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1. (2024·青海)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD= 2,则点P到OA的距离是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
C
解析
∵OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OB，PD=2，
∴点P到OA的距离等于PD=2。
C
2. 在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,F为AC上的一点,且∠DFA= 100°,则下列结论正确的是( )
A.DE＞DF
B.DE＜DF
C.DE= DF
D.无法确定DE,DF长度的大小关系
A.DE＞DF
B.DE＜DF
C.DE= DF
D.无法确定DE,DF长度的大小关系
答案
B
解析
过点D作DG⊥AC于点G。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DG⊥AC，
∴DE=DG（角平分线的性质）。
在Rt△DGF中，∠DGF=90°，∠DFA=100°，
则∠DFG=180°-∠DFA=80°，
∴∠FDG=90°-∠DFG=10°，
∴DG=DF·cos∠FDG=DF·cos10°。
∵cos10°＜1，
∴DG＜DF，即DE＜DF。
B
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DG⊥AC，
∴DE=DG（角平分线的性质）。
在Rt△DGF中，∠DGF=90°，∠DFA=100°，
则∠DFG=180°-∠DFA=80°，
∴∠FDG=90°-∠DFG=10°，
∴DG=DF·cos∠FDG=DF·cos10°。
∵cos10°＜1，
∴DG＜DF，即DE＜DF。
B
3. 如图,∠AOB= 70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D.若QC= QD,则∠AOQ的度数为______.
答案
35°
解析
∵QC⊥OA，QD⊥OB，QC=QD，
∴OQ平分∠AOB，
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ=$\frac{1}{2}$∠AOB=35°．
35°
4. 在△ABC中,AB= 4,AC= 3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比为______.
答案
4:3
解析
过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF。
∵S△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DE，S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DF，
∴$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot DE}{\frac{1}{2}AC\cdot DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$。
4:3
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF。
∵S△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DE，S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DF，
∴$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot DE}{\frac{1}{2}AC\cdot DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$。
4:3
5. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,利用直尺和圆规在BC上找一点D,使点D到AB的距离等于DC的长度(不写作法,保留作图痕迹).
答案
如图，点D即为所求 解析:作∠CAB的平分线交BC 于点D即可.
6. 如图,CE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,CE,BF相交于点D,且BD= CD.求证:点D在∠BAC的平分线上.
答案
∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.在△DEB和△DFC中，∠DEB=∠DFC，∠EDB=∠FDC，BD=CD，
∴△DEB≌△DFC(AAS)，
∴DE=DF.又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴点D在∠BAC的平分线上
