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【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马. 如图①，将军从山脚下的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地宿营，他时常想，怎么走才能使他所走的路径最短呢？
【分析问题】
小亮：如图②，作点B关于l的对称点B'，连接AB'与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按AC－CB走的路径就是最短的.
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：如图③，在l上另取一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，只要证明AC＋CB＜AC'＋C'B即可.
【解决问题】
（1）请写出小亮的证明过程；
【拓展探究】
（2）完成下列任务，要求保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线.
Ⅰ. 任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地边OB牧马，最后回到P处，试分别在OA和OB上各找一点E，F，使将军走过的路径最短；
Ⅱ. 任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河. 现要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥JK，MN，则这两座桥造在何处可使从P村到Q村的路径最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置）
【分析问题】
小亮：如图②，作点B关于l的对称点B'，连接AB'与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按AC－CB走的路径就是最短的.
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：如图③，在l上另取一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，只要证明AC＋CB＜AC'＋C'B即可.
【解决问题】
（1）请写出小亮的证明过程；
【拓展探究】
（2）完成下列任务，要求保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线.
Ⅰ. 任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地边OB牧马，最后回到P处，试分别在OA和OB上各找一点E，F，使将军走过的路径最短；
Ⅱ. 任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河. 现要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥JK，MN，则这两座桥造在何处可使从P村到Q村的路径最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置）
答案
(1)
∵点 B，B' 关于 l 对称，
∴CB = CB'，C'B = C'B'．
∴AC+CB=AC+CB'=AB'，AC'+C'B=AC'+C'B'．由“两点之间，线段最短”可知，AB'＜AC'+C'B'，
∴AC+CB＜AC'+C'B.
(2) Ⅰ. 如图①，点 E，F 即为所作，路径 PE－EF－FP 为将军走过的最短路径.
Ⅱ. 如图②，JK，MN 即为所作，路径 PJ－JK－KM－MN－NQ 为从 P 村到 Q 村的最短路径.
解析
【分析】
(1) 要证明AC+CB是最短路径，可利用轴对称的性质将同侧线段CB转化为异侧的CB'，此时AC+CB的长度就转化为AB'的长度；再任取l上一点C'，同理将C'B转化为C'B'，结合“两点之间，线段最短”，即可证明AB'比任意的AC'+C'B'短，从而得证。
(2) Ⅰ. 要使路径PE+EF+FP最短，可利用轴对称的性质，将PE转化为点P关于OA的对称点到E的线段，将PF转化为点P关于OB的对称点到F的线段，此时总路径长度等于两个对称点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，即可确定E、F的位置。
Ⅱ. 因为桥垂直于河岸，且长度固定等于河宽，所以可利用平移的性质，将P沿垂直第一条河的方向平移第一个河的宽度，将Q沿垂直第二条河的方向平移第二个河的宽度，连接平移后的两点，线段与河岸的交点即为建桥的位置，此时除桥长外的路径长度为线段长度，总路径最短。
【解析】
(1) 证明：
∵点B和点B'关于直线l对称，
∴直线l是线段BB'的垂直平分线，
∴CB = CB'，C'B = C'B'，
∴AC + CB = AC + CB' = AB'，AC' + C'B = AC' + C'B'，
根据“两点之间，线段最短”可得AB' ＜ AC' + C'B'，
∴AC + CB ＜ AC' + C'B，即AC+CB是最短路径。
(2) Ⅰ. 作图思路：作点P关于OA、OB的对称点，连接两个对称点，与OA、OB的交点即为E、F，连接PE、PF即可得到最短路径。
Ⅱ. 作图思路：将P沿垂直l₁方向平移第一条河的宽度，将Q沿垂直l₄方向平移第二条河的宽度，连接平移后的两点，与l₂、l₃的交点即为桥靠河内侧的端点，再作垂直河岸的线段得到桥的位置，连接对应端点即可得到最短路径。
【答案】
(1)
∵点 B，B' 关于 l 对称，
∴CB = CB'，C'B = C'B'．
∴AC+CB=AC+CB'=AB'，AC'+C'B=AC'+C'B'．由“两点之间，线段最短”可知，AB'＜AC'+C'B'，
∴AC+CB＜AC'+C'B.
(2) Ⅰ. 如图①，点 E，F 即为所作，路径 PE－EF－FP 为将军走过的最短路径.
Ⅱ. 如图②，JK，MN 即为所作，路径 PJ－JK－KM－MN－NQ 为从 P 村到 Q 村的最短路径.
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；平移的性质
【点评】
本题是经典的“将军饮马”最短路径模型的拓展应用，核心思路是通过轴对称或平移转化线段长度，将折线的长度和转化为两点之间的线段长度，利用“两点之间线段最短”的性质求解，需要熟练掌握常见最短路径模型的作图逻辑和证明方法。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AC+CB是最短路径，可利用轴对称的性质将同侧线段CB转化为异侧的CB'，此时AC+CB的长度就转化为AB'的长度；再任取l上一点C'，同理将C'B转化为C'B'，结合“两点之间，线段最短”，即可证明AB'比任意的AC'+C'B'短，从而得证。
(2) Ⅰ. 要使路径PE+EF+FP最短，可利用轴对称的性质，将PE转化为点P关于OA的对称点到E的线段，将PF转化为点P关于OB的对称点到F的线段，此时总路径长度等于两个对称点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，即可确定E、F的位置。
Ⅱ. 因为桥垂直于河岸，且长度固定等于河宽，所以可利用平移的性质，将P沿垂直第一条河的方向平移第一个河的宽度，将Q沿垂直第二条河的方向平移第二个河的宽度，连接平移后的两点，线段与河岸的交点即为建桥的位置，此时除桥长外的路径长度为线段长度，总路径最短。
【解析】
(1) 证明：
∵点B和点B'关于直线l对称，
∴直线l是线段BB'的垂直平分线，
∴CB = CB'，C'B = C'B'，
∴AC + CB = AC + CB' = AB'，AC' + C'B = AC' + C'B'，
根据“两点之间，线段最短”可得AB' ＜ AC' + C'B'，
∴AC + CB ＜ AC' + C'B，即AC+CB是最短路径。
(2) Ⅰ. 作图思路：作点P关于OA、OB的对称点，连接两个对称点，与OA、OB的交点即为E、F，连接PE、PF即可得到最短路径。
Ⅱ. 作图思路：将P沿垂直l₁方向平移第一条河的宽度，将Q沿垂直l₄方向平移第二条河的宽度，连接平移后的两点，与l₂、l₃的交点即为桥靠河内侧的端点，再作垂直河岸的线段得到桥的位置，连接对应端点即可得到最短路径。
【答案】
(1)
∵点 B，B' 关于 l 对称，
∴CB = CB'，C'B = C'B'．
∴AC+CB=AC+CB'=AB'，AC'+C'B=AC'+C'B'．由“两点之间，线段最短”可知，AB'＜AC'+C'B'，
∴AC+CB＜AC'+C'B.
(2) Ⅰ. 如图①，点 E，F 即为所作，路径 PE－EF－FP 为将军走过的最短路径.
Ⅱ. 如图②，JK，MN 即为所作，路径 PJ－JK－KM－MN－NQ 为从 P 村到 Q 村的最短路径.
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；平移的性质
【点评】
本题是经典的“将军饮马”最短路径模型的拓展应用，核心思路是通过轴对称或平移转化线段长度，将折线的长度和转化为两点之间的线段长度，利用“两点之间线段最短”的性质求解，需要熟练掌握常见最短路径模型的作图逻辑和证明方法。
【难度系数】
0.6
