1. 一般地，对于任意底数$a$与任意正整数$m$，$n$，$a^m · a^n = $$ · (\underbrace{a · a · \dots · a}_{n个a}) = \underbrace{a · a · \dots · a}_{(\_\_\_\_\_\_)个a} = \_\_\_\_\_\_$.因此，我们有$a^m · a^n = \_\_\_\_\_\_$（$m$，$n$都是正整数）.即同底数幂相乘，底数不变，指数________.

1. 指数部分总个数为$m+n$；运算结果为$a^{m+n}$；同底数幂相乘公式为$a^m·a^n=a^{m+n}$；运算规则为指数相加。

【分析】
解题时从乘方的意义出发思考：首先$a^m$的本质是$m$个$a$相乘，$a^n$的本质是$n$个$a$相乘，二者相乘时就是把所有的$a$合并到一起相乘，先计算$a$的总个数，再根据乘方的定义把总个数个$a$相乘的结果写成幂的形式，即可推导出同底数幂的乘法法则。
【解析】
根据乘方的定义：
$a^m · a^n = \underbrace{a·a·\dots·a}_{m个a} · \underbrace{a·a·\dots·a}_{n个a}$，
相乘后$a$的总个数为$m+n$，因此上式可写成$\underbrace{a·a·\dots·a}_{(m+n)个a}$；
再根据乘方的定义，$m+n$个$a$相乘的结果为$a^{m+n}$；
由此可得$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$，$n$都是正整数），对应的运算规则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
【答案】
$m+n$；$a^{m+n}$；$a^{m+n}$；相加
【知识点】
乘方的意义；同底数幂的乘法法则
【点评】
本题属于同底数幂乘法法则的推导类基础题，依托乘方的意义即可顺利推出结论，熟练掌握该法则是后续学习整式乘法运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

2. 三个或三个以上同底数幂相乘，也具有这一性质. 即 $a^m · a^n · a^p = $ （m，n，p都是正整数）。

$a^{m+n+p}$

【分析】
我们已经掌握两个同底数幂相乘的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数）。遇到三个同底数幂相乘的问题时，可分步运算：先运用上述性质计算前两个幂的乘积，所得结果仍与第三个幂同底数，再用一次同底数幂的乘法性质，即可推导出三个同底数幂相乘的结果，该思路也可推广到更多个同底数幂相乘的情况。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
第一步：先计算前两个同底数幂的乘积：
$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数）
第二步：将上述结果与第三个同底数幂$a^p$相乘，再次运用同底数幂乘法法则：
$a^{m+n} · a^p = a^{(m+n)+p} = a^{m+n+p}$（m、n、p为正整数）
因此可得$a^m · a^n · a^p = a^{m+n+p}$。
【答案】
$a^{m+n+p}$
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是对同底数幂乘法法则的拓展考查，只要掌握“底数不变，指数相加”的核心运算性质，就能顺利将法则从两个同底数幂相乘迁移到多个同底数幂相乘的场景，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.9

例（教材改编）计算：
(1)$x^6 · x^2$；
(2)$y^n · y^{2n+1}$；

(3)$a^3 · a^2 · a^{2n}$；
(4)$(-\dfrac{1}{3}) × (-\dfrac{1}{3})^2 × (-\dfrac{1}{3})^3$。

(1)$x^8$
(2)$y^{3n+1}$
(3)$a^{5+2n}$
(4)$\dfrac{1}{729}$

【分析】
这4道题均考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则对3个及以上的同底数幂相乘同样适用。解题时先确认各因式的底数是否一致，若底数相同，直接将所有因式的指数相加作为结果的指数，底数保持不变；若底数为负数，最后要根据总指数的奇偶性判断结果符号，再计算最终数值。
【解析】
(1) 两个因式底数均为x，属于同底数幂相乘：
$x^6 · x^2 = x^{6+2} = x^8$
(2) 两个因式底数均为y，属于同底数幂相乘，指数合并同类项：
$y^n · y^{2n+1} = y^{n + (2n+1)} = y^{3n+1}$
(3) 三个因式底数均为a，属于多个同底数幂相乘，指数依次相加：
$a^3 · a^2 · a^{2n} = a^{3+2+2n} = a^{5+2n}$
(4) 三个因式底数均为$-\frac{1}{3}$，属于同底数幂相乘，先算总指数，再判断符号计算数值：
$(-\dfrac{1}{3}) × (-\dfrac{1}{3})^2 × (-\dfrac{1}{3})^3 = (-\dfrac{1}{3})^{1+2+3} = (-\dfrac{1}{3})^6$
因为指数6是偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-\dfrac{1}{3})^6 = (\dfrac{1}{3})^6 = \dfrac{1}{3^6} = \dfrac{1}{729}$
【答案】
(1)$x^8$；(2)$y^{3n+1}$；(3)$a^{5+2n}$；(4)$\dfrac{1}{729}$
【知识点】
同底数幂的乘法，乘方符号判断
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础训练题，重点考查对同底数幂乘法法则的应用能力，解题时要注意多个同底数幂相乘时法则仍然适用，计算指数和时要正确合并同类项，底数为负数时要先判断结果符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.9

1. (教材改编)下列运算正确的是().

