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如图,△ABC的顶点均在格点上,已知A(3,4),B(1,0),C(7,0),利用网格线在图中找一点P,使得PA=PB=PC,则点P的坐标为。
答案
解：
∵ PA=PB，
∴ 点P在AB的垂直平分线上，
∵ PB=PC，
∴ 点P在BC的垂直平分线上。
∵ B(1,0)，C(7,0)，
∴ BC的中点为(4,0)，BC在x轴上，
∴ BC的垂直平分线为直线x=4。
设点P坐标为(4,y)，由PA=PB得：
$\sqrt{(4-3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(4-1)^2+(y-0)^2}$
两边平方得：
$1+(y-4)^2=9+y^2$
整理得：
$1+y^2-8y+16=9+y^2$
解得y=1。
验证得$PA=PB=PC=\sqrt{10}$，符合要求。
∴ 点P的坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$。
∵ PA=PB，
∴ 点P在AB的垂直平分线上，
∵ PB=PC，
∴ 点P在BC的垂直平分线上。
∵ B(1,0)，C(7,0)，
∴ BC的中点为(4,0)，BC在x轴上，
∴ BC的垂直平分线为直线x=4。
设点P坐标为(4,y)，由PA=PB得：
$\sqrt{(4-3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(4-1)^2+(y-0)^2}$
两边平方得：
$1+(y-4)^2=9+y^2$
整理得：
$1+y^2-8y+16=9+y^2$
解得y=1。
验证得$PA=PB=PC=\sqrt{10}$，符合要求。
∴ 点P的坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$。
解析
【分析】
要找到满足$PA=PB=PC$的点P，根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知P是$△ ABC$三边垂直平分线的交点。我们先计算易求的BC边的垂直平分线：BC在x轴上，求出BC中点即可得到BC的垂直平分线为直线$x=4$，因此点P横坐标为4，设$P(4,y)$，再利用$PA=PB$列方程求解纵坐标即可。
【解析】
$\because PA=PB$，
$\therefore$点P在AB的垂直平分线上，
$\because PB=PC$，
$\therefore$点P在BC的垂直平分线上，
$\therefore$点P是AB和BC的垂直平分线的交点。
$\because B(1,0)$，$C(7,0)$，
$\therefore$BC的中点坐标为$(\frac{1+7}{2},0)$，即$(4,0)$，且BC在x轴上，
$\therefore$BC的垂直平分线为直线$x=4$，故可设点P的坐标为$(4,y)$。
由$PA=PB$，根据两点间距离公式可得：
$\sqrt{(4-3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(4-1)^2+(y-0)^2}$
两边平方去根号得：
$1+(y-4)^2=9+y^2$
展开整理得：
$1+y^2-8y+16=9+y^2$
消去$y^2$后解得：$y=1$。
经检验，此时$PA=PB=PC=\sqrt{10}$，符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{(4,1)}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线判定
2. 两点间距离公式
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线判定的应用，解题的关键是明确到三个点距离相等的点是三角形任意两条边垂直平分线的交点，先求解易算的线段的垂直平分线可大幅简化计算，结合坐标运算即可求出点的坐标。
【难度系数】
0.7
要找到满足$PA=PB=PC$的点P，根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知P是$△ ABC$三边垂直平分线的交点。我们先计算易求的BC边的垂直平分线：BC在x轴上，求出BC中点即可得到BC的垂直平分线为直线$x=4$，因此点P横坐标为4，设$P(4,y)$，再利用$PA=PB$列方程求解纵坐标即可。
【解析】
$\because PA=PB$，
$\therefore$点P在AB的垂直平分线上，
$\because PB=PC$，
$\therefore$点P在BC的垂直平分线上，
$\therefore$点P是AB和BC的垂直平分线的交点。
$\because B(1,0)$，$C(7,0)$，
$\therefore$BC的中点坐标为$(\frac{1+7}{2},0)$，即$(4,0)$，且BC在x轴上，
$\therefore$BC的垂直平分线为直线$x=4$，故可设点P的坐标为$(4,y)$。
由$PA=PB$，根据两点间距离公式可得：
$\sqrt{(4-3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(4-1)^2+(y-0)^2}$
两边平方去根号得：
$1+(y-4)^2=9+y^2$
展开整理得：
$1+y^2-8y+16=9+y^2$
消去$y^2$后解得：$y=1$。
经检验，此时$PA=PB=PC=\sqrt{10}$，符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{(4,1)}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线判定
2. 两点间距离公式
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线判定的应用，解题的关键是明确到三个点距离相等的点是三角形任意两条边垂直平分线的交点，先求解易算的线段的垂直平分线可大幅简化计算，结合坐标运算即可求出点的坐标。
【难度系数】
0.7
1.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=3$，$BC=4$，将$△ ABC$折叠，使点$C$与点$A$重合，折痕为$DE$，则$△ ABE$的周长为________。
