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【项目主题】确定匀质薄板的重心位置.
【项目背景】在学习三角形时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处. 重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫作物体的重心. 如图①，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心O处将纸板提起来，那么纸板就会处于水平状态. 关于三角形的重心还有哪些性质呢？
【问题探究】
探究一：
(1)如图②，AD是$△ ABC$的中线，可以得到：$S_{△ ABD}$
(2)如图③，点O为$△ ABC$的重心，若$△ AOB$的面积为$a$，求$△ BOC$的面积及$\frac{AO}{DO}$的值；
(3)如图④，在$△ ABC$中，点O是$△ ABC$的重心. 连接BO，CO并延长，分别交AC，AB于点D，E. 若$BD ⊥ CE$，$BD=9$，$CE=12$，结合(2)中的结论，四边形AEOD的面积为
探究二：
莞莞向初初提出这样一个问题：四边形有没有重心？若有，它的重心如何确定呢？初初查阅了相关资料后，得到如下的信息：Ⅰ. 四边形有重心，其中长方形的重心在其对角线的交点处(如图⑤)；Ⅱ. 在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C(无缝隙、不重叠)，那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心所连的直线上.
(4)请在图⑥中画出该图形重心所在的直线；(仅用直尺作图，保留作图痕迹)
探究三：
由相关资料可知，按照以下步骤作图，可确定任意四边形的重心位置.
步骤1：如图⑦，连接四边形ABCD的一条对角线AC，将四边形ABCD分成两个三角形(即$△ ABC$，$△ ACD$)，分别作$△ ABC$，$△ ACD$的重心(三角形三条中线的交点)$G_1$和$G_2$；
步骤2：如图⑦，连接四边形ABCD的另一条对角线BD，将四边形ABCD分成两个三角形(即$△ ABD$，$△ BCD$)，分别作$△ ABD$，$△ BCD$的重心$G_3$和$G_4$；
步骤3：连接$G_1G_2$，$G_3G_4$，两条线段相交于点G，则点G就是四边形ABCD的重心.
(5)请你按照上面的步骤作出如图⑧所示的平行四边形ABCD的重心G.
【项目背景】在学习三角形时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处. 重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫作物体的重心. 如图①，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心O处将纸板提起来，那么纸板就会处于水平状态. 关于三角形的重心还有哪些性质呢？
【问题探究】
探究一：
(1)如图②，AD是$△ ABC$的中线，可以得到：$S_{△ ABD}$
=
$S_{△ ACD}$；(填“＞”“＜”或“=”)(2)如图③，点O为$△ ABC$的重心，若$△ AOB$的面积为$a$，求$△ BOC$的面积及$\frac{AO}{DO}$的值；
(3)如图④，在$△ ABC$中，点O是$△ ABC$的重心. 连接BO，CO并延长，分别交AC，AB于点D，E. 若$BD ⊥ CE$，$BD=9$，$CE=12$，结合(2)中的结论，四边形AEOD的面积为
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；探究二：
莞莞向初初提出这样一个问题：四边形有没有重心？若有，它的重心如何确定呢？初初查阅了相关资料后，得到如下的信息：Ⅰ. 四边形有重心，其中长方形的重心在其对角线的交点处(如图⑤)；Ⅱ. 在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C(无缝隙、不重叠)，那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心所连的直线上.
(4)请在图⑥中画出该图形重心所在的直线；(仅用直尺作图，保留作图痕迹)
探究三：
由相关资料可知，按照以下步骤作图，可确定任意四边形的重心位置.
步骤1：如图⑦，连接四边形ABCD的一条对角线AC，将四边形ABCD分成两个三角形(即$△ ABC$，$△ ACD$)，分别作$△ ABC$，$△ ACD$的重心(三角形三条中线的交点)$G_1$和$G_2$；
步骤2：如图⑦，连接四边形ABCD的另一条对角线BD，将四边形ABCD分成两个三角形(即$△ ABD$，$△ BCD$)，分别作$△ ABD$，$△ BCD$的重心$G_3$和$G_4$；
步骤3：连接$G_1G_2$，$G_3G_4$，两条线段相交于点G，则点G就是四边形ABCD的重心.
(5)请你按照上面的步骤作出如图⑧所示的平行四边形ABCD的重心G.
