矩形的判定：
①由定义判定
文字语言：
有一个角是的平行四边形叫作矩形。
图形及符号语言：
∵如图，，
∴四边形ABCD是矩形。
②由角判定
文字语言：
有三个角是的四边形是矩形。
图形及符号语言：
∵如图，，
∴四边形ABCD是矩形。
③由对角线判定
文字语言：
对角线的平行四边形是矩形。
图形及符号语言：
∵如图，，
∴四边形ABCD是矩形。

①由定义判定：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。在$□ ABCD$中，$∠DAB=90°$(或$∠ABC=90°$或$∠BCD=90°$或$∠CDA=90°$)，四边形ABCD是矩形。
②由角判定：有三个角是直角的四边形是矩形。在四边形ABCD中，$∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°$，四边形ABCD是矩形。
③由对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形。在$□ ABCD$中，$AC=BD$，四边形ABCD是矩形。

【分析】
本题考查矩形的三类判定定理，解题时需先明确每类判定的适用前提：
1. 定义判定的适用前提是平行四边形，核心判定要素为存在1个内角是直角；
2. 角判定的适用前提是任意四边形，核心判定要素为存在3个内角是直角；
3. 对角线判定的适用前提是平行四边形，核心判定要素为两条对角线长度相等。
再将文字描述对应转化为图中四边形ABCD的符号语言即可。
【解析】
①定义判定：
根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此文字空填“直角”；
符号语言需先说明四边形为平行四边形，再给出一个内角为90°，即先明确四边形ABCD是平行四边形，再给出其中任意一个内角为90°，即可判定为矩形。
②角判定：
针对普通四边形的矩形判定规则为：有三个角是直角的四边形是矩形，因此文字空填“直角”；
符号语言需说明四边形ABCD中有任意三个内角为90°，即可判定为矩形。
③对角线判定：
针对平行四边形的对角线判定规则为：对角线相等的平行四边形是矩形，因此文字空填“相等”；
符号语言需先说明四边形ABCD是平行四边形，再给出对角线AC和BD相等，即可判定为矩形。
【答案】
①直角；在$□ABCD$中，$∠DAB=90°$(或$∠ABC=90°$或$∠BCD=90°$或$∠CDA=90°$)
②直角；在四边形ABCD中，$∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°$
③相等；在$□ABCD$中，$AC=BD$
【知识点】
矩形的定义判定；矩形的角判定；矩形的对角线判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生熟练掌握矩形三类判定方法的文字表述和几何符号语言的对应转化，解题时需注意区分不同判定的适用前提（普通四边形/平行四边形），是后续解决矩形综合证明、计算类题目的基础。
【难度系数】
0.9

1.如图,在$□ ABCD$中,AC,BD是它的两条对角线,添加下列条件,能判定这个平行四边形是矩形的是()。

A.$∠ BAC=∠ ACB$
B.$∠ BAC=∠ ACD$
C.$∠ BAC=∠ DAC$
D.$∠ BAC=∠ ABD$

1.D

【分析】
要判定平行四边形为矩形，可依据矩形的判定定理：①有一个内角为直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。解题时先结合平行四边形的固有性质，逐个分析选项中角的关系能推出的结论，再匹配矩形的判定条件即可。
【解析】
设平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，根据平行四边形的性质可得：OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，且AB//CD，AD//BC。
选项A：若∠BAC=∠ACB，由等角对等边可得AB=BC，说明平行四边形邻边相等，可判定为菱形，不能判定为矩形，故A错误；
选项B：因为AB//CD，内错角∠BAC和∠ACD本来就相等，这是平行四边形的固有性质，无法推出矩形的判定条件，故B错误；
选项C：若∠BAC=∠DAC，结合AD//BC可得∠DAC=∠ACB，因此∠BAC=∠ACB，推出AB=BC，可判定为菱形，不能判定为矩形，故C错误；
选项D：若∠BAC=∠ABD，由等角对等边可得OA=OB，因此AC=2OA=2OB=BD，即平行四边形的对角线相等，依据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定ABCD是矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质和矩形、菱形的判定定理，将角的等量关系转化为边或对角线的关系后，对应判定条件筛选即可，注意不要混淆矩形和菱形的判定规则。
【难度系数】
0.7

2.如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是()。

A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

2.B

【分析】
解题时首先利用平行四边形相邻内角互补的性质，结合角平分线的定义，可推出相邻两个内角的一半之和为90°，由此得到角平分线相交所成的角是直角，再根据矩形的判定定理就能判断出围成四边形的形状，注意仅平行四边形的条件无法推出邻边相等，因此不会是菱形或正方形。
【解析】
设平行四边形为ABCD，∠DAB和∠ABC为一组邻角，根据平行四边形性质可得：
$∠ DAB + ∠ ABC = 180°$
∵AE平分$∠ DAB$，BG平分$∠ ABC$
∴$∠ EAB = \frac{1}{2}∠ DAB$，$∠ GBA = \frac{1}{2}∠ ABC$
∴$∠ EAB + ∠ GBA = \frac{1}{2}(∠ DAB + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$
∴$∠ AGB = 180° - (∠ EAB + ∠ GBA) = 90°$，即围成四边形的一个内角为直角。
同理可证，围成的四边形其余三个内角也均为$90°$，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，可知该四边形是矩形。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、角平分线的定义、矩形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形和矩形的相关知识点，核心是通过角的运算推导出直角，熟练掌握几何图形的性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7