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠后重合的对应边相等，因此可得AE=CE。接下来写出△ABE的周长公式：周长=AB+BE+AE，观察公式发现可将AE替换为CE，此时BE+CE恰好是BC的长度，即可将所求周长转化为AB与BC的和，代入已知数值即可算出结果，无需单独求解未知边的长度。
【解析】
解：根据折叠的性质，折叠后点C与点A重合，可得对应边AE=CE。
△ABE的周长 = AB + BE + AE
将AE替换为CE，可得：
△ABE的周长 = AB + BE + CE = AB + BC
已知AB=3，BC=4，代入得：
△ABE的周长 = 3 + 4 = 7
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
折叠的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，难度较低，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，通过等量替换将未知的线段和转化为已知线段的和，简化了计算步骤，避免了不必要的运算。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠后重合的对应边相等，因此可得AE=CE。接下来写出△ABE的周长公式：周长=AB+BE+AE，观察公式发现可将AE替换为CE，此时BE+CE恰好是BC的长度，即可将所求周长转化为AB与BC的和，代入已知数值即可算出结果，无需单独求解未知边的长度。
【解析】
解：根据折叠的性质，折叠后点C与点A重合，可得对应边AE=CE。
△ABE的周长 = AB + BE + AE
将AE替换为CE，可得：
△ABE的周长 = AB + BE + CE = AB + BC
已知AB=3，BC=4，代入得：
△ABE的周长 = 3 + 4 = 7
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
折叠的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，难度较低，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，通过等量替换将未知的线段和转化为已知线段的和，简化了计算步骤，避免了不必要的运算。
【难度系数】
0.8
2.如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF=GH，已知如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是()
A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
答案
A
解析
【分析】
要判断直线l是哪条线段的垂直平分线，需结合线段垂直平分线的判定条件：①直线与线段垂直；②直线经过线段的中点。首先由l是FG的垂直平分线，可知l与FG所在的直线EH垂直，因此对于EH上的所有线段，l都满足垂直的条件，接下来只需判断l经过哪条线段的中点即可。我们设l与EH的交点为O，由l是FG的垂直平分线可得FO=OG，再结合已知EF=GH，通过线段和差计算即可推导对应线段的中点位置，进而判断选项。
【解析】
设直线l与直线EH的交点为O。
1. 由直线l是线段FG的垂直平分线，可得：$l ⊥ FG$，且$FO=OG$；
2. 因为点E、F、G、H在同一条直线上，因此$l ⊥ EH$，满足垂直的判定条件；
3. 已知$EF=GH$，根据等式的性质可得：$EF + FO = GH + OG$，即$EO = OH$，说明O是线段EH的中点；
4. 结合$l ⊥ EH$且l经过EH的中点O，可知l是线段EH的垂直平分线，故A正确。
排除其他选项：
B选项：点Q在G、H之间，线段EQ的中点不在O点，因此l不是EQ的垂直平分线，B错误；
C选项：$FH=FG+GH$，$FO=\frac{1}{2}FG$，显然$FO ≠ \frac{1}{2}FH$，即O不是FH的中点，因此l不是FH的垂直平分线，C错误；
D选项：垂直平分线仅针对线段定义，直线l无限延伸，不存在垂直平分线，D错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定，线段和差计算
【点评】
本题考查线段垂直平分线的相关概念，解题关键是牢记线段垂直平分线的两个判定条件，结合已知线段相等关系推导中点位置，同时要注意只有线段才有垂直平分线，直线不存在垂直平分线，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
要判断直线l是哪条线段的垂直平分线，需结合线段垂直平分线的判定条件：①直线与线段垂直；②直线经过线段的中点。首先由l是FG的垂直平分线，可知l与FG所在的直线EH垂直，因此对于EH上的所有线段，l都满足垂直的条件，接下来只需判断l经过哪条线段的中点即可。我们设l与EH的交点为O，由l是FG的垂直平分线可得FO=OG，再结合已知EF=GH，通过线段和差计算即可推导对应线段的中点位置，进而判断选项。
【解析】
设直线l与直线EH的交点为O。
1. 由直线l是线段FG的垂直平分线，可得：$l ⊥ FG$，且$FO=OG$；
2. 因为点E、F、G、H在同一条直线上，因此$l ⊥ EH$，满足垂直的判定条件；
3. 已知$EF=GH$，根据等式的性质可得：$EF + FO = GH + OG$，即$EO = OH$，说明O是线段EH的中点；
4. 结合$l ⊥ EH$且l经过EH的中点O，可知l是线段EH的垂直平分线，故A正确。
排除其他选项：
B选项：点Q在G、H之间，线段EQ的中点不在O点，因此l不是EQ的垂直平分线，B错误；
C选项：$FH=FG+GH$，$FO=\frac{1}{2}FG$，显然$FO ≠ \frac{1}{2}FH$，即O不是FH的中点，因此l不是FH的垂直平分线，C错误；
D选项：垂直平分线仅针对线段定义，直线l无限延伸，不存在垂直平分线，D错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定，线段和差计算