答案
(1)=
(2)解：
∵点O为△ABC的重心，
∴BD=CD，AF=CF.
∴$S_{△AOF}=S_{△COF}$，$S_{△ABF}=S_{△BCF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，$S_{△BOD}=S_{△COD}$.
∴$S_{△ABF} - S_{△AOF} = S_{△BCF} - S_{△COF}$，则$S_{△AOB}=S_{△BOC}=a$.
∵$S_{△AOB}=S_{△BOC}=2S_{△BOD}$，
∴AO：DO=2：1，即$\frac{AO}{DO}=2$.
(3)24
(4)略
(5)略
(2)解：
∵点O为△ABC的重心，
∴BD=CD，AF=CF.
∴$S_{△AOF}=S_{△COF}$，$S_{△ABF}=S_{△BCF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，$S_{△BOD}=S_{△COD}$.
∴$S_{△ABF} - S_{△AOF} = S_{△BCF} - S_{△COF}$，则$S_{△AOB}=S_{△BOC}=a$.
∵$S_{△AOB}=S_{△BOC}=2S_{△BOD}$，
∴AO：DO=2：1，即$\frac{AO}{DO}=2$.
(3)24
(4)略
(5)略
解析
【分析】
(1) 比较两个三角形面积时，AD是中线可得BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高都是点A到BC的距离，等底同高的三角形面积相等，即可判断大小关系。
(2) 重心是三角形三条中线的交点，可得AD、CF均为△ABC的中线，利用“中线分三角形为面积相等的两部分”推导△AOB和△BOC的面积关系；再根据同高三角形面积比等于底的比，即可求出AO与DO的比值。
(3) 先利用(2)中重心分中线为2:1的结论，计算BO、CO、OD、OE的长度，结合BD⊥CE算出△BOC、△BOE、△COD的面积，再结合重心分大三角形为三个面积相等的小三角形的性质，求出△ABC总面积，减去周边三个小三角形面积即可得到四边形AEOD的面积。
(4) 将图⑥的组合图形分割为两个矩形，矩形重心是对角线交点，连接两个矩形重心的直线即为整个图形重心所在直线。
(5) 按照题干给出的三个步骤，先两次分割平行四边形为两个三角形，分别作出每组三角形的重心连线，两条连线的交点即为平行四边形的重心。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
(2) 解：
∵点O为△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，CF是AB边上的中线，即$BD=CD$，$AF=CF$。
根据中线分三角形面积相等可得：$S_{△AOF}=S_{△COF}$，$S_{△ABF}=S_{△BCF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，$S_{△BOD}=S_{△COD}$。
∴$S_{△ABF} - S_{△AOF} = S_{△BCF} - S_{△COF}$，即$S_{△AOB}=S_{△BOC}=a$。
∵$S_{△BOC}=S_{△BOD}+S_{△COD}=2S_{△BOD}$，
∴$S_{△AOB}=2S_{△BOD}$，
又
∵△AOB和△BOD以AO、OD为底时高相同，面积比等于底的比，
∴$AO:DO=S_{△AOB}:S_{△BOD}=2:1$，即$\frac{AO}{DO}=2$。
(3) 解：
∵O是△ABC的重心，
∴$BO:OD=2:1$，$CO:OE=2:1$，
∵$BD=9$，$CE=12$，
∴$BO=\frac{2}{3}BD=6$，$OD=3$，$CO=\frac{2}{3}CE=8$，$OE=4$，
∵$BD⊥CE$，
∴$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×BO×CO=\frac{1}{2}×6×8=24$，
由(2)的结论可知$S_{△AOB}=S_{△BOC}=S_{△AOC}=24$，
∴$S_{△ABC}=3×24=72$，
∵$S_{△BOE}=\frac{1}{2}×OE×BO=\frac{1}{2}×4×6=12$，$S_{△COD}=\frac{1}{2}×OD×CO=\frac{1}{2}×3×8=12$，
∴$S_{四边形AEOD}=S_{△ABC}-S_{△BOC}-S_{△BOE}-S_{△COD}=72-24-12-12=24$。
(4) 作图：将组合图形分割为两个矩形，分别作两个矩形的对角线，连接两个对角线交点，保留作图痕迹即可。
(5) 作图：按题干步骤，先连接AC作△ABC、△ACD的重心并连线，再连接BD作△ABD、△BCD的重心并连线，两条连线的交点即为G，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1)=
