7.如图，在$□ ABCD$中，过点D作$DE⊥ AB$于点E，点F在边CD上，$DF=BE$，连接BF。求证：四边形BFDE是矩形。

7.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,即BE//DF。
又
∵BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形。
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°。
∴四边形BFDE是矩形。

【分析】
要证明四边形BFDE是矩形，可遵循“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：①首先利用平行四边形ABCD对边平行的性质，得到BE与DF平行，结合已知BE=DF，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可先证得四边形BFDE是平行四边形；②再结合DE⊥AB的条件，得到∠DEB=90°，最后依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即BE//DF。
又
∵BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形。
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°。
∴四边形BFDE是矩形。
【答案】
证明过程如上：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即BE//DF。
又
∵BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形。
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°。
∴四边形BFDE是矩形。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题是矩形判定的基础应用题目，重点考察平行四边形和矩形相关判定定理的运用，只要熟练掌握相关定理，理清证明逻辑就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

8.在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是()。

A.$AB=CD,AD=BC,AC=BD$
B.$AO=CO,BO=DO,∠ BAD=90°$
C.$∠ BAD=∠ BCD,∠ ABC+∠ BCD=180°,AC⊥ BD$
D.$∠ BAD=∠ ABC=90°,AC=BD$

8.C

【分析】
要判断哪个选项不能判定四边形是矩形，需先牢记矩形的三类判定定理：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。解题时先根据每个选项给出的条件，先判断能否推出四边形是平行四边形，再结合矩形判定条件验证，不符合判定要求的即为正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：由AB=CD、AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形；再结合AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定是矩形，不符合题意。
2. 选项B：由AO=CO、BO=DO，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形；再结合∠BAD=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定是矩形，不符合题意。
3. 选项C：由∠ABC+∠BCD=180°，可推出AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），则∠BAD+∠ADC=180°；又因为∠BAD=∠BCD，代换可得∠BCD+∠ADC=180°，推出AD//BC，因此四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；再结合AC⊥BD，可判定平行四边形ABCD是菱形，无法判定是矩形，符合题意。
4. 选项D：由∠BAD=∠ABC=90°，可得∠BAD+∠ABC=180°，推出AD//BC；在Rt△ABD和Rt△BAC中，AB为公共边，AC=BD，根据HL可证两三角形全等，得AD=BC，因此AD平行且等于BC，四边形ABCD是平行四边形；又因为∠BAD=90°，可判定是矩形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查特殊四边形的判定逻辑，需要学生准确区分平行四边形、矩形、菱形的判定定理，尤其要注意矩形的很多判定都需要先确定四边形是平行四边形，再结合角或对角线的特征判断，避免混淆不同特殊四边形的判定条件。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,取边AB上任意一点D(不与点A重合),连接DC,作$□ ADCE$,AC与DE交于点F,则下列结论中正确的是。(填序号)
①无论点D的位置怎样变化,F始终为AC的中点；
②当D为AB的中点时,线段DE取得最小值；
③当$CD⊥ AB$时,四边形ADCE为矩形。

9.①③

【分析】
解题时先结合已知的平行四边形ADCE，回忆平行四边形的核心性质，再逐个分析3个结论：
1. 先看结论①，利用平行四边形对角线互相平分的性质，可直接判断F为AC中点是否和D的位置有关；
2. 再看结论②，先把DE转化为和DF相关的长度，结合F是AC定点，根据垂线段最短判断DE取最小值的条件；
3. 最后看结论③，结合矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断条件成立时四边形是否为矩形。
【解析】
我们逐个验证三个结论：
1. 验证①：
∵四边形ADCE是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，
∴AC、DE作为平行四边形的对角线，交点F必然是AC的中点，该结论和点D在AB上的位置无关，故①正确。
2. 验证②：在平行四边形ADCE中，DE=2DF，已知F是AC的中点（定点），根据垂线段最短的性质，只有当DF⊥AB时，DF的长度最小，对应DE取得最小值，并非D为AB中点时DE最小，故②错误。
3. 验证③：
∵四边形ADCE是平行四边形，若CD⊥AB，则∠ADC=90°，根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，可得此时四边形ADCE为矩形，故③正确。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
①③
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定，垂线段最短
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查学生对平行四边形、矩形性质与判定的掌握情况，解题时需要逐一分析结论，注意区分线段最值的条件，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7

10.如图，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$的平分线AE交BC于点E，$∠ DCB$的平分线CF交AD于点F，G，H分别是AE和CF的中点。
(1)求证：$△ BAE≌△ DCF$。
(2)连接EF，若$EF=AF$，请判断四边形FGEH的形状，并证明你的结论。