3.检查一个门框(已知两组对边分别相等)是不是矩形,不可以用的方法是()。

A.测量两条对角线是否相等
B.用铅垂线检查竖门框是否与地面垂直
C.测量两条对角线是否互相平分
D.测量门框的三个角是否都是直角

3.C

【分析】
首先，已知门框两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，可先确定该门框本身就是平行四边形。要判断平行四边形是否为矩形，需结合矩形的判定定理分析各选项：矩形的判定包括①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③三个角为直角的四边形是矩形。若选项的判定条件只能证明门框是平行四边形，或无法推导出门框是矩形，则该方法不可用。
【解析】
解：
∵ 门框的两组对边分别相等，
∴ 该门框是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
逐一分析选项：
A. 若平行四边形的对角线相等，则该平行四边形是矩形，因此测量对角线是否相等可判定门框是否为矩形，方法可用，不符合题意；
B. 若竖门框与地面垂直，说明门框有一个内角为直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此该方法可判定门框是否为矩形，不符合题意；
C. 平行四边形的对角线本身就互相平分，因此测量对角线是否互相平分，只能验证门框是平行四边形，无法判定是否为矩形，方法不可用，符合题意；
D. 三个角都是直角的四边形是矩形，因此测量三个角是否为直角可直接判定门框是否为矩形，方法可用，不符合题意。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质；矩形的判定定理
【点评】
本题重点考查矩形与平行四边形判定、性质的区分，解题时需先结合已知条件确定门框的基础图形是平行四边形，再对照矩形判定条件逐一排除选项，注意不要混淆平行四边形和矩形的特有性质。
【难度系数】
0.8

4.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,∠BAD=90°,BO=DO,那么下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是()。


A.∠ABC=90°
B.AO=OC
C.AB//CD
D.AB=CD

4.D

【分析】
要解决这道题，首先明确已知条件：∠BAD=90°，O是BD的中点（BO=DO），我们需要结合矩形的判定定理，逐个分析每个选项添加后能否推出四边形ABCD是矩形。矩形的判定核心思路有两种：①先证明四边形是平行四边形，再补充“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件；②直接证明四边形有三个内角为直角，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：∠ABC=90°
已知∠BAD=90°，∠ABC=90°，因此AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），可得∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC。又
∵BO=DO，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴AO=OC，即四边形ABCD对角线互相平分，是平行四边形。结合∠BAD=90°，可判定平行四边形ABCD是矩形，故A不符合题意。
2. 选项B：AO=OC
已知BO=DO，又AO=OC，
∴四边形ABCD对角线互相平分，是平行四边形。结合∠BAD=90°，可判定平行四边形ABCD是矩形，故B不符合题意。
3. 选项C：AB//CD
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC。又
∵BO=DO，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AO=OC，即四边形ABCD对角线互相平分，是平行四边形。结合∠BAD=90°，可判定平行四边形ABCD是矩形，故C不符合题意。
4. 选项D：AB=CD
已知∠BAD=90°，BO=DO，AB=CD时，无法证明四边形ABCD是平行四边形：可构造反例，在BD中点为O的前提下，取点C使得CD=AB，但AC不被O平分，此时四边形ABCD既不是平行四边形，也不是矩形，因此该条件不能判定四边形ABCD为矩形，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题考查矩形的判定应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理，注意“一组对边相等”不能单独作为判定平行四边形的条件，要结合其他条件分析，避免混淆判定规则导致错误。
【难度系数】
0.6

5.如图,在$□ ABCD$中,AC,BD相交于点O,AC=8,当OD=时,$□ ABCD$是矩形。

5.4

【分析】
要解决这道题，我们从矩形的判定定理出发思考：已知图形是平行四边形，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定规则，首先需要让平行四边形的两条对角线AC和BD相等，先求出BD的长度；再结合平行四边形对角线互相平分的性质，点O是BD的中点，OD为BD的一半，即可求出OD的取值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形对角线互相平分，即$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
根据矩形判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
∴当$AC=BD$时，$□ ABCD$是矩形，
已知$AC=8$，
∴$BD=AC=8$，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查平行四边形的性质和矩形的判定规则，解题核心是熟练掌握对角线相等的平行四边形为矩形这一判定定理。
【难度系数】
0.8

6.如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，则其中的数学原理是。

6.对角线相等的平行四边形是矩形

【分析】
首先明确题目的已知条件和求解目标：书架ABCD本身是平行四边形，我们需要判断它的侧边是否与上下边垂直，本质是判断这个平行四边形是否为矩形（矩形的四个内角都是直角，自然满足相邻边互相垂直的要求）。工人师傅通过测量对角线AC、BD的长度判断，是结合矩形的判定定理推导的：如果平行四边形的对角线相等，那么这个平行四边形就是矩形，当AC=BD时，即可判定平行四边形ABCD是矩形，也就满足侧边与上下边垂直的要求。
【解析】
解：已知四边形ABCD是平行四边形，若对角线AC=BD，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，可得平行四边形ABCD是矩形。矩形的四个内角都是直角，因此书架的侧边与上、下边都垂直，对应原理即为该判定定理。
【答案】
对角线相等的平行四边形是矩形
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是几何定理在实际生活中的应用类题目，需要学生将生活问题转化为几何证明问题，核心考查对矩形判定定理的掌握情况，学会用数学知识解决实际应用问题。
【难度系数】
0.8