(2)$S_{△BOC}=a$，$\frac{AO}{DO}=2$
(3)24
(4)作图见解析
(5)作图见解析
【知识点】
三角形重心性质，三角形面积计算，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题结合物理重心概念展开探究，从三角形重心性质的推导、应用拓展到四边形重心的作图探究，既考查了三角形中线、面积计算等基础知识点，也考查了知识迁移能力和动手操作能力，体现了跨学科融合的命题特点。
【难度系数】
0.65
(1) 比较两个三角形面积时，AD是中线可得BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高都是点A到BC的距离，等底同高的三角形面积相等，即可判断大小关系。
(2) 重心是三角形三条中线的交点，可得AD、CF均为△ABC的中线，利用“中线分三角形为面积相等的两部分”推导△AOB和△BOC的面积关系；再根据同高三角形面积比等于底的比，即可求出AO与DO的比值。
(3) 先利用(2)中重心分中线为2:1的结论，计算BO、CO、OD、OE的长度，结合BD⊥CE算出△BOC、△BOE、△COD的面积，再结合重心分大三角形为三个面积相等的小三角形的性质，求出△ABC总面积，减去周边三个小三角形面积即可得到四边形AEOD的面积。
(4) 将图⑥的组合图形分割为两个矩形，矩形重心是对角线交点，连接两个矩形重心的直线即为整个图形重心所在直线。
(5) 按照题干给出的三个步骤，先两次分割平行四边形为两个三角形，分别作出每组三角形的重心连线，两条连线的交点即为平行四边形的重心。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
(2) 解：
∵点O为△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，CF是AB边上的中线，即$BD=CD$，$AF=CF$。
根据中线分三角形面积相等可得：$S_{△AOF}=S_{△COF}$，$S_{△ABF}=S_{△BCF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，$S_{△BOD}=S_{△COD}$。
∴$S_{△ABF} - S_{△AOF} = S_{△BCF} - S_{△COF}$，即$S_{△AOB}=S_{△BOC}=a$。
∵$S_{△BOC}=S_{△BOD}+S_{△COD}=2S_{△BOD}$，
∴$S_{△AOB}=2S_{△BOD}$，
又
∵△AOB和△BOD以AO、OD为底时高相同，面积比等于底的比，
∴$AO:DO=S_{△AOB}:S_{△BOD}=2:1$，即$\frac{AO}{DO}=2$。
(3) 解：
∵O是△ABC的重心，
∴$BO:OD=2:1$，$CO:OE=2:1$，
∵$BD=9$，$CE=12$，
∴$BO=\frac{2}{3}BD=6$，$OD=3$，$CO=\frac{2}{3}CE=8$，$OE=4$，
∵$BD⊥CE$，
∴$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×BO×CO=\frac{1}{2}×6×8=24$，
由(2)的结论可知$S_{△AOB}=S_{△BOC}=S_{△AOC}=24$，
∴$S_{△ABC}=3×24=72$，
∵$S_{△BOE}=\frac{1}{2}×OE×BO=\frac{1}{2}×4×6=12$，$S_{△COD}=\frac{1}{2}×OD×CO=\frac{1}{2}×3×8=12$，
∴$S_{四边形AEOD}=S_{△ABC}-S_{△BOC}-S_{△BOE}-S_{△COD}=72-24-12-12=24$。
(4) 作图：将组合图形分割为两个矩形，分别作两个矩形的对角线，连接两个对角线交点，保留作图痕迹即可。
(5) 作图：按题干步骤，先连接AC作△ABC、△ACD的重心并连线，再连接BD作△ABD、△BCD的重心并连线，两条连线的交点即为G，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1)=
(2)$S_{△BOC}=a$，$\frac{AO}{DO}=2$
(3)24
(4)作图见解析
(5)作图见解析
【知识点】
三角形重心性质，三角形面积计算，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题结合物理重心概念展开探究，从三角形重心性质的推导、应用拓展到四边形重心的作图探究，既考查了三角形中线、面积计算等基础知识点，也考查了知识迁移能力和动手操作能力，体现了跨学科融合的命题特点。
【难度系数】
0.65
