9. 如图,在正方形网格中,每个小正方形网格的边长均为1,点A、B、C、D均在格点上.
(1)判断△ACD的形状,并说明理由.
(2)求四边形ABCD的面积.

(第9题图)

9. (1)$△ ACD$ 为直角三角形.
理由:根据题意,得
$AC^2=3^2+3^2=18,CD^2=2^2+2^2=8,AD^2=1^2+5^2=26,$
$\therefore \quad AC^2+CD^2=AD^2.$
$\therefore \quad △ ACD$ 为直角三角形,且 $∠ ACD=90°.$
(2) 在 Rt $△ ABC$ 中, $AB = AC = 3$ , $∠ ABC = 90°,$
$\therefore \quad S_{\mathrm{Rt}△ ABC} =\frac{1}{2}AB · BC$
$=\frac{1}{2} × 3 × 3 =\frac{9}{2}.$
在 Rt$△ ACD$ 中, $AC=\sqrt{18},CD=\sqrt{8},$
$\therefore \quad S_{\mathrm{Rt}△ ACD} =\frac{1}{2}AC · CD$
$=\frac{1}{2} × \sqrt{18} × \sqrt{8} =6.$
$\therefore \quad S_{\mathrm{四边形}ABCD} =S_{\mathrm{Rt}△ ABC} +S_{\mathrm{Rt}△ ACD}$
$=\frac{9}{2}+6 =\frac{21}{2}.$

10. 健身运动热潮席卷全国,更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑,他们跑步的路线如图所示,已知从点A到点D有两条路线,分别是A→B→D和A→C→D.已知AB=160 m,AC=200 m,点C在点B的正东方120 m处,点D在点C的正北方50 m处.
(1)试判断AB与BC的位置关系,并说明理由.
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑,爸爸沿着A→B→D的路线跑,请你通过计算比较谁跑的路线更短.

10. (1)$AB ⊥ BC.$
理由:根据题意,$AB = 160\ \mathrm{m},AC = 200\ \mathrm{m},BC = 120\ \mathrm{m},$
$\because \quad AB^2+BC^2=160^2+120^2=200^2=AC^2,$
$\therefore \quad △ ABC$ 是直角三角形,且 $∠ ABC=90°.$
$\therefore \quad AB ⊥ BC.$
(2)根据题意可知 $BC ⊥ CD,CD=50\ \mathrm{m},$
在 Rt$△ BCD$ 中,由勾股定理,得
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2} =\sqrt{120^2+50^2} =130(\mathrm{m}).$
$\therefore \quad AB+BD=160+130=290(\mathrm{m}),$
$AC+CD=200+50=250(\mathrm{m}).$
$\because \quad 290＞250,$
$\therefore \quad AB+BD＞AC+CD.$
$\therefore \quad$ 小亮跑的路线更短.

11. 所谓的勾股数就是指使等式$a^2 + b^2 = c^2$成立的任意三个正整数. 我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法,对于任意正整数$m、n(m＞n)$,取$a=m^2 -n^2, b=2mn, c=m^2 +n^2$,则$a、b、c$就是一组勾股数.结合这种方法,可知85(三个数中最大)、84和可以组成一组勾股数.

11. 13

12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=4,AC=3,DE$是$BC$边的垂直平分线,交$BC$于点$D$,交$AB$于点$E$,$AF ⊥ BC$于点$F$.
关于$△ ABC$的形状,小明和小亮展开以下讨论:
小明:如果$△ ABC$是直角三角形,且$∠ BAC=90°$,那么我可以求出$AE$的长.
我的思路是这样的:如图,连结$CE$.
设$AE=x$,则$BE=4-x$.
$\because DE$是$BC$的垂直平分线,
$\therefore CE=BE=4-x$.
……
小亮:如果$DF$的长为$\dfrac{7}{10}$,那么此时$△ ABC$是直角三角形.

(第12题图)
(1)请补充完整小明的求解过程.
(2)请判断小亮的说法是否正确?并说明理由.

12. (1)补充如下:
$\because \quad ∠ BAC=90°,AC=3,AB=4,$
$\therefore \quad AE^2+AC^2=CE^2,$
即 $x^2+3^2=(4-x)^2.$
解得 $x=\frac{7}{8},$
即 $AE=\frac{7}{8}.$
(2)小亮的说法正确.
理由:设 $BD=y$ ,则 $CD=y.$
$\because \quad DF=\frac{7}{10},$
$\therefore \quad BF=y+\frac{7}{10},CF=y-\frac{7}{10}.$
$\because \quad AF ⊥ BC,$
$\therefore \quad AB^2-BF^2=AC^2-CF^2=AF^2,$
即 $4^2-(y+\frac{7}{10})^2 =3^2-(y-\frac{7}{10})^2.$
解得 $y=\frac{5}{2}.$
$\therefore \quad BC=5.$
$\because \quad AB^2+AC^2=4^2+3^2=5^2=BC^2,$
$\therefore \quad △ ABC$ 为直角三角形.