可以在x轴正半轴或负半轴，得到两个坐标即可。
【解析】
(1) 由点P(m,n)平移后对应点为Q(m+4,n+2)，可知平移规则为：向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度。
将A(-3,2)按规则平移：横坐标$-3+4=1$，纵坐标$2+2=4$，故$D(1,4)$；
将B(1,0)按规则平移：横坐标$1+4=5$，纵坐标$0+2=2$，故$E(5,2)$；
将C(-5,-2)按规则平移：横坐标$-5+4=-1$，纵坐标$-2+2=0$，故$F(-1,0)$。
(2) 点G在x轴上，因此△DOG的底为OG的长度，点D(1,4)到x轴的距离为4，即△DOG的高为4。
根据三角形面积公式，代入已知面积为4可得：
$\frac{1}{2}×OG×4=4$
解得$OG=2$，即G到原点的距离为2，因此点G的坐标为$(-2,0)$或$(2,0)$。
【答案】
(1) $D(1,4),E(5,2),F(-1,0)$；(2) $(-2,0)$或$(2,0)$
【知识点】
点的平移规律，三角形面积计算，坐标轴上点的特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的平移变换和面积计算，解题的关键是准确掌握平移前后坐标的变化规则，计算面积时合理选择底和高，注意x轴上的点到原点的距离要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11 如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点 O 出发,沿着箭头所指方向,每次移动1个单位长度,依次得到点$P_1(0,1),P_2(1,1),P_3(1,0),P_4(1,-1),P_5(2,-1),P_6(2,0)······$
(1) 填写下列各点的坐标$:P_9(\_\_\_\_\_\_),P_{12}(\_\_\_\_\_\_),P_{15}($, _________);(2) 写出点$P_{3n}$的坐标(n是正整数);(3) 点$P_{60}$的坐标是(_________, _________);(4) 指出动点从点$P_{210}$到点$P_{211}$的移动方向.
(1) 填写下列各点的坐标$:P_9(\_\_\_\_\_\_),P_{12}(\_\_\_\_\_\_),P_{15}($, _________);(2) 写出点$P_{3n}$的坐标(n是正整数);(3) 点$P_{60}$的坐标是(_________, _________);(4) 指出动点从点$P_{210}$到点$P_{211}$的移动方向.
答案
11. (1) 3 0 4 0 5 0
(2) 点 $P_{3n}$ 的坐标为 $(n,0)$
(3) 20 0
(4) 向上
(2) 点 $P_{3n}$ 的坐标为 $(n,0)$
(3) 20 0
(4) 向上
解析
【分析】
我们先观察已知点的坐标特征：$P_3(1,0)$、$P_6(2,0)$，发现当下标为3的正整数倍时，点都落在x轴上，y坐标为0，且x坐标等于下标除以3。我们可以先归纳出$P_{3n}$的坐标规律，再结合每一步的移动方向，推导其余点的坐标和移动方向。
【解析】
(1) 按照归纳的规律计算：
$9÷3=3$，因此$P_9$的坐标为$(3,0)$；
$12÷3=4$，因此$P_{12}$的坐标为$(4,0)$；
$15÷3=5$，因此$P_{15}$的坐标为$(5,0)$。
(2) 观察下标为3的倍数的点：
当$n=1$时，$P_{3×1}=P_3(1,0)$；
当$n=2$时，$P_{3×2}=P_6(2,0)$；
当$n=3$时，$P_{3×3}=P_9(3,0)$；
以此类推，可得点$P_{3n}$的坐标为$(n,0)$。
(3) $60÷3=20$，对应$P_{3×20}=P_{60}$，根据$P_{3n}$的规律，坐标为$(20,0)$。
(4) 先判断210是3的倍数：$210÷3=70$，即$P_{210}=P_{3×70}$，坐标为$(70,0)$。
再观察移动方向规律：$P_3$（对应$n=1$，奇数）下一个移动方向向下，$P_6$（对应$n=2$，偶数）下一个移动方向向上，$P_9$（对应$n=3$，奇数）下一个移动方向向下，可得当$n$为偶数时，$P_{3n}$的下一个移动方向向上。
此处$n=70$是偶数，因此动点从$P_{210}$到$P_{211}$的移动方向为向上。
【答案】
(1) $3,0$；$4,0$；$5,0$
(2) $(n,0)$
(3) $20,0$
(4) 向上
【知识点】
坐标系点坐标规律，坐标与平移，规律探究
【点评】
本题属于坐标系规律探究类基础题型，解题核心是通过已知特殊点归纳出通用规律，再用规律解决问题，需要学生具备基础的观察归纳能力，掌握从特殊到一般的探究思路即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
我们先观察已知点的坐标特征：$P_3(1,0)$、$P_6(2,0)$，发现当下标为3的正整数倍时，点都落在x轴上，y坐标为0，且x坐标等于下标除以3。我们可以先归纳出$P_{3n}$的坐标规律，再结合每一步的移动方向，推导其余点的坐标和移动方向。
【解析】
(1) 按照归纳的规律计算：
$9÷3=3$，因此$P_9$的坐标为$(3,0)$；
$12÷3=4$，因此$P_{12}$的坐标为$(4,0)$；
$15÷3=5$，因此$P_{15}$的坐标为$(5,0)$。
(2) 观察下标为3的倍数的点：
当$n=1$时，$P_{3×1}=P_3(1,0)$；
当$n=2$时，$P_{3×2}=P_6(2,0)$；
当$n=3$时，$P_{3×3}=P_9(3,0)$；
以此类推，可得点$P_{3n}$的坐标为$(n,0)$。
(3) $60÷3=20$，对应$P_{3×20}=P_{60}$，根据$P_{3n}$的规律，坐标为$(20,0)$。
(4) 先判断210是3的倍数：$210÷3=70$，即$P_{210}=P_{3×70}$，坐标为$(70,0)$。
再观察移动方向规律：$P_3$（对应$n=1$，奇数）下一个移动方向向下，$P_6$（对应$n=2$，偶数）下一个移动方向向上，$P_9$（对应$n=3$，奇数）下一个移动方向向下，可得当$n$为偶数时，$P_{3n}$的下一个移动方向向上。
此处$n=70$是偶数，因此动点从$P_{210}$到$P_{211}$的移动方向为向上。
【答案】
(1) $3,0$；$4,0$；$5,0$
(2) $(n,0)$
(3) $20,0$
(4) 向上
【知识点】
坐标系点坐标规律，坐标与平移，规律探究
【点评】
本题属于坐标系规律探究类基础题型，解题核心是通过已知特殊点归纳出通用规律，再用规律解决问题，需要学生具备基础的观察归纳能力，掌握从特殊到一般的探究思路即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