A.$ x^3 + x^3 = x^6 $
B.$ (-x)^3 · (-x)^5 = x^8 $
C.$ x · x^4 = x^{0+4} = x^4 $
D.$ x^3 · x^3 = 2x^3 $

B

【分析】
本题考查整式的加减与幂的相关运算，解题思路如下：首先回忆两类运算的核心规则：①合并同类项时，仅将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变；②同底数幂相乘时，底数不变，指数相加，同时注意负数的偶次幂为正、奇次幂为负。接下来依次对四个选项的运算进行验证，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$x^3+x^3$属于合并同类项，运算后应为$2x^3$，而非$x^6$，运算错误；
B选项：先根据同底数幂的乘法法则计算：$(-x)^3·(-x)^5=(-x)^{3+5}=(-x)^8$，再根据乘方的符号规则，指数8为偶数，因此$(-x)^8=x^8$，运算正确；
C选项：单独的字母$x$的指数为1，因此$x·x^4=x^{1+4}=x^5$，而非$x^4$，运算错误；
D选项：$x^3·x^3$属于同底数幂的乘法，运算后应为$x^{3+3}=x^6$，而非$2x^3$，运算错误。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项，同底数幂的乘法，乘方符号判断
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点在于混淆合并同类项和同底数幂乘法的运算规则，以及忽略单独字母的指数为1，做题时需明确区分两类运算的计算要求，细心判断符号即可得分。
【难度系数】
0.8

2. 计算$(-a)^2 · (-a)^5$的结果是().

A.$a^7$
B.$-a^7$
C.$a^{10}$
D.$-a^{10}$

B

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：首先观察两个相乘的幂，底数均为(-a)，属于同底数幂相乘，可先运用同底数幂的乘法法则计算，再根据负数乘方的符号规律化简结果，最终匹配选项即可。第一步：回忆同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；第二步：运用法则计算得到(-a)的指数和；第三步：根据负数的奇次幂为负、偶次幂为正化简结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$(-a)^2 · (-a)^5 = (-a)^{2+5} = (-a)^7$
再根据负数的奇次幂是负数，可得：
$(-a)^7 = -a^7$
因此计算结果为$-a^7$。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的符号判定
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础考查题，易错点是计算时混淆指数的运算规则（误将指数相乘），或忽略负数幂的符号判断，做题时要先确认底数相同再套用法则，最后注意符号化简。
【难度系数】
0.8

3.（教材改编）计算：
(1)$a · a^5 =$ ；
(2)$(-3)^3 × (-3) × (-3)^4 =$ ；
(3)$x^n · x^{n+1} =$ ；
(4)$(n+m)^2(m+n)^3 =$ ；
(5)$a^4 · (-a)^3 =$ ；
(6)$x^2 · x^5 + x · x^4 · x^2 =$ .

(1)$a^6$
(2)$3^8$
(3)$x^{2n+1}$
(4)$(m+n)^5$
(5)$-a^7$
(6)$2x^7$

【分析】
这组题目考查同底数幂的乘法相关运算，解题思路如下：①首先判断运算中的底数是否一致，底数不同时可先统一底数，底数为多项式的可将多项式看作整体作为运算底数；②运用同底数幂的乘法核心法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算；③若运算中含加减运算，最后需合并同类项，同时注意负数乘方的符号判断。
【解析】
(1) 底数均为$a$，根据法则计算：$a·a^5 = a^{1+5}=a^6$
(2) 底数均为$-3$，先算指数和，再判断符号：$(-3)^3 × (-3) × (-3)^4 = (-3)^{3+1+4}=(-3)^8=3^8$（负数的偶次幂为正）
(3) 底数均为$x$，指数相加化简：$x^n ·x^{n+1}=x^{n+n+1}=x^{2n+1}$
(4) 将$(m+n)$看作整体，底数相同指数相加：$(n+m)^2(m+n)^3=(m+n)^{2+3}=(m+n)^5$
(5) 先统一底数，再计算：$(-a)^3=-a^3$，因此$a^4·(-a)^3 = a^4·(-a^3) = -a^{4+3}=-a^7$
(6) 分别计算乘法后合并同类项：$x^2·x^5 = x^{2+5}=x^7$，$x·x^4·x^2=x^{1+4+2}=x^7$，相加得$x^7 +x^7=2x^7$
【答案】
(1)$a^6$；(2)$3^8$；(3)$x^{2n+1}$；(4)$(m+n)^5$；(5)$-a^7$；(6)$2x^7$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、乘方符号法则
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础巩固题，侧重对运算法则的直接应用，解题时需注意运算符号的判断，以及整体思想在多项式底数运算中的使用，混合运算要遵循先乘方、再乘法、最后加减的顺序。
【难度系数】
0.8