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【问题提出】三条线段首尾顺次相接组成三角形，类似地，多条线段首尾顺次相接就组成多边形. 容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢？
【问题探究】观察图①，并寻找规律.
图①
(1)请根据你发现的规律填写下表：
| 多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 分成的三角形个数 | 1 | 图2 | | | … | |
【问题迁移】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分. 图②给出了七边形的三角剖分的几种方法.
图②
(2)将一个四边形进行三角剖分，有多少种剖分方法？五边形呢？画图说明所有的三角剖分方法；
(3)1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了一个$n$边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了$n$边形的不同三角剖分方法数($D_n$)的公式. 后来数学家发现并证明：当$n≥3$时，$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}(D_3=1)$. 请你利用上述公式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数.
【问题探究】观察图①，并寻找规律.
图①
(1)请根据你发现的规律填写下表：
| 多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 分成的三角形个数 | 1 | 图2 | | | … | |
【问题迁移】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分. 图②给出了七边形的三角剖分的几种方法.
图②
(2)将一个四边形进行三角剖分，有多少种剖分方法？五边形呢？画图说明所有的三角剖分方法；
(3)1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了一个$n$边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了$n$边形的不同三角剖分方法数($D_n$)的公式. 后来数学家发现并证明：当$n≥3$时，$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}(D_3=1)$. 请你利用上述公式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数.
答案
(1) 四边形分成的三角形个数为2，五边形为3，六边形为4，n边形为$n-2$
(2) 略
(3) 解：由题意可知，$D_3 = 1$. 当 $n = 3$ 时，$\frac{D_4}{D_3} = \frac{4×3-6}{3}=2$，$\therefore D_4=2$. 当 $n=4$ 时，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$，$\therefore D_5=5$. 故得到的结果与(2)中的相同. 当 $n=5$ 时，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，$\therefore D_6=14$. 当 $n=6$ 时，$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，$\therefore D_7=42$. $\therefore$ 六边形、七边形的三角剖分方法数分别是14，42.
(2) 略
(3) 解：由题意可知，$D_3 = 1$. 当 $n = 3$ 时，$\frac{D_4}{D_3} = \frac{4×3-6}{3}=2$，$\therefore D_4=2$. 当 $n=4$ 时，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$，$\therefore D_5=5$. 故得到的结果与(2)中的相同. 当 $n=5$ 时，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，$\therefore D_6=14$. 当 $n=6$ 时，$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，$\therefore D_7=42$. $\therefore$ 六边形、七边形的三角剖分方法数分别是14，42.
解析
【分析】
1. 第(1)问：观察已知的边数与对应三角形个数的关系，边数3对应1、边数4对应2，可发现规律为“分成的三角形个数=多边形边数-2”，据此可直接推导五边形、六边形及n边形的对应数值。
2. 第(2)问：三角剖分要求连接不相邻顶点且线段不在内部相交，四边形仅能选择2条对角线中的1条分割，因此有2种方法；五边形通过枚举所有不重复的剖分方案，可得5种方法，画图时注意不重不漏即可。
3. 第(3)问：已知初始值$D_3=1$和递推公式，只需依次将n=3、4、5、6代入公式，逐步计算即可先验证前两问的结果，再推出六边形、七边形的剖分方法数。
【解析】
(1) 由观察可得规律：多边形分成的三角形个数=边数-2。
因此五边形分成的三角形个数为$5-2=3$，六边形为$6-2=4$，n边形为$n-2$。
(2) 四边形三角剖分：任选1条对角线分割即可，共2种剖分方法；五边形的三角剖分共有5种，画出所有符合要求的剖分方案即可。
(3) 已知$D_3=1$，递推公式为$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$：
当$n=3$时，$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$，则$D_4=2×1=2$，与四边形剖分结果一致；
当$n=4$时，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$，则$D_5=\frac{5}{2}×2=5$，与五边形剖分结果一致，验证正确；
当$n=5$时，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，则$D_6=\frac{14}{5}×5=14$；
当$n=6$时，$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，则$D_7=3×14=42$。
【答案】
(1) 3，4，$n-2$；
(2) 四边形有2种剖分方法，五边形有5种剖分方法，画图略；
(3) 六边形三角剖分方法数为14，七边形为42。
【知识点】
多边形性质，规律探究，递推计算
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，从基础的多边形分割入手，逐步引导学生探究三角剖分的规律，既考查了观察归纳能力，又结合递推公式考查了运算应用能力，有助于培养数学探究思维。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问：观察已知的边数与对应三角形个数的关系，边数3对应1、边数4对应2，可发现规律为“分成的三角形个数=多边形边数-2”，据此可直接推导五边形、六边形及n边形的对应数值。
2. 第(2)问：三角剖分要求连接不相邻顶点且线段不在内部相交，四边形仅能选择2条对角线中的1条分割，因此有2种方法；五边形通过枚举所有不重复的剖分方案，可得5种方法，画图时注意不重不漏即可。
3. 第(3)问：已知初始值$D_3=1$和递推公式，只需依次将n=3、4、5、6代入公式，逐步计算即可先验证前两问的结果，再推出六边形、七边形的剖分方法数。
【解析】
(1) 由观察可得规律：多边形分成的三角形个数=边数-2。
因此五边形分成的三角形个数为$5-2=3$，六边形为$6-2=4$，n边形为$n-2$。
(2) 四边形三角剖分：任选1条对角线分割即可，共2种剖分方法；五边形的三角剖分共有5种，画出所有符合要求的剖分方案即可。
(3) 已知$D_3=1$，递推公式为$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$：
当$n=3$时，$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$，则$D_4=2×1=2$，与四边形剖分结果一致；
当$n=4$时，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$，则$D_5=\frac{5}{2}×2=5$，与五边形剖分结果一致，验证正确；
当$n=5$时，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，则$D_6=\frac{14}{5}×5=14$；
当$n=6$时，$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，则$D_7=3×14=42$。
【答案】
(1) 3，4，$n-2$；
(2) 四边形有2种剖分方法，五边形有5种剖分方法，画图略；
(3) 六边形三角剖分方法数为14，七边形为42。
【知识点】
多边形性质，规律探究，递推计算
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，从基础的多边形分割入手，逐步引导学生探究三角剖分的规律，既考查了观察归纳能力，又结合递推公式考查了运算应用能力，有助于培养数学探究思维。
【难度系数】
0.65