【点评】
本题考查线段垂直平分线的相关概念，解题关键是牢记线段垂直平分线的两个判定条件，结合已知线段相等关系推导中点位置，同时要注意只有线段才有垂直平分线，直线不存在垂直平分线，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
3.如图,在△ABC中,∠C=40°,分别以点B和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交边AC于点D,连接BD,则∠ADB的度数为()
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
答案
C
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图：分别以B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，作过两弧交点的直线MN，该作图是作线段BC的垂直平分线。接下来利用线段垂直平分线的性质可得BD=CD，再由等边对等角得到∠DBC的度数，最后结合三角形外角的性质即可求出∠ADB的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的特征可知，直线MN是线段BC的垂直平分线；
2.
∵点D在BC的垂直平分线MN上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴BD=CD；
3. 根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠DBC=∠C=40°；
4.
∵∠ADB是△BCD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+40°=80°。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题将尺规作图与几何性质结合考查，解题的关键是先判断出MN是BC的垂直平分线，再依次运用相关几何性质推导计算，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
首先识别题中的尺规作图：分别以B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，作过两弧交点的直线MN，该作图是作线段BC的垂直平分线。接下来利用线段垂直平分线的性质可得BD=CD，再由等边对等角得到∠DBC的度数，最后结合三角形外角的性质即可求出∠ADB的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的特征可知，直线MN是线段BC的垂直平分线；
2.
∵点D在BC的垂直平分线MN上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴BD=CD；
3. 根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠DBC=∠C=40°；
4.
∵∠ADB是△BCD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+40°=80°。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题将尺规作图与几何性质结合考查，解题的关键是先判断出MN是BC的垂直平分线，再依次运用相关几何性质推导计算，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,分别以点B和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若$AB=7$,$AC=12$,$BC=6$,则$△ ABD$的周长为()
A.25
B.22
C.19
D.18
A.25
B.22
C.19
D.18
答案
C
解析
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可识别出直线MN是线段BC的垂直平分线，这是解题的切入点；再结合线段垂直平分线的性质，得到BD=CD的等量关系；最后观察△ABD的周长由AB、AD、BD三条边组成，将BD替换为CD后，AD+CD恰好等于AC，即可将△ABD的周长转化为AB与AC的和，代入已知数值计算即可，题干给出的BC长度是干扰条件，解题时无需使用。
【解析】
解：由尺规作图的过程可知，直线MN是线段BC的垂直平分线。
∵点D在MN上，根据线段垂直平分线的性质可得：BD=CD。
△ABD的周长=AB+AD+BD，将BD替换为CD得：
△ABD的周长=AB+AD+CD=AB+(AD+CD)=AB+AC。
已知AB=7，AC=12，代入得：
△ABD的周长=7+12=19。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 尺规作图识别
【点评】
本题核心是通过识别尺规作图的类型，结合线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，是线段垂直平分线性质的典型应用题型，解题时要注意排除无关条件的干扰。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可识别出直线MN是线段BC的垂直平分线，这是解题的切入点；再结合线段垂直平分线的性质，得到BD=CD的等量关系；最后观察△ABD的周长由AB、AD、BD三条边组成，将BD替换为CD后，AD+CD恰好等于AC，即可将△ABD的周长转化为AB与AC的和，代入已知数值计算即可，题干给出的BC长度是干扰条件，解题时无需使用。
【解析】
解：由尺规作图的过程可知，直线MN是线段BC的垂直平分线。
∵点D在MN上，根据线段垂直平分线的性质可得：BD=CD。
△ABD的周长=AB+AD+BD，将BD替换为CD得：
△ABD的周长=AB+AD+CD=AB+(AD+CD)=AB+AC。
已知AB=7，AC=12，代入得：
△ABD的周长=7+12=19。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 尺规作图识别
【点评】
