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1. 小亮在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表：
投篮次数：20，40，60，80，120，160，200
投中次数：15，33，
，63，97，126，160
投中的频率：0.75，0.83，0.82，0.79，0.81，0.79，0.8
估计小亮投一次篮，投中的概率是
投篮次数：20，40，60，80，120，160，200
投中次数：15，33，
，63，97，126，160投中的频率：0.75，0.83，0.82，0.79，0.81，0.79，0.8
估计小亮投一次篮，投中的概率是
0.8
。答案
1. 0.8
解析
【分析】
要解决这道题，需用到用频率估计概率的相关知识。解题思路如下：首先明确，在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。接下来观察表格中随着投篮次数不断增加，投中频率的变化趋势，找到频率的稳定值，这个稳定值就是投中概率的估计值。
【解析】
根据用频率估计概率的原理：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会在某个固定数值附近波动，且试验次数越多，波动幅度越小，这个固定数值就是该事件发生概率的估计值。
观察表格数据可知，随着投篮次数从20次逐渐增加到200次，投中的频率分别为0.75、0.83、0.82、0.79、0.81、0.79、0.8，整体逐渐稳定在0.8附近，因此可估计小亮投一次篮投中的概率是0.8。
【答案】
0.8
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题结合投篮实际场景考查频率与概率的关系，解题的核心是理解大量重复试验下频率的稳定值可作为概率的估计值，需要学会从多组频率数据中找到稳定的数值，这类题目是概率部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需用到用频率估计概率的相关知识。解题思路如下：首先明确，在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。接下来观察表格中随着投篮次数不断增加，投中频率的变化趋势，找到频率的稳定值，这个稳定值就是投中概率的估计值。
【解析】
根据用频率估计概率的原理：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会在某个固定数值附近波动，且试验次数越多，波动幅度越小，这个固定数值就是该事件发生概率的估计值。
观察表格数据可知，随着投篮次数从20次逐渐增加到200次，投中的频率分别为0.75、0.83、0.82、0.79、0.81、0.79、0.8，整体逐渐稳定在0.8附近，因此可估计小亮投一次篮投中的概率是0.8。
【答案】
0.8
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题结合投篮实际场景考查频率与概率的关系，解题的核心是理解大量重复试验下频率的稳定值可作为概率的估计值，需要学会从多组频率数据中找到稳定的数值，这类题目是概率部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
2. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷20次，都是反面朝上，则抛掷第21次出现正面朝上的概率是（
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{20}$
D.$\frac{1}{21}$
B
）。A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{20}$
D.$\frac{1}{21}$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心点：一是抛掷质地均匀的硬币属于等可能事件，只有正面朝上、反面朝上两种结果，二者发生的可能性相等；二是每次抛掷硬币的结果是相互独立的，之前的抛掷结果不会对后续的抛掷结果产生影响。不要被前20次都是反面朝上的条件误导，直接计算单次抛掷正面朝上的概率即可。
【解析】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币，共有正面朝上、反面朝上2种等可能的结果，因此单次抛掷出现正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$。
由于每次抛掷硬币的结果相互独立，前20次的抛掷结果不会影响第21次的结果，因此抛掷第21次出现正面朝上的概率仍为$\frac{1}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
独立事件概率；等可能事件概率；频率与概率的区别
【点评】
本题是概率部分的典型易错题，容易错误地将前序试验的频率结果代入单次试验的概率计算中，解题关键是明确独立事件的概率不受过往试验结果影响，频率是多次试验的统计结果，不等同于单次试验的固定概率。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确两个核心点：一是抛掷质地均匀的硬币属于等可能事件，只有正面朝上、反面朝上两种结果，二者发生的可能性相等；二是每次抛掷硬币的结果是相互独立的，之前的抛掷结果不会对后续的抛掷结果产生影响。不要被前20次都是反面朝上的条件误导，直接计算单次抛掷正面朝上的概率即可。
【解析】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币，共有正面朝上、反面朝上2种等可能的结果，因此单次抛掷出现正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$。
由于每次抛掷硬币的结果相互独立，前20次的抛掷结果不会影响第21次的结果，因此抛掷第21次出现正面朝上的概率仍为$\frac{1}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
独立事件概率；等可能事件概率；频率与概率的区别
【点评】
本题是概率部分的典型易错题，容易错误地将前序试验的频率结果代入单次试验的概率计算中，解题关键是明确独立事件的概率不受过往试验结果影响，频率是多次试验的统计结果，不等同于单次试验的固定概率。
【难度系数】
0.6
3. 甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示。符合这一结果的试验最有可能的是(
A.从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
B.掷一枚质地均匀的骰子，出现1点的概率
C.抛一枚硬币，出现正面的概率
D.任意写一个整数，它能被2整除的概率
A
)。A.从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
B.掷一枚质地均匀的骰子，出现1点的概率
C.抛一枚硬币，出现正面的概率
D.任意写一个整数，它能被2整除的概率
答案
3. A
解析
【分析】
