1 如图，AB是$\odot O$的弦，AC与$\odot O$相切于点A，连接OA，OB。若$∠ O=130°$，则$∠ BAC$的度数是（）

A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
（第1题）

1. B

【分析】
解题时先从已知条件入手：①AC与⊙O相切于点A，根据切线的性质可得OA与AC垂直，即∠OAC=90°；②OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB，△OAB是等腰三角形，已知顶角∠O=130°，可根据三角形内角和及等腰三角形两底角相等求出底角∠OAB的度数；最后用∠OAC减去∠OAB即可得到∠BAC的度数。
【解析】
∵AC是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
∵OA=OB（都是⊙O的半径），
∴△OAB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA，
在△OAB中，∠O=130°，根据三角形内角和为180°，
∴∠OAB=(180°-∠O)÷2=(180°-130°)÷2=25°，
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-25°=65°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆相关的基础题，侧重考察基础性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握切线的性质和等腰三角形的角度计算方法。
【难度系数】
0.8

2 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以$BC$为直径作$\odot O$,交斜边$AB$于点$E$,$D$为$AC$的中点,连接$DO$,$DE$.下列结论不一定正确的是 （）

A.$DO// AB$
B.$△ ADE$是等腰三角形
C.$DE⊥ AC$
D.$DE$是$\odot O$的切线

2. C

【分析】
本题为几何结论正误判断类选择题，需逐一验证各选项：首先利用三角形中位线定理判断选项A；再通过连接辅助线OE，构造全等三角形，结合切线判定定理判断选项D；接着利用全等性质和中点定义推导边的关系判断选项B；最后分析C选项成立的特殊条件，判断其是否一定成立，即可得出答案。
【解析】
步骤1：判断选项A
∵BC是⊙O的直径，
∴O为BC中点，
又
∵D为AC中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴$DO// AB$，A结论正确，不符合题意。
步骤2：判断选项D
连接OE，
∵$DO// AB$，
∴$∠ COD=∠ B$，$∠ DOE=∠ OEB$，
∵OE、OB都是⊙O的半径，
∴$OE=OB$，$∠ OEB=∠ B$，
∴$∠ COD=∠ DOE$。
在$△ COD$和$△ EOD$中：
$\begin{cases}OC=OE\\∠ COD=∠ DOE\\OD=OD\end{cases}$
∴$△ COD≌△ EOD(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ OED=∠ OCD=90°$，即$OE⊥ DE$，
又
∵OE是⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线，D结论正确，不符合题意。
步骤3：判断选项B
由$△ COD≌△ EOD$得$CD=DE$，
∵D是AC中点，
∴$CD=AD$，
∴$AD=DE$，$△ ADE$是等腰三角形，B结论正确，不符合题意。
步骤4：判断选项C
若$DE⊥ AC$，则$∠ ADE=90°$，结合$AD=DE$可得$∠ A=45°$，即仅当$\mathrm{Rt}△ ABC$为等腰直角三角形时该结论成立，题目未给出该条件，因此C结论不一定正确，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了三角形和圆的核心基础知识点，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，需注意题目要求选择“不一定正确”的选项，避免因审题粗心误选。
【难度系数】
0.7

3 新情境 学科融合 [2025 北京]如图，$\odot O$是地球的示意图，其中$AB$表示赤道，$CD$，$EF$分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB=∠ FOB=23.5°$. 夏至日正午时，太阳光线$GD$所在直线经过地心$O$，此时点$F$处的太阳高度角$∠ IFH$（即平行于$GD$的光线$HF$与$\odot O$的切线$FI$所成的锐角）的度数为°.

3. 43

【分析】
解题时首先利用切线的性质得到OF与FI垂直，得出直角∠OFI；再结合已知角的度数求出∠DOF的大小，接着根据平行线的性质得到∠OFH的度数，最后用直角减去∠OFH的度数即可求出∠IFH的度数。
【解析】
∵ FI是$\odot O$的切线，F为切点，
∴ $OF ⊥ FI$，即$∠ OFI = 90°$。
∵ $∠ DOB=23.5°$，$∠ FOB=23.5°$，
∴ $∠ DOF = ∠ DOB + ∠ FOB = 23.5° + 23.5° = 47°$。
由题意得$GD // HF$，
∴ $∠ OFH = ∠ DOF = 47°$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $∠ IFH = ∠ OFI - ∠ OFH = 90° - 47° = 43°$。
【答案】
43
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角的计算
【点评】
本题融合地理学科常识考查几何计算，解题的核心是准确运用切线性质和平行线的性质，理清各角度之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ ACB$的平分线交边$AB$于点$P$,以点$P$为圆心,$PB$长为半径作$\odot P$,则$AC$与$\odot P$的位置关系是.

