1. (2024·宿城期中)下列四组数据中,能作为直角三角形三边长的是 ( )

A.$3^2,4^2,5^2$
B.$1,\frac{4}{3},\frac{5}{3}$
C.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
D.7,12,13

B

A.$(3^{2})^{2}+(4^{2})^{2}=81+256=337$，$(5^{2})^{2}=625$，$337\neq625$，不能作为直角三角形三边长；
B.$1^{2}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$，$\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$，$\frac{25}{9}=\frac{25}{9}$，能作为直角三角形三边长；
C.$\left(\frac{1}{5}\right)^{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{25}+\frac{1}{16}=\frac{41}{400}$，$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}\neq\frac{1}{9}$，不能作为直角三角形三边长；
D.$7^{2}+12^{2}=49+144=193$，$13^{2}=169$，$193\neq169$，不能作为直角三角形三边长。
B

2. (新考向·传统文化)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:有一块三角形沙田,三条边的长分别为5里、12里、13里,这块沙田的面积有多大? 其中,1里= 500米,则该沙田的面积为 ( )

A.7.5平方千米
B.15平方千米
C.75平方千米
D.750平方千米

A

因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144=169=13^{2}$，所以该三角形沙田是直角三角形，直角边长为5里和12里。
面积为$\frac{1}{2}×5×12 = 30$（平方里）。
因为1里=500米，所以1平方里$=(500米)^{2}=250000$平方米$=0.25$平方千米。
则30平方里$=30×0.25 = 7.5$平方千米。
A

3. 在下列横线上填上一个数,使各组中的三个数成为勾股数.
(1) 6,______,10；
(2) 7,24,______；
(3) 8,______,17；
(4) ______,40,41.

（1）8 （2）25 （3）15 （4）9

4. (2023·泗阳期末)若三角形的三边长分别为5,12,13,则最长边上的中线长为______.

$\frac{13}{2}$

因为$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2}$，所以该三角形是直角三角形，斜边长为$13$。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以最长边上的中线长为$\frac{13}{2}$。
$\frac{13}{2}$

5. 若一个三角形三边的长分别为15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高为______cm.

12

因为$15^{2} + 20^{2} = 225 + 400 = 625 = 25^{2}$，所以该三角形是直角三角形，最长边为斜边，长度为25 cm。
设最长边上的高为$h$ cm，根据三角形面积公式，直角三角形面积为两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上高乘积的一半，可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
$150 = \frac{25}{2}h$
$h = 150 × \frac{2}{25} = 12$
12

6. (教材 P96 习题第1题变式)已知$\triangle ABC的三边长分别为a= m^2-n^2$,$b= 2mn$,$c= m^2+n^2$,其中,m,n 是正整数,且$m＞n$.求证:$\triangle ABC$是直角三角形.

$\because a^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4},b^{2}=(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2},c^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4},\therefore a^{2}+b^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=c^{2},\therefore \triangle ABC$是直角三角形

7. (教材 P95 例2变式)如图,AD 为$\triangle ABC$的中线,且$AC= 13$,$BC= 10$,$AD= 12$,求$\triangle ABD$的周长.
]

$\because AD$为$\triangle ABC$的中线，$BC=10,\therefore BD=CD=5.\because AC=13,AD=12,\therefore AD^{2}+CD^{2}=12^{2}+5^{2}=169,AC^{2}=13^{2}=169,\therefore AD^{2}+CD^{2}=AC^{2},\therefore \angle ADC=90^{\circ }.\because \angle ADC+\angle ADB=180^{\circ },\therefore \angle ADB=90^{\circ },\therefore$在$Rt\triangle ADB$中，$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，即$12^{2}+5^{2}=AB^{2},\therefore AB^{2}=169,\therefore AB=13,\therefore \triangle ABD$的周长为$5+12+13=30$

8. 在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边长分别是a,b,c,下列条件不能判断$\triangle ABC$为直角三角形的是 ( )

A.$a+b＞c$
B.$c^2= b^2-a^2$
C.$(c-a)(c+a)= b^2$
D.$\angle A= \angle B-\angle C$

A