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近。解题时首先观察折线图：随着试验次数增大，该事件的频率稳定在30%~40%之间，也就是约$\frac{1}{3}$的位置，接下来只需逐一计算四个选项对应事件的概率，选出概率接近$\frac{1}{3}$的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可得，随着试验次数增加，该结果出现的频率稳定在约33%（即$\frac{1}{3}$）附近。
分别计算各选项事件的概率：
A. 袋子中共有2个白球+1个红球=3个球，任取一球取到红球的概率为$\frac{1}{3}\approx33.3\%$，与频率稳定值一致；
B. 掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能结果，出现1点的概率为$\frac{1}{6}\approx16.7\%$，不符合；
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率为$\frac{1}{2}=50\%$，不符合；
D. 任意写一个整数，能被2整除和不能被2整除的情况等可能，概率为$\frac{1}{2}=50\%$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算；折线统计图读取
【点评】
本题考查频率与概率的关系应用，解题的关键是掌握大量重复试验中频率会逐渐稳定在概率附近这一规律，结合简单概率计算即可得出答案，属于基础题。
【难度系数】
0.8
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近。解题时首先观察折线图：随着试验次数增大，该事件的频率稳定在30%~40%之间，也就是约$\frac{1}{3}$的位置，接下来只需逐一计算四个选项对应事件的概率，选出概率接近$\frac{1}{3}$的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可得，随着试验次数增加，该结果出现的频率稳定在约33%（即$\frac{1}{3}$）附近。
分别计算各选项事件的概率：
A. 袋子中共有2个白球+1个红球=3个球，任取一球取到红球的概率为$\frac{1}{3}\approx33.3\%$，与频率稳定值一致；
B. 掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能结果，出现1点的概率为$\frac{1}{6}\approx16.7\%$，不符合；
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率为$\frac{1}{2}=50\%$，不符合；
D. 任意写一个整数，能被2整除和不能被2整除的情况等可能，概率为$\frac{1}{2}=50\%$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算；折线统计图读取
【点评】
本题考查频率与概率的关系应用，解题的关键是掌握大量重复试验中频率会逐渐稳定在概率附近这一规律，结合简单概率计算即可得出答案，属于基础题。
【难度系数】
0.8
4. 某种幼树在相同条件下移植实验的结果如下表：
下列说法正确的是(
A.由于移植总数最大时成活的频率是0.902，所以这种条件下幼树成活的概率为0.902
B.由于表中成活的频率的平均数约为0.89，所以这种条件下幼树成活的概率为0.89
C.由于表中移植总数为1 500时，成活数为1 335，所以当植树3 000时，成活数为2 670
D.从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，可以估计幼树成活的概率为0.90
下列说法正确的是(
D
)。A.由于移植总数最大时成活的频率是0.902，所以这种条件下幼树成活的概率为0.902
B.由于表中成活的频率的平均数约为0.89，所以这种条件下幼树成活的概率为0.89
C.由于表中移植总数为1 500时，成活数为1 335，所以当植树3 000时，成活数为2 670
D.从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，可以估计幼树成活的概率为0.90
答案
4. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确用频率估计概率的核心原理：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定到某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。接下来我们逐一分析选项，判断各选项是否符合频率估计概率的要求，排除错误表述即可得到答案。
【解析】
根据用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率逐渐稳定在某个常数附近，该常数可作为事件概率的估计值。
选项A：概率是频率整体稳定的数值，不能仅取移植总数最大时的单次频率作为概率，该说法错误；
选项B：概率不是频率的平均数，是频率随试验次数增加逐渐趋近的稳定值，该说法错误；
选项C：用频率估计得到的是近似结果，不是确定结果，因此植树3000棵时成活数是估计值，不一定为2670，该说法错误；
选项D：观察表格数据，随着移植总数增加，成活的频率逐渐稳定在0.90左右，因此可以估计幼树成活的概率为0.90，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
用频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题重点考查对频率估计概率的理解，要注意只有当试验次数足够多时，稳定的频率值才能用来估计概率，单次频率、频率的平均值都不能直接等同于概率，且频率估计得到的是概率的近似值，不能确定某次试验的具体结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确用频率估计概率的核心原理：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定到某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。接下来我们逐一分析选项，判断各选项是否符合频率估计概率的要求，排除错误表述即可得到答案。
【解析】
根据用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率逐渐稳定在某个常数附近，该常数可作为事件概率的估计值。
选项A：概率是频率整体稳定的数值，不能仅取移植总数最大时的单次频率作为概率，该说法错误；
选项B：概率不是频率的平均数，是频率随试验次数增加逐渐趋近的稳定值，该说法错误；
选项C：用频率估计得到的是近似结果，不是确定结果，因此植树3000棵时成活数是估计值，不一定为2670，该说法错误；
选项D：观察表格数据，随着移植总数增加，成活的频率逐渐稳定在0.90左右，因此可以估计幼树成活的概率为0.90，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
用频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题重点考查对频率估计概率的理解，要注意只有当试验次数足够多时，稳定的频率值才能用来估计概率，单次频率、频率的平均值都不能直接等同于概率，且频率估计得到的是概率的近似值，不能确定某次试验的具体结果。
【难度系数】
0.8