10.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB=CD,∠B=∠D,∠BAD=∠DCB。
∴∠DAE=∠AEB,∠DFC=∠BCF。
∵AE,CF分别是∠BAD和∠DCB的平分线，
∴∠BAE=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCB。
∴∠BAE=∠DCF。
在△BAE和△DCF中，
∵∠B=∠D,AB=CD,∠BAE=∠DCF，
∴△BAE≌△DCF(ASA)。
(2)解:四边形FGEH是矩形。
证明:
∵△BAE≌△DCF，
∴AE=CF,∠AEB=∠DFC。
∴∠AEB=∠BCF。
∴AE//CF,即GE//FH。
∵G,H分别为AE,CF的中点，
∴GE=FH。
∴四边形FGEH是平行四边形。
∵EF=AF,G为AE的中点，
∴GF⊥AE。
∴四边形FGEH是矩形。

【分析】
(1)要证明△BAE≌△DCF，首先结合平行四边形的性质，可得到对应边AB=CD、对应角∠B=∠D，还缺一组对应角相等的条件；结合AE、CF是角平分线，以及平行四边形对角相等的性质，可推导出∠BAE=∠DCF，凑齐ASA判定全等的三个条件即可完成证明。
(2)判断四边形FGEH的形状时，首先由(1)的全等结论得到AE=CF、∠AEB=∠DFC，进而推出AE//CF；再结合G、H是AE、CF的中点，可得到GE与FH平行且相等，先判定四边形FGEH是平行四边形；再根据EF=AF、G是AE中点，利用等腰三角形三线合一得到FG⊥AE，即可根据矩形的判定定理得出最终结论。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB=CD,∠B=∠D,∠BAD=∠DCB。
∴∠DAE=∠AEB,∠DFC=∠BCF。
∵AE,CF分别是∠BAD和∠DCB的平分线，
∴∠BAE=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCB。
∴∠BAE=∠DCF。
在△BAE和△DCF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠D\\AB=CD\\∠BAE=∠DCF\end{array} $
∴△BAE≌△DCF(ASA)。
(2)解:四边形FGEH是矩形，证明如下:
∵△BAE≌△DCF，
∴AE=CF,∠AEB=∠DFC。
∴∠AEB=∠BCF。
∴AE//CF,即GE//FH。
∵G,H分别为AE,CF的中点，
∴GE=$\frac{1}{2}$AE，FH=$\frac{1}{2}$CF，
∴GE=FH。
∴四边形FGEH是平行四边形。
∵EF=AF,G为AE的中点，
∴GF⊥AE(等腰三角形三线合一)，即∠EGF=90°。
∴平行四边形FGEH是矩形。
【答案】
(1)△BAE≌△DCF得证；(2)四边形FGEH是矩形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形、全等三角形、特殊四边形的判定性质结合考查，解题时需从已知条件出发逐步推导，逻辑链条清晰，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

11.【数学文化】在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法。割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足。如图所示的三角形下盈上虚，以下补上。如果图中阴影部分的面积为4，那么图中矩形的面积是。

11.16

【分析】
解题核心是理解“出入相补”的割补思路，首先回忆矩形内三角形的面积性质：以矩形的一边为底、对边上任意一点为顶点的三角形，面积是矩形面积的一半。首先观察图形，中间空白大三角形的底等于矩形的长、高等于矩形的宽，因此它的面积是矩形面积的$\frac{1}{2}$，由此可得剩余部分（阴影面积+下方两个小直角三角形的面积之和）也等于矩形面积的$\frac{1}{2}$。再根据“以下补上”的操作，下方两个小三角形向上翻折后，恰好可以填满中间空白大三角形内除阴影外的区域，说明下方两个小三角形的面积之和等于阴影面积，进而可推导矩形面积。
【解析】
解：设矩形的长为$a$，宽为$b$，则矩形面积$S=ab$。
1. 中间空白大三角形的底为$a$，高为$b$，其面积为：
$S_{空白}=\frac{1}{2}× a× b=\frac{1}{2}ab$，即空白大三角形面积为矩形面积的$\frac{1}{2}$。
2. 因此剩余部分的面积为$ab-\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab$，即：
$S_{阴影}+S_{下方两个小三角形}=\frac{1}{2}ab$。
3. 根据割补法“以下补上”的规则，下方两个小直角三角形向上翻折后，恰好填满中间空白大三角形内除阴影外的部分，因此$S_{下方两个小三角形}=S_{阴影}=4$。
代入上式得：$\frac{1}{2}ab=4+4=8$，解得$ab=16$。
【答案】
16
【知识点】
割补法求面积、矩形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合古代数学“出入相补”的原理考查面积计算，需要学生通过几何直观理解割补前后的面积等量关系，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.65