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10. 如图2.3-3，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{2}$的长方形，接着把其中一个面积为$\frac{1}{2}$的长方形等分成两个面积为$\frac{1}{4}$的正方形，再把其中一个面积为$\frac{1}{4}$的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{8}$的长方形……如此进行下去.
（1）试利用图形揭示规律，计算：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+…+\frac{1}{2^n}=$
（2）请你再设计一个能求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$的值的几何图形.
图2.3-3
（1）试利用图形揭示规律，计算：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+…+\frac{1}{2^n}=$
$1-\dfrac{1}{2^n}$
，并使用代数方法说明你的结论正确（提示：参考第9题）；（2）请你再设计一个能求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$的值的几何图形.
图2.3-3
答案
10. 解：(1) $1-\dfrac{1}{2^n}$ 说明如下：令 $S= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}+…+\dfrac{1}{2^n}$，
则 $2S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+…+\dfrac{1}{2^{n-1}}$，
用②式减去①式，得 $S=1-\dfrac{1}{2^n}.$
(2) 如图：(答案不唯一)
