7. (2024春·赫山区期中)如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE=CF，求证：Rt△ABF≌Rt△CDE.

7. $AE=CF,\therefore AE+EF=CF+EF$,即 $AF=CE$. 又$\because BF⊥ AC,DE⊥ AC,\therefore ∠ AFB=∠ CED=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ ABF$与$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$\begin{cases}AB=CD, \\ AF=CE,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}).$

8. (2025·陈仓区模拟)如图,点A,B,C,D在直线l上,BE⊥l,CF⊥l,AC=BD,AE=DF. 求证:∠E=∠F.

8. 证明: $\because BE ⊥ l, CF ⊥ l$,$\therefore ∠ ABE=∠ DCF=90°$. $\because AC=BD$,$\therefore AC-BC=BD-BC$,即 $AB=CD$. 又$\because AE=DF$,$\therefore △ ABE≌△ DCF(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ E=∠ F$.

9. (2024春·汝州市期中)如图,△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M,则图中共有全等的直角三角形 ()

A.3对
B.4对
C.5对
D.6对

9. D

10. (2023秋·衡阳期末)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=10$,$BC=5$,线段$PQ=AB$,$P$,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当$AP=$时,$△ ABC$和$△ PQA$全等.

10. 5或10

11. (2024春·市北区期中)数学兴趣小组在完成一道数学题：
如图，$AC⊥BC$，$BD⊥AD$，$AD=BC$. 求证：$BD=AC$.
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到$BD=AC$.”
小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到$BD=AC$.”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明$BD=AC$. ”
你认为他们的办法可行吗？并试着证明.

11. 都可行. 证明1:$\because AC⊥ BC,BD⊥ AD,\therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在$△ AOD$和$△ BOC$中,$\begin{cases}∠ D=∠ C, \\ ∠ AOD=∠ BOC, \\ AD=BC,\end{cases}$ $\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{AAS}),\therefore AO=BO,DO=CO$,$\therefore AO+CO=BO+DO$,即 $BD=AC$. 证明2:连接$AB$. $\because AC⊥ BC,BD⊥ AD,\therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中,$\begin{cases}AD=BC, \\ AB=BA,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC(\mathrm{HL}),\therefore BD=AC$. 证明3:连接$AB$,由证明1得知 $△ AOD ≌ △ BOC$, $\therefore S_{△ AOD} = S_{△ BOC}$, $\therefore S_{△ AOD}+S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOB}$,即 $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$, 又$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC$,$\therefore \frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}BC· AC$. $\because AD=BC$,$\therefore BD=AC$.