本题核心是通过识别尺规作图的类型，结合线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，是线段垂直平分线性质的典型应用题型，解题时要注意排除无关条件的干扰。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若$∠ A=60°$,$∠ ACF=48°$,则$∠ ABC$的度数为()
A.$48°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$24°$
A.$48°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$24°$
答案
A
解析
【分析】
解题时可先利用角平分线的性质设未知角，再结合线段垂直平分线的性质得到相等的角，最后根据三角形内角和为180°列方程求解。具体思路：1. 设∠ABD为x，由角平分线定义得∠CBD=x，∠ABC=2x；2. 由垂直平分线性质得FB=FC，推出∠FCB=∠CBD=x；3. 表示出△ABC三个内角，代入内角和公式列方程求解x，即可得到∠ABC的度数。
【解析】
设∠ABD=x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=x，∠ABC=2x。
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FCB=∠CBD=x。
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
其中∠ACB=∠ACF + ∠FCB=48°+x，∠A=60°，代入得：
60° + 2x + 48° + x = 180°，
合并同类项得：3x + 108° = 180°，
解得：x=24°，
∴∠ABC=2x=2×24°=48°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的典型题型，将方程思想与几何性质结合考查，解题关键是准确梳理图中角的等量关系，灵活运用相关性质列式计算。
【难度系数】
0.7
解题时可先利用角平分线的性质设未知角，再结合线段垂直平分线的性质得到相等的角，最后根据三角形内角和为180°列方程求解。具体思路：1. 设∠ABD为x，由角平分线定义得∠CBD=x，∠ABC=2x；2. 由垂直平分线性质得FB=FC，推出∠FCB=∠CBD=x；3. 表示出△ABC三个内角，代入内角和公式列方程求解x，即可得到∠ABC的度数。
【解析】
设∠ABD=x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=x，∠ABC=2x。
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FCB=∠CBD=x。
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
其中∠ACB=∠ACF + ∠FCB=48°+x，∠A=60°，代入得：
60° + 2x + 48° + x = 180°，
合并同类项得：3x + 108° = 180°，
解得：x=24°，
∴∠ABC=2x=2×24°=48°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的典型题型，将方程思想与几何性质结合考查，解题关键是准确梳理图中角的等量关系，灵活运用相关性质列式计算。
【难度系数】
0.7
6.如图,在△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,且∠EAB：∠CAE=3:1,则∠C等于()
A.28°
B.25°
C.22.5°
D.20°
A.28°
B.25°
C.22.5°
D.20°
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察到DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE，再由等边对等角推出∠EAC=∠C，将∠C和已知的角度比例建立关联；接下来看到∠EAB和∠CAE的比例关系，采用设未知数的方法表示各个角，最后利用三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C。
设∠CAE=x，则∠C=x，
∵∠EAB:∠CAE=3:1，
∴∠EAB=3x，
∴∠BAC=∠EAB+∠CAE=3x+x=4x。
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，已知∠B=40°，代入得：
40°+4x+x=180°
5x=140°
x=28°
即∠C=28°。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的常规题型，解题核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到等角，结合比例设元后利用三角形内角和建立方程，能够帮助学生掌握方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE，再由等边对等角推出∠EAC=∠C，将∠C和已知的角度比例建立关联；接下来看到∠EAB和∠CAE的比例关系，采用设未知数的方法表示各个角，最后利用三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C。
设∠CAE=x，则∠C=x，
∵∠EAB:∠CAE=3:1，
∴∠EAB=3x，
∴∠BAC=∠EAB+∠CAE=3x+x=4x。
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，已知∠B=40°，代入得：
40°+4x+x=180°
5x=140°
x=28°
即∠C=28°。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的常规题型，解题核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到等角，结合比例设元后利用三角形内角和建立方程，能够帮助学生掌握方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
