1. 如图，直线$ l $经过点$ A $，直线$ l // BC $.
(1)如图1，若$ ∠ B = 45° $，$ ∠ C = 55° $，则$ ∠ 1 = $°，$ ∠ BAC = $°.
(2)如图2，若$ △ ABC $是等边三角形，过点$ B $作$ BM ⊥ AC $并延长，交$ AC $于点$ M $，交直线$ l $于点$ N $，猜想$ AC $与$ AN $有怎样的数量关系，并说明理由.

(第1题图)

1. (1)45 80
(2)$AC=AN$.
理由:$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore BA=BC=AC,∠ ABC=60°$.
$\because BM⊥ AC$,
$\therefore ∠ CBM = ∠ ABM=\frac{1}{2}∠ ABC$
$=\frac{1}{2}×60°=30°$.
$\because AN// BC$,
$\therefore ∠ ANB=∠ CBM=30°$.
$\therefore ∠ ANB=∠ ABM$.
$\therefore AN=AB$.
$\therefore AN=AC$.

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,点E在AD上,连结BE,CE.
(1)求证:$∠ 1=∠ 2$.
(2)若$∠ BAC=40°$,$∠ 1=35°$,求证:CE平分$∠ ACB$.

(第2题图)

2. (1)$\because AB=AC$,D是BC的中点,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
$\because$ 点E在AD上,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$.
在$△ BAE$和$△ CAE$中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ BAE ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ 1=∠ 2$.
(2)$\because AB=AC,∠ BAC=40°$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ ABC=\frac{1}{2}×(180°-40°)$
$=70°$.
$\because ∠ 1=∠ 2=35°$,
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB-∠ 2=70°-35°$
$=35°$.
$\therefore ∠ 2=∠ BCE$.
$\therefore CE$平分$∠ ACB$.

3. 为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树A恰好在点B的正北方向.
测量方案如下表：
| 课题 | 测量河流宽度 |
| --- | --- |
| 工具 | 测量角度的仪器、标杆、皮尺等 |
| 小组 | 第一小组 | 第二小组 | 第三小组 |
| 测量方案 | 观测者从点B向东走到点C，此时测得$∠ ACB=45°$. | 观测者从点B向东走到点O，在点O插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一条直线上. | 观测者从点B出发，沿着南偏西$70°$（$∠ DBC = 70°$）的方向走到点C，此时恰好测得$∠ ACB=35°$. |
| 测量示意图 | | | |
(1)第一小组认为要知道河宽AB，只需要测出线段的长度即可.
(2)第二小组测得$CD = 30 \mathrm{ m}$, 则$AB =$ $\mathrm{ m}$.
(3)第三小组认为只要测得BC的长度就能得到河宽AB. 你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给予证明；如果不可行，请说明理由.

3. (1)$BC$
(2)$30$
(3)方案可行.
证明:$\because ∠ DBC=70°,∠ ACB=35°$,
$\therefore ∠ BAC = ∠ DBC-∠ ACB=70°-35°$
$=35°$.
$\therefore ∠ BAC=∠ ACB=35°$.
$\therefore AB=BC$.
$\therefore$ 只要测得$BC$的长度就能得到河宽$AB$.