4. 相切

【分析】
要判断直线AC与⊙P的位置关系，只需比较圆心P到直线AC的距离与⊙P半径的大小：若距离等于半径，则直线与圆相切。已知CP是∠ACB的角平分线，结合角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出P到AC的距离等于PB（即⊙P的半径），即可得出结论。
【解析】
过点P作PD⊥AC，垂足为D。
∵ CP平分∠ACB，∠ABC=90°（即PB⊥BC），PD⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，可得PD = PB。
又
∵ PB是⊙P的半径，
∴ 圆心P到直线AC的距离PD等于⊙P的半径，
∴ AC与⊙P相切。
【答案】
相切
【知识点】
角平分线的性质；直线与圆的位置关系判定；切线的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，以及直线与圆相切的判定条件，通过作辅助线得到圆心到直线的距离等于半径即可求解。
【难度系数】
0.8

5 [2025 遂宁]如图，AB 是$\odot O$的直径，C 是$\odot O$上的一点，连接 AC，BC，延长 AB 至点 D，连接 CD，使$∠ BCD=∠ A$。求证：CD 是$\odot O$的切线。

5. 连接OC. $\because$ AB 是$\odot O$的直径, $\therefore ∠ ACB = 90°$,即$∠ ACO + ∠ BCO = 90°$. $\because OA = OC$, $\therefore ∠ A = ∠ ACO$. $\because ∠ BCD = ∠ A$, $\therefore ∠ BCD = ∠ ACO$, $\therefore ∠ BCD + ∠ BCO = 90°$,即$∠ OCD = 90°$, $\therefore OC⊥ CD$. 又$\because OC$是$\odot O$的半径, $\therefore CD$是$\odot O$的切线

【分析】
要证明CD是$\odot O$的切线，已知CD与$\odot O$有公共点C，根据切线的判定规则，有公共点时需遵循“连半径，证垂直”的思路，因此先连接OC，只需证明OC⊥CD即可。首先利用直径所对的圆周角是直角得到$∠ ACB=90°$，再结合等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ A=∠ ACO$，结合题中给出的$∠ BCD=∠ A$，通过等量代换即可推出$∠ OCD=90°$，得到OC与CD垂直，进而完成证明。
【解析】
证明：连接OC.
$\because$ AB是$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ ACB = 90°$,即$∠ ACO + ∠ BCO = 90°$.
$\because OA = OC$,
$\therefore ∠ A = ∠ ACO$.
$\because ∠ BCD = ∠ A$,
$\therefore ∠ BCD = ∠ ACO$,
$\therefore ∠ BCD + ∠ BCO = 90°$,即$∠ OCD = 90°$,
$\therefore OC⊥ CD$.
又$\because OC$是$\odot O$的半径,
$\therefore CD$是$\odot O$的切线.
【答案】
CD是$\odot O$的切线
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，核心考查“连半径、证垂直”的切线判定思路，解题的关键是结合圆周角定理和角的等量代换推导出垂直关系。
【难度系数】
0.8

6 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=28°$,以$AB$为直径的$\odot O$交$AC$于点$D$,$DE // CB$,连接$BD$.若添加一个条件,使$BC$是$\odot O$的切线,则下列四个条件中,不符合的是 ()

A.$DE ⊥ AB$
B.$∠ EDB=28°$
C.$∠ ADE=∠ ABD$
D.$OB=BC$

6. D

【分析】
要判断哪个条件不能推出BC是⊙O的切线，首先明确核心判定逻辑：AB是⊙O的直径，根据切线判定定理，只需证明AB⊥BC（即∠ABC=90°）即可判定BC为切线。结合已知条件“DE//CB”“直径所对圆周角为直角”“同弧所对圆周角相等”等性质，逐个分析选项能否推出∠ABC=90°即可。
【解析】
已知AB为⊙O的直径，可得∠ADB=90°，因此∠A + ∠ABD = 90°；又DE//CB，由平行线性质可得∠ADE=∠C，∠EDB=∠DBC。
要使BC为⊙O的切线，需满足AB⊥BC，即∠ABC=90°，逐个分析选项：
A. 若$DE ⊥ AB$，结合$DE// CB$，可推出$BC⊥AB$，满足切线判定条件，BC是⊙O的切线，不符合题意。
B. 若$∠ EDB=28°$，同弧BE所对的圆周角相等，得$∠EAB=∠EDB=28°$，即$∠DBC=∠EDB=28°$。又$∠ABD=90°-∠A=62°$，因此$∠ABC=∠ABD+∠DBC=62°+28°=90°$，$AB⊥BC$，BC是⊙O的切线，不符合题意。
C. 若$∠ ADE=∠ ABD$，结合$∠ADE=∠C$，可得$∠C=∠ABD$。又$∠A+∠ABD=90°$，因此$∠A+∠C=90°$，推出$∠ABC=90°$，$AB⊥BC$，BC是⊙O的切线，不符合题意。
D. 若$OB=BC$，仅能说明$△ OBC$为等腰三角形，无法推导得出$∠ABC=90°$，不能判定BC是⊙O的切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将切线判定、圆周角性质、平行线性质结合考查，解题的关键是抓住切线判定的核心条件，结合已知性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.7