9. (2023·济宁)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD 交于点F.若$\angle CFB= \alpha$,则$\angle ABE$的度数为 ( )

A.$180^\circ-\alpha$
B.$180^\circ-2\alpha$
C.$90^\circ+\alpha$
D.$90^\circ+2\alpha$
]

C

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 10$,$AC= 8$,$BC= 6$,DE 是AC 的垂直平分线,DE 交AB 于点D,连接CD,则 CD 的长为______.
]

5

∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=EC=4。
设CD=AD=x，则BD=AB-AD=10-x。
∵AC=8，BC=6，AB=10，
∴AC²+BC²=8²+6²=64+36=100=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
在Rt△BCD中，CD²=BC²+BD²，
即x²=6²+(10-x)²，
x²=36+100-20x+x²，
20x=136，
x=6.8。
1

11. 下表中每行所给的三个数a,b,c 均满足$a＜b＜c$,则根据表中已有数据的规律,可得出:当$a= 20$时,b 的值为______,c 的值为______.
|6,8,10|$8,15,17$|10,24,26|...|20,b,c|
|$6^2+8^2= 10^2$|$8^2+15^2= 17^2$|$10^2+24^2= 26^2$|...|$20^2+b^2= c^2$|

99 101

观察表格中数据：
当$a=6$时，$b=8$，$c=10$，且$c - b=2$；
当$a=8$时，$b=15$，$c=17$，且$c - b=2$；
当$a=10$时，$b=24$，$c=26$，且$c - b=2$。
可得出规律：$c = b + 2$。
已知$a=20$，且$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，将$c = b + 2$代入可得：
$20^{2}+b^{2}=(b + 2)^{2}$
展开等式右边：$(b + 2)^{2}=b^{2}+4b + 4$
则有：
$400 + b^{2}=b^{2}+4b + 4$
化简得：
$400=4b + 4$
解得：
$4b=396\quad\Rightarrow\quad b = 99$
$c = b + 2=99 + 2=101$
99 101

12. 如图,小明爸爸在鱼池边开辟了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算这块土地的面积,以便估算产量.小明测得$AB= 8m$,$AD= 6m$,$CD= 24m$,$BC= 26m$,$\angle A= 90^\circ$.求这块土地的面积.
]

连接BD.$\because \angle A=90^{\circ },\therefore BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}=100\ m^{2}.\because 100+24^{2}=676=26^{2},\therefore BD^{2}+CD^{2}=BC^{2},\therefore \angle CDB=90^{\circ },\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle CBD}=\frac{1}{2}AD\cdot AB+\frac{1}{2}BD\cdot CD=\frac{1}{2}×6×8+\frac{1}{2}×10×24=144(m^{2}),\therefore$这块土地的面积为$144\ m^{2}$

连接$BD$。
$\because \angle A = 90^\circ$，
$\therefore BD^2 = AD^2 + AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
$\therefore BD = 10\ m$。
$\because BD^2 + CD^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，$BC^2 = 26^2 = 676$，
$\therefore BD^2 + CD^2 = BC^2$，
$\therefore \angle CDB = 90^\circ$。
$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ADB} + S_{\triangle CBD}$
$= \frac{1}{2} × AD × AB + \frac{1}{2} × BD × CD$
$= \frac{1}{2} × 6 × 8 + \frac{1}{2} × 10 × 24$
$= 24 + 120 = 144\ m^2$。
这块土地的面积为$144\ m^2$。

13. 如图,P 是等边三角形ABC 内的一点,$PA= 6$,$PB= 8$,$PC= 10$.若$P'是\triangle ABC$外的一点,且$\triangle P'AB\cong\triangle PAC$,求点 P 与点$P'之间的距离及\angle APB$的度数.
]

连接$PP'$.$\because \triangle P'AB\cong\triangle PAC,\therefore \angle BAP'=\angle CAP,AP'=AP=6,P'B=PC=10.\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore \angle BAC=\angle CAP+\angle PAB=60^{\circ },\therefore \angle P'AP=\angle BAP'+\angle PAB=60^{\circ },\therefore \triangle P'AP$是等边三角形，$\therefore AP=AP'=P'P=6,\angle APP'=60^{\circ },\therefore$点P与点$P'$之间的距离为6.$\because P'P^{2}+PB^{2}=6^{2}+8^{2}=100,P'B^{2}=10^{2}=100,\therefore P'P^{2}+PB^{2}=P'B^{2},\therefore \angle P'PB=90^{\circ },\therefore \angle APB=\angle P'PB+\angle APP'=150^{\circ }$

连接$PP'$。
$\because \triangle P'AB \cong \triangle PAC$，
$\therefore \angle BAP' = \angle CAP$，$AP' = AP = 6$，$P'B = PC = 10$。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle BAC = 60^\circ$，即$\angle CAP + \angle PAB = 60^\circ$，
$\therefore \angle P'AP = \angle BAP' + \angle PAB = 60^\circ$。
$\because AP' = AP$，$\angle P'AP = 60^\circ$，
$\therefore \triangle P'AP$是等边三角形，
$\therefore PP' = AP = 6$，$\angle APP' = 60^\circ$。
$\because P'P^2 + PB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$P'B^2 = 10^2 = 100$，
$\therefore P'P^2 + PB^2 = P'B^2$，
$\therefore \angle P'PB = 90^\circ$。
$\therefore \angle APB = \angle APP' + \angle P'PB = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$。
点$P$与点$P'$之间的距离为$6$，$\angle APB$的度数为$150^\